【專題06分式】-2024年新八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假提升講義復(fù)習(xí)資料（滬科版）

專題06分式知識(shí)點(diǎn)1：分式的定義（1）一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡(jiǎn)．（5）分式是一種表達(dá)形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因?yàn)閥﹣1＝僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式．知識(shí)點(diǎn)2：分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無(wú)意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào)．（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào)．知識(shí)點(diǎn)3：分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．知識(shí)點(diǎn)4：分式的值分式求值歷來(lái)是各級(jí)考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時(shí)應(yīng)從已知條件和所求問(wèn)題的特點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．知識(shí)點(diǎn)5：分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號(hào)法則：分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號(hào)，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問(wèn)題1．分式中的系數(shù)化整問(wèn)題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號(hào)問(wèn)題：分式的分子、分母及分式本身的三個(gè)符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變，注意分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，分子、分母應(yīng)為一個(gè)整體，改變符號(hào)是指改變分子、分母中各項(xiàng)的符號(hào)．3．處理分式中的恒等變形問(wèn)題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．知識(shí)點(diǎn)6：分式的約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來(lái)分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡(jiǎn)分式，也可能是整式．②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號(hào)時(shí)，一般把負(fù)號(hào)提到分式本身的前面．③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．知識(shí)點(diǎn)7：最簡(jiǎn)分式與最簡(jiǎn)公分母1.最簡(jiǎn)分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式．和分?jǐn)?shù)不能化簡(jiǎn)一樣，叫最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)．2.最簡(jiǎn)公分母（1）最簡(jiǎn)公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫(xiě)在積里．②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．知識(shí)點(diǎn)8：分式的運(yùn)算1．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算．運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：①分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．②整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，乘除法是同級(jí)運(yùn)算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算，切不可打亂這個(gè)運(yùn)算順序．2．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說(shuō)明：①分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡(jiǎn)單的形式；通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡(jiǎn)單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式．約分是對(duì)一個(gè)分式而言的；通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的．3．分式的混合運(yùn)算（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問(wèn)題1．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．2．注意化簡(jiǎn)結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式或整式．3．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．4．分式的化簡(jiǎn)求值先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問(wèn)題1．化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值．化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式＝…”．2．代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒(méi)有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．知識(shí)點(diǎn)9：列代數(shù)式（分式）（1）定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．②分清數(shù)量關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．④規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式．⑤正確進(jìn)行代換．注意代數(shù)式的正確書(shū)寫(xiě)：出現(xiàn)除號(hào)的時(shí)候，用分?jǐn)?shù)線代替．知識(shí)點(diǎn)10：分式方程1．分式方程分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)．2．分式方程的解求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．注意：在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．4．換元法解分式方程1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．5．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．6．由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．（1）在確定相等關(guān)系時(shí)，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問(wèn)題中的相遇問(wèn)題和追擊問(wèn)題，最重要的是相遇的時(shí)間相等、追擊的時(shí)間相等．（2）列分式方程解應(yīng)用題要多思、細(xì)想、深思，尋求多種解法思路．7．分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫(xiě)出單位等．2、要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度＝路程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率＝工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．題型歸納【題型1分式有意義的條件】滿分技法分式有無(wú)意義取決于分母,要使分式有意義，只要保證分式的分母不為0即可.同理，要使分式無(wú)意義，只要讓分母為0即可1．（22-23七年級(jí)下·安徽亳州·期末）要使分式有意義，則應(yīng)滿足的條件是（

）A． B． C． D．2．（22-23七年級(jí)下·安徽安慶·期末）若分式的值為，則的值為（）A． B． C．或 D．或3．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）若分式有意義，則的取值范圍是．【題型2分式值為零的條件】滿分技法解分式值為零的方法：分式的值為0的條件是分子為0、分母不為0，二者缺一不可.解題時(shí)，可以先求出使分子為0的字母的值，再檢驗(yàn)這個(gè)值是否使分母為0，當(dāng)分母不為0時(shí)，這個(gè)值才是所要求的字母的值.4．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）分式的值是零，則的值為（

）A．5 B． C． D．5．（22-23七年級(jí)下·安徽滁州·期末）如果分式的值為0，那么x的值是（）A． B． C．或 D．6．（22-23七年級(jí)下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）已知分式的值為，則．【題型3分式的求值】滿分技法分式的求值，要靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)、消元思想或者整體代還思想是解題的秘籍.7．（22-23七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）若，則值為（

