人教A版選擇性必修第二冊第4章41第1課時(shí)數(shù)列的概念及簡單表示學(xué)案

篝四章數(shù)列

4.1數(shù)列的概念

第1課時(shí)數(shù)列的概念及簡潔表示

學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)

1.理解數(shù)列的概念.（重點(diǎn)）1.通過數(shù)列概念及數(shù)列通項(xiàng)

2.把握數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用.（重點(diǎn)）的學(xué)習(xí)，表達(dá)了數(shù)學(xué)抽象及規(guī)

3.理解數(shù)列是一種特別的函數(shù).理解數(shù)列與函律推理素養(yǎng).

數(shù)的關(guān)系.（易混點(diǎn)'難點(diǎn)）2.借助數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，

4.能依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公培育規(guī)律推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素

式.（難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)）養(yǎng).

［情境導(dǎo)學(xué)?探新知］情境趣味導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

畬情境與問題

在生活與學(xué)習(xí)中，為了便利，我們經(jīng)常用一組有規(guī)律的數(shù)記錄某一活動(dòng)或數(shù)

量關(guān)系.如三角形數(shù)，正方形數(shù).古語云：“勤學(xué)如春起之苗，不見其增，日有

所長；輟學(xué)如磨刀之石，不見其損，日有所虧.〃假如對“春起之苗〃每日用精

密儀器度量，那么每日的高度值按日期排列在一起，就可以組成一個(gè)數(shù)列，同樣，

對''磨刀之石〃用精密儀器測量，那么每日的質(zhì)量按日期排起來，也可得到一個(gè)

數(shù)列等等.

你能舉出幾組有規(guī)律的數(shù)列嗎？試想什么是數(shù)列？

學(xué)問點(diǎn)1數(shù)列的概念及一般形式

思考1.(1)數(shù)列的項(xiàng)和它的項(xiàng)數(shù)是否相同？

(2)數(shù)列1,2,3,4,5,數(shù)列5,3,2,4,1與｛1,2,3,4,5｝有什么區(qū)

分？

［提示］(1)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念.數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的

某一個(gè)確定的數(shù)，是一個(gè)函數(shù)值，而項(xiàng)數(shù)是指該數(shù)列中的項(xiàng)的總數(shù).

(2)數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,3,2,4,1為兩個(gè)不同的數(shù)列，由于二

者的元素挨次不同，而集合｛1,2,3,4,5｝與這兩個(gè)數(shù)列也不相同，一方面形

式上不全都，另一方面，集合中的元素具有無序性.

學(xué)問點(diǎn)2數(shù)列的分類

類別含義

按項(xiàng)的有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列

個(gè)數(shù)無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列

遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大王它的前一項(xiàng)的數(shù)列

按項(xiàng)的遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小王它的前一項(xiàng)的數(shù)列

變化趨常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列

勢從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于

搖擺數(shù)列

它的前一項(xiàng)的數(shù)列

體驗(yàn)1.思索辨析(正確的畫“，錯(cuò)誤的畫“X〃)

(1)數(shù)歹!］1,3,5,7,…,2〃是無窮數(shù)列.()

⑵通項(xiàng)公式為斯=總區(qū)的數(shù)列是遞減數(shù)列.()

(3)—1,1,—1,1,…是一個(gè)搖擺數(shù)列.()

［答案］(1)X(2)X(3)V

［提示］(1)X,無窮數(shù)列末尾帶有；

(2)X,在〃W5時(shí)是遞減，在“三6時(shí)也是遞減，但在〃?N*上不是遞減；

(3)V,滿意搖擺數(shù)列的定義.

學(xué)問點(diǎn)3數(shù)列的通項(xiàng)公式

假如數(shù)列｛而｝的第〃項(xiàng)即與它的序號"之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表

示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.表達(dá)形式為：an=?.

體驗(yàn)2.依據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

(1)2,4,6,8,…

(2)2,4,8,16,-

［解］(l)a“=2〃(〃eN*).

