高三數(shù)學一輪復習第九章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布培優(yōu)專題15概率模型的辨識與應用課件

第九章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布高考培優(yōu)15概率模型的辨識與應用[培優(yōu)技法]

高考?？嫉母怕誓Ｐ陀邢嗷オ毩⑹录母怕誓Ｐ?、二項分布模型、超幾何分布模型和正態(tài)分布模型，其中二項分布與超幾何分布模型的辨識一直是學生的難點和易錯點．在有放回抽樣時，每次抽取時的總體沒有改變，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是獨立重復試驗，符合這一特征的隨機變量服從二項分布；而不放回抽樣時，取出一個則總體中就少一個，因此每次取到某物的概率是不同的，符合這一特征的隨機變量服從超幾何分布．因此，二項分布與超幾何分布最根本的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣．下面就高考?？嫉乃姆N概率模型予以辨識說明．

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類型2二項分布概率模型[例2]

(2024·廣西玉林統(tǒng)考模擬)某地區(qū)期末進行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評價工作，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

點撥

二項分布概率模型的特征(1)在每一次試驗中，試驗結果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生；(2)各次試驗中的事件是相互獨立的；(3)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率保持不變．類型3超幾何分布概率模型[例3]

(2024·河南安陽高三期末)不負青山，力換“金山”，民宿旅游逐漸成為一種熱潮，山野鄉(xiāng)村的民宿深受廣大旅游愛好者的喜愛．某地區(qū)結合當?shù)刭Y源，按照“山上生態(tài)做減法、山下產(chǎn)業(yè)做加法”的思路，科學有序地發(fā)展環(huán)山文旅康養(yǎng)產(chǎn)業(yè)，溫泉度假小鎮(zhèn)、環(huán)山綠道、農(nóng)家樂提檔升級、特色民宿群等一批生態(tài)產(chǎn)業(yè)項目加快實施．為了在節(jié)假日接待好游客，該地旅游局對本地區(qū)各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿進行了調(diào)研，隨機抽取了10家鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計得到各家的房間數(shù)如下表：民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型民宿19541713189201015品質(zhì)型民宿61210111091285(1)若旅游局隨機從乙、丙2家各選2間民宿進行調(diào)研，求選出的4間均為普通型民宿的概率；(2)從這10家中隨機抽取4家民宿，記其中普通型民宿的房間不低于17間的有X家，求X的分布列和數(shù)學期望．

X01234P點撥

超幾何分布概率模型的特征(1)實際問題所描述的事件只包含兩個結果(發(fā)生與不發(fā)生)，每進行一次上述抽取都不是原來的重復(再次抽取時，都與上次條件發(fā)生了變化)；(2)每次抽取中同一事件發(fā)生的概率都不同；

(3)實際問題中隨機變量為抽到某類個體的個數(shù)；

(4)該問題屬于不放回抽取問題.類型4正態(tài)分布概率模型[例4]為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學期望．(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；②下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

[解]

(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.0026，故X～B(16，0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的數(shù)學期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．

點撥

正態(tài)分布概率模型的特征(1)一般地，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似地服從正態(tài)分布．正態(tài)分布是最常見的一種分布．許多現(xiàn)象都近似地服從正態(tài)分布．如長度測量誤差、正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標等；(2)解答正態(tài)分布