）A． B．3 C． D．8．（22-23七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）若，則的值是（

）A．10 B． C． D．23（2023·安徽·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【題型4判斷分式變形是否正確】滿分技法分式變形如果是符號(hào)變形問(wèn)題，可利用分式的符號(hào)法則，把負(fù)號(hào)提到分式的前面.(2)若分式的分子或分母是多項(xiàng)式，則要先用括號(hào)把分子或分母括起來(lái)，再乘以(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，避免只用分子或分母中的部分項(xiàng)乘以(或除以)這個(gè)不為0的整式.10．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）下列式子從左到在變形正確的是（

）A． B． C． D．11．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）下列各式中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．12．（22-23七年級(jí)下·安徽·階段練習(xí)）分式可變形為（

）A． B． C． D．【題型5利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化】滿分技法解答此類問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù),把字母變化后的值代入式子中進(jìn)行約分，再與原式比較，得出結(jié)論.13．（22-23七年級(jí)下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）如果把分式中的、同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，那么該分式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大為原來(lái)的2倍 C．縮小為原來(lái)的 D．縮小為原來(lái)的14．（22-23七年級(jí)下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）若把分式中和的值都擴(kuò)大為原來(lái)的倍，則分式的值（）A．?dāng)U大為原來(lái)的倍 B．縮小為原來(lái)的C．縮小為原來(lái)的 D．?dāng)U大為原來(lái)的倍15．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）把分式中的值都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則分式的值（

）A．縮小為原來(lái)的 B．不變C．?dāng)U大為原來(lái)的2倍 D．?dāng)U大為原來(lái)的4倍16．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）若將中的x與y都擴(kuò)大2倍，則這個(gè)代數(shù)式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大2倍 C．?dāng)U大4倍 D．縮小到原來(lái)的【題型6約分】滿分技法(1)分式的約分是恒等變形，要保證約分前后分式的值相等.(2)約分一定要約到分子與分母只有公因式1為止，即得到一個(gè)整式或最簡(jiǎn)分式為止.17．（22-23七年級(jí)下·安徽亳州·期末）下面的約分，正確的是（

）A． B．C． D．18．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）下面的約分，正確的是（

）A． B．C． D．19．（23-24七年級(jí)下·安徽馬鞍山·期中）已知，則的值（

）A． B．2 C．1 D．3【題型7異分母分式加減法】滿分技法四步搞定異分母分式相加減：第1步，通分，將異分母分式轉(zhuǎn)化成同分母分式；第2步，加減，分母不變，分子相加減；第3步，合并，分子去括號(hào)，合并同類項(xiàng)；第4步，約分，分子、分母約分，把結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式或整式.20．（22-23八年級(jí)下·安徽宿州·期末）計(jì)算的值為（）A．1 B． C． D．21．（23-24七年級(jí)下·安徽宣城·期中）若，，則．22．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）作差法是一種比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式大小的常用方法．(1)若，，試比較A與B的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)已知，，試比較與的大小【題型8整式與分式相加減】滿分技法整式與分式相加減，可以先把整式寫(xiě)成分母為1的形式，然后再與分式合并進(jìn)行計(jì)算.23．（22-23七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）（1）已知，求；（2）已知，求．24．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）【閱讀理解】材料1：為了研究分式與分母的關(guān)系，小明得到數(shù)據(jù)如下表：…01234……無(wú)意義10.50.25…從表格數(shù)據(jù)觀察可知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值隨之減小，并無(wú)限接近0；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值也隨之減?。牧?：對(duì)于一個(gè)分子、分母都是多項(xiàng)式的分式，當(dāng)分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時(shí)，我們把這個(gè)分式叫做真分式；當(dāng)分母的次數(shù)不高于分子的次數(shù)時(shí)，我們把這個(gè)分式叫做假分式．有時(shí)候，需要把一個(gè)假分式化成整式和真分式的代數(shù)和，像這種恒等變形，稱為將分式化為部分分式．如：．【應(yīng)用新知】（1）當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值______（填增大或減小）；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值______（填增大或減小）；（2）當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值無(wú)限接近一個(gè)數(shù)，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)；【能力提升】（3）當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式值的取值范圍．25．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）若一個(gè)分式只含有一個(gè)未知數(shù)，分式的分子未知數(shù)的次數(shù)大于分母未知數(shù)的次數(shù)，則該分式可拆分成整式與分式和的形式，例如將拆分如下：【方法一】原式；【方法二】設(shè)，則．原式．(1)將分式拆分成一個(gè)整式和一個(gè)分式的和的形式為_(kāi)___________；(2)任選上述一種方法，將拆分成一個(gè)整式和一個(gè)分式的和的形式；(3)已知分式的值為整數(shù)，求x的值．【題型9分式加減乘除混合運(yùn)算】滿分技法分式的混合運(yùn)算同分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算一樣,也是先乘方，再乘除,最后加減.同一級(jí)運(yùn)算,要按照從左到右的順序進(jìn)行,有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的26．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）若且a，b，c均不為0，則的值為（