(2)防=2汽〃GN*).

學(xué)問點(diǎn)4數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特別的函數(shù)，關(guān)系如下表：

定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，刈)

解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式

自變量從1開頭，依據(jù)從小到大的挨次依次取值時(shí),對應(yīng)的一

值域

列函數(shù)值構(gòu)成

表示方法(1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)列表法;(3)圖象法

思考2.數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)解析式y(tǒng)=Ax)有什么異同？

［提示］

如圖，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,〃｝)為定義

域的函數(shù)，an=fljl）當(dāng)自變量依據(jù)從小到大的挨次依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)

值.不同之處是定義域，數(shù)列中的〃必需是從1開頭且連續(xù)的正整數(shù)，函數(shù)的定

義域可以是任意非空數(shù)集.

體驗(yàn)3.在數(shù)列｛所｝中，an=3n-l,那么等于.

9[Van=3n~l,.."=33-1=32=9.]

[合作探究?釋疑難]疑難問題解惑學(xué)科素養(yǎng)形成

類型1數(shù)列的概念與分類

【例1】（1）以下四個(gè)數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）

111

-

^--

A.zV

4?

Bn2771371

sisin1?

1l1

-

c--^----

z8

4?

D.1,y[2,小，…，

⑵以下數(shù)列：

①2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021；

②1，：，…，1

-2-〃-一--19....‘

23（一1）"一

③T亍…'2〃一]，…；

,rm

④1,0,—1,…,smg,…；

⑤2,4,8,16,32,…；

⑥一1,一1,一1,-1.

其中，有窮數(shù)列是,無窮數(shù)列是,遞增數(shù)列是,

遞減數(shù)列是,常數(shù)列是,搖擺數(shù)列是.（填序號）

（1）C（2）①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[（l）ABC為無窮數(shù)列，其

中A是遞減數(shù)列，B是搖擺數(shù)列，C是遞增數(shù)列，應(yīng)選C.（2）①為有窮數(shù)列且

為遞增數(shù)列；②為無窮、遞減數(shù)列；③為無窮、搖擺數(shù)列；④是搖擺數(shù)列，也是

無窮數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列.]

］.......?廢思領(lǐng)悟??..........................

1.有窮數(shù)列和無窮數(shù)列的推斷標(biāo)準(zhǔn)

推斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需觀看數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限

項(xiàng).假設(shè)數(shù)列是有限項(xiàng)，那么是有窮數(shù)列，否那么為無窮數(shù)列.

2.單調(diào)數(shù)列與非單調(diào)數(shù)列的推斷標(biāo)準(zhǔn)

假設(shè)滿意所〈如+1,那么｛出｝是遞增數(shù)列;假設(shè)滿意詼＞斯+1,那么｛如｝是遞

減數(shù)列；假設(shè)滿意外=詼+1,那么｛板｝是常數(shù)列；假設(shè)斯與z+i的大小不確定，

那么｛〃｝是搖擺數(shù)列.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.給出以下數(shù)列：

①2014?2021年某市一般高中生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,

118,132,147,163,180；

②無窮多個(gè)小構(gòu)成數(shù)列小，小，小，事，…;

③一2的1次募，2次募，3次募，4次幕，…構(gòu)成數(shù)列一2,4,—8,16,

~32,….

其中，有窮數(shù)列是,無窮數(shù)列是,遞增數(shù)列是,

常數(shù)列是,搖擺數(shù)列是.

①②③①②③［①為有窮數(shù)列；②③是無窮數(shù)列，同時(shí)①也是遞

增數(shù)列；②為常數(shù)列；③為搖擺數(shù)列.］

類型2依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式

【例2】數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

(1)1,3,7,15,31,…；

(2)9,99,999,9999,…；

12_3_4_5

⑶一不小-16,25'一跖…；

4142

---

^一

z-7

5?1F

(5)1,2,1,2,1,2,….

［解］(1)觀看發(fā)覺各項(xiàng)分別加上1后，數(shù)列變?yōu)?,4,8,16,32,…，新

n

數(shù)列的通項(xiàng)為2",故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2—\.

