高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何培優(yōu)專題13與圓有關(guān)的綜合問題課件

第八章解析幾何高考培優(yōu)13與圓有關(guān)的綜合問題[培優(yōu)技法]1．圓的幾種特殊弦(1)過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦圓的最長(zhǎng)弦一定是直徑，因此求過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦所在直線方程就是求過圓心和該點(diǎn)連線的方程；由垂徑定理知最短弦滿足其所在直線與前面所說的最長(zhǎng)弦所在直線垂直．(2)以圓內(nèi)一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦根據(jù)圓的幾何性質(zhì)知，弦的中點(diǎn)與圓心的連線與弦所在直線垂直，因此求以圓內(nèi)一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程的方法如下：先求出中點(diǎn)(已知點(diǎn))與圓心連線的斜率(若不存在，則所求直線的斜率為0)，從而得出所求直線的斜率(若前面所求斜率為0，則此處斜率不存在)，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫出所求直線方程即可．(3)兩圓相交時(shí)的公共弦求兩相交圓的公共弦所在的直線方程，只需將兩個(gè)圓的一般方程直接相減消去二次項(xiàng)即可，弦長(zhǎng)的求解還是運(yùn)用垂徑定理．2．圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)或定直線的距離的最值問題(1)圓上的點(diǎn)到圓外定點(diǎn)的距離的最值設(shè)圓C的半徑為r，點(diǎn)Q為圓外一點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為|QC|－r，最大值為|QC|＋r.當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P與點(diǎn)N或點(diǎn)M重合時(shí)，分別取得最小值和最大值，如圖所示．(2)圓上的點(diǎn)到定直線的距離的最值已知直線l和圓C，圓C的半徑為r，點(diǎn)P為圓C上任意一點(diǎn)．過圓心C作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，交圓C于點(diǎn)M，N.①若直線l與圓相離或相切，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為|NQ|＝|CQ|－r，最大值為|MQ|＝|CQ|＋r，如圖1和圖2所示．②若直線l與圓相交，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為0，最大值為|MQ|＝|CQ|＋r，劣弧上的點(diǎn)到直線l的最大距離為|NQ|＝r－|CQ|，如圖3所示．

點(diǎn)撥

立足直線與圓的位置關(guān)系，將幾何問題代數(shù)化是求解本類題目的關(guān)鍵．同時(shí)，在坐標(biāo)運(yùn)算中，借助圓的幾何性質(zhì)，可以大大提高運(yùn)算速度．

點(diǎn)撥

在直線與圓的問題中，題設(shè)條件通常不明確給出圓的相關(guān)信息，而是需要通過分析、轉(zhuǎn)化等途徑發(fā)現(xiàn)其中隱含的圓，再利用圓的性質(zhì)解決問題，我們稱這類問題為“隱圓問題”，此類問題在近年的高考及?？贾薪?jīng)常出現(xiàn)，難度為中高檔，解決此類問題的關(guān)鍵是能夠從題干中挖掘出“隱圓”．發(fā)現(xiàn)“隱圓”的途徑主要有：(1)利用圓的定義確定“隱圓”；(2)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的張角為直角構(gòu)造“隱圓”；(3)平面內(nèi)，已知兩定點(diǎn)A