）A． B． C．0 D．227．（23-24七年級(jí)下·安徽宣城·期中）已知，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．28．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）閱讀下列材料：通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：．我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式）．如：；解決下列問(wèn)題：(1)分式是分式（填“真分式”或“假分式”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)如果為整數(shù)，分式的值為整數(shù)，求所有符合條件的的值．29．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：___________________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．【題型10分式化簡(jiǎn)求值】滿分技法解決分式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題的一般思路是先化簡(jiǎn)，再將已知條件代入求值，有時(shí)也會(huì)用到整體代入的思想.化簡(jiǎn)與求值的重點(diǎn)是化簡(jiǎn)30．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）若，，則的值為（

）A． B．1 C． D．231．（23-24七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算“*”如下：，例如：．則（1）．（2）若，則的值為．32．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）請(qǐng)你先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后從0、1、2中選擇一個(gè)數(shù)作為的值，并求出式子的值．33．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【題型11解分式方程】滿分技法(1)解分式方程的關(guān)鍵是去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.(2)分式方程去分母時(shí)，一定不能漏乘不含分母的項(xiàng).(3)解出未知數(shù)的值后必須檢驗(yàn).34．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程：．（1）若方程的根為，則m的值為；（2）若方程的解為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍為．35．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）解方程：．36．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）解方程：．37．（23-24七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）我們把形如（，不為零），且兩個(gè)解分別為，的方程稱為“十字分式方程”．例如為十字分式方程，可化為，，；再如為十字分式方程，可化為，，．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問(wèn)題：(1)若為十字分式方程，則______，______；(2)若十字分式方程的兩個(gè)解分別為，，求的值；(3)若關(guān)于的十字分式方程的兩個(gè)解分別為，求的值．【題型12根據(jù)分式方程解的情況求值】滿分技法先用待定系數(shù)表示出未知數(shù)，再根據(jù)題目已知條件將分式方程的根寫(xiě)成特殊解的形式進(jìn)行求值.38．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的所有整數(shù)的和為（

）A．2 B．5 C．6 D．939．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且40．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）若整數(shù)使得關(guān)于的不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且使得關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)的和為．【題型13分式方程無(wú)解問(wèn)題】滿分技法分式方程無(wú)解有兩種情況:①由分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程無(wú)解;②所解出的整式方程的根全是增根.41．（22-23七年級(jí)下·安徽安慶·期末）若關(guān)于的分式方程無(wú)解，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．242．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）若關(guān)于的方程有增根，則的值是．43．（22-23七年級(jí)下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）①若關(guān)于的方程有增根，則增根是．②若關(guān)于的方程無(wú)解，則的值為．44．（22-23七年級(jí)下·安徽滁州·期中）已知，關(guān)于的分式方程．(1)當(dāng)，時(shí)，求分式方程的解；(2)當(dāng)時(shí)，求為何值時(shí)，分式方程無(wú)解；(3)若，為正整數(shù)，分式方程的解為整數(shù)時(shí)，求的值．【題型14列分式方程】滿分技法列分式方程要根據(jù)題目實(shí)際要求，往往題目中會(huì)給出兩組等量關(guān)系式子（是比、分號(hào)往往是提示出），利用等量關(guān)系式子列出等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程即可.45．（22-23七年級(jí)下·安徽蚌埠·期末）某市原計(jì)劃在沿河地帶種植樹(shù)木萬(wàn)棵，由于青年志愿者的加入，實(shí)際每天植樹(shù)比原計(jì)劃多，結(jié)果提前天完成任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)萬(wàn)棵，可列方程為（