(2)各項(xiàng)加上1后,數(shù)列變成10,100,1000,10000,新數(shù)列的通項(xiàng)為

10",故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為以=10"-1.

(3)數(shù)列的符號負(fù)正相間，可用(一1尸調(diào)整，分?jǐn)?shù)的分子依次為自然數(shù)，而分

rj

母那么是分子加上1后的平方，故可表示為7E,所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

n

e-D言記

444

數(shù)列的符號規(guī)律是正、負(fù)相間，使各項(xiàng)分子為數(shù)列變?yōu)?，?/p>

(4)4,5Z￡J,o

44444

一行，…，再把各分母分別加上1,數(shù)列又變?yōu)閃，一不一五，…，所以an

4X(一1嚴(yán)

―_3n~l--

(5)法一：可寫成分段函數(shù)形式：

’1,〃為奇數(shù)，〃?N*,

12,〃為偶數(shù)，〃?N*.

(1+2)+(-1)?+1(1-2)

/Zk■Cln2

3+(-l)n+1(~l)

一2

刖3JT)"

即〃〃=]+-2—?

廣.......成思領(lǐng)悟...........................

1.簡單數(shù)列的通項(xiàng)公式的歸納方法

(1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等.

(2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的局部與不變的局部，探究變化局部的規(guī)律與對應(yīng)

序號間的關(guān)系.

(3)對于符號交替消失的狀況，可先觀看其肯定值，再用(一1?處理符號.

(4)對于周期消失的數(shù)列，考慮利用周期函數(shù)的學(xué)問解答.

2.常見數(shù)列的通項(xiàng)公式

(1)數(shù)列一1,1,—1,1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是?！?(一1)",數(shù)列1,—1,1,

一1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是??=(—l)n+1或(T)G.

(2)數(shù)列1,2,3,4,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是以=兒

(3)數(shù)列1,3,5,7,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是的=2〃-1.

(4)數(shù)列2,4,6,8,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是麗=2〃.

(5)數(shù)列1,2,4,8,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是z=2"T.

(6)數(shù)列1,4,9,16,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是

(7)數(shù)列1,3,6,10,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是

11

列

8數(shù)--

甲

牙…的一個(gè)通項(xiàng)公式是

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.寫出以下數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

111

---

V

5?7?

⑵藥，4不6a8諱,…

(3)4,44,444,4444,…

⑴⑷一'1X2'‘2X3'一3X4''4X'5'…

［解］(1)分?jǐn)?shù)的分子均為1,分母為正奇數(shù)數(shù)列，所以通項(xiàng)公式為匕.

(2)整數(shù)局部為自然數(shù)的2倍，分?jǐn)?shù)局部的分子均為1.分母是2的正整數(shù)次

幕，即2".所以通項(xiàng)公式為a“=2”十卷.

9

(3)各項(xiàng)都乘以a后變?yōu)?,99,999,9999,…再均加上1變?yōu)?0〃.故該數(shù)

列的通項(xiàng)可寫為

(4)各項(xiàng)符號呈負(fù)正相間，可表示為(—1)",分?jǐn)?shù)的分子均為1,分母為n(n

+1).故通項(xiàng)公式可寫成1

〃(〃十1)

類型3通項(xiàng)公式的應(yīng)用

【例31數(shù)列｛?！ǎ耐?xiàng)公式為a”=3〃2—28”.

⑴寫出此數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)；

(2)—49是否是該數(shù)列的一項(xiàng)？假如是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？68是否是該數(shù)列的一

項(xiàng)呢？

嘗試與發(fā)現(xiàn)

(1)數(shù)列是一種特別的函數(shù)，是否可考慮求函數(shù)值的方法求第n項(xiàng)呢？

(2)由于數(shù)列的定義域必需是N*或｛1,2,…，n｝,為此可通過解方程解n.

觀看是否為正整數(shù).

k_________________________________________________________________________)

［解］(1)04=3X42-28X4=-64,

46=3X62—28X6=—60.

7

(2)令3川一28〃=—49,解得〃=7或〃=］(舍去)，

所以一49是該數(shù)列的第7項(xiàng)；

34

令3〃2—28〃=68,解得〃=—2或〃=了，均不合題意，所以68不是該數(shù)列

的項(xiàng).

「母題探究］

1.(變結(jié)論)假設(shè)本例中的條件不變，

(1)試寫出該數(shù)列的第3項(xiàng)和第8項(xiàng)；

(2)20是不是該數(shù)列的一項(xiàng)？假設(shè)是，是哪一項(xiàng)？

［解］(1)由于斯=3層一28〃，

所以43=3X32—28X3=—57,as=3X82-28X8=-32.

2

(2)令3層一28〃=20,解得〃=10或〃=-w(舍去)，

所以20是該數(shù)列的第10項(xiàng).

a2

2.(變條件，變結(jié)論)假設(shè)將例題中的“如=3層一28/變?yōu)閍n=n-\-2n—

5〃，試推斷數(shù)列｛的｝的單調(diào)性.

［角星］an=n2~\~2n—5,

2

/?an+\—〃“=(〃+l)+2(n+1)—5—(層+2〃-5)

=n2+2n+1+2n+2—5—n2—2〃+5=2〃+3?

??”￡N*,2n+3>0,an+i>an.

???數(shù)列｛如｝是遞增數(shù)列.

「......廢思領(lǐng)悟................................

1.由通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的指定項(xiàng)，主要是對〃進(jìn)行取值，然后代入通項(xiàng)公

式，相當(dāng)于函數(shù)中，函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值.

2.推斷一個(gè)數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng)，其方法是可由通項(xiàng)公式等于這個(gè)數(shù)求

方程的根，依據(jù)方程有無正整數(shù)根便可確定這個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng).

3.在用函數(shù)的有關(guān)學(xué)問解決數(shù)列問題時(shí)，要留意它的定義域是N*（或它的

有限子集｛1，2,3,…，刈）這一約束條件，否那么，就會(huì)造成無故失分.

[當(dāng)堂達(dá)標(biāo)?夯基礎(chǔ)]課堂知識檢測?小結(jié)問題點(diǎn)評

1.以下數(shù)列既是遞增數(shù)列，又是無窮數(shù)列的是（）

A.1,2,3,…，20

B.-1,一2,-3,???,~n,

C.1,2,3,2,5,6,…

D.—L0,1,2,…，100,

D[A為有窮數(shù)列，BCD為無窮數(shù)列，而B為遞減數(shù)列，C為搖擺數(shù)列，

D為遞增數(shù)列，應(yīng)選D.]

2.數(shù)列1,小，小，木，…,1,那么3小是它的（）

A.第22項(xiàng)B.第23項(xiàng)

C.第24項(xiàng)D.第28項(xiàng)

B[令煙=1=3小，解得“=23.所以3小是它的第23項(xiàng)，故應(yīng)選B.]

3.（多項(xiàng)選擇題）以下表達(dá)不正確的選項(xiàng)是（）

A.1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列

B.1,3,1,3,…是常數(shù)列

C.數(shù)列0,1,2,3,…的通項(xiàng)公式為物=〃

D.數(shù)歹U｛2〃+1｝是遞增數(shù)列

ABC[A中，1,3,5,7與7,5,3,1不是相同的數(shù)列，由于數(shù)列是有

挨次排列的一列數(shù)；B中，明顯不是常數(shù)列；C中，0,1,2,3,…的通項(xiàng)公式

為以=〃-1;D中｛2九+1｝是遞增數(shù)列，故ABC錯(cuò).]

4.猜測數(shù)列—I，3，一號H，一H，…的通項(xiàng)公式為麗=.

“2

(一1)"+1而］［各項(xiàng)呈正負(fù)相間，可用(―I)"1表示，分式的分子為自然數(shù)