）A． B．C． D．46．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）長(zhǎng)豐縣2023年第一季度生產(chǎn)總值（GDP）以15.1%的增速領(lǐng)跑合肥各區(qū)縣，其中工業(yè)增速為35.9%最為搶眼．現(xiàn)有甲工廠加工200個(gè)零件與乙工廠加工300個(gè)零件所用時(shí)間相同，若乙工廠每小時(shí)比甲工廠多加工20個(gè)零件，求兩工廠的零件加工效率？設(shè)甲工廠的零件加工效率為x個(gè)/小時(shí)，依題意列方程正確的是（

）A． B． C． D．47．（22-23七年級(jí)下·安徽·階段練習(xí)）某校組織九年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過(guò)了后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度.設(shè)騎車學(xué)生的速度為，則所列方程正確的是（

）A． B． C． D．48．（22-23七年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）某河道有大小兩臺(tái)挖機(jī)作河底清淤泥工作，大挖機(jī)每小時(shí)比小挖機(jī)多挖，若大挖機(jī)挖所用的時(shí)間與小挖機(jī)挖所用的時(shí)間相同，若設(shè)小挖機(jī)每小時(shí)挖，則依題意可列方程為．【題型15分式方程的實(shí)際應(yīng)用】滿分技法（1）工程問(wèn)題常用的等量關(guān)系：解決工程問(wèn)題時(shí)，一要抓住“工作總量＝工作效率×工作時(shí)間”，二要抓住“所有隊(duì)工作量之和＝工作總量”,根據(jù)這兩種關(guān)系列方程求解,有的時(shí)候工作總量沒(méi)有給出，我們可以設(shè)它為單位“1”，此時(shí)獨(dú)立完成的工作隊(duì)的工作效率與工作時(shí)間互為倒數(shù)關(guān)系.（2）行程問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：行程問(wèn)題屬于典型應(yīng)用題，其中路程、時(shí)間和速度三個(gè)量之間的關(guān)系是“路程＝速度×?xí)r間”解這類應(yīng)用題，首先分析出問(wèn)題中的已知量，確定待求量，然后找出反映全部題意的等量關(guān)系，從而列出方程求解.49．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）巢馬城際鐵路某路段由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包修建，經(jīng)調(diào)查，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程的時(shí)間是乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程時(shí)間的2倍，若甲、乙兩工程隊(duì)共同完成該工程需要20天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程的時(shí)間是（

）A．30天 B．35天 C．40天 D．60天50．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）冬去春來(lái)，隨著天氣變暖，某服裝店的某款T恤衫迎來(lái)暢銷．該服裝店先用6400元購(gòu)進(jìn)該款T恤衫若干件，脫銷后，又用13600元購(gòu)進(jìn)第二批該款T恤衫，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，但每件進(jìn)價(jià)多了5元．(1)該服裝店兩次一共購(gòu)進(jìn)該款T恤衫多少件？(2)如果這兩批該款T恤衫每件的售價(jià)相同，且全部售完后總利潤(rùn)率不低于，那么每件售價(jià)至少是多少元？51．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）為了方便師生鍛煉身體，某學(xué)校準(zhǔn)備改擴(kuò)建一塊運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，乙工程隊(duì)每天施工，甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)每天多施工，甲工程隊(duì)施工所需天數(shù)與乙工程隊(duì)施工所需天數(shù)相等．(1)求的值；(2)該工程計(jì)劃先由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工若干天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)繼續(xù)施工，兩隊(duì)共施工20天，且完成的施工面積不少于．求甲工程隊(duì)至少單獨(dú)施工多少天？52．（23-24七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）又是一年中考到，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買一些加油元素的貼紙裝飾，九年級(jí)的教師經(jīng)過(guò)拍選，選定了“九年磨利劍，朝試鋒芒”的款和“蓄意待發(fā)，未來(lái)可期”的款兩種貼紙，經(jīng)過(guò)了解，款貼紙比款貼紙單價(jià)貴元，花費(fèi)元購(gòu)買的款貼紙與花費(fèi)元購(gòu)買的款貼紙數(shù)量相同．(1)款與款兩種貼紙的單價(jià)分別為多少元？(2)學(xué)校計(jì)劃花費(fèi)不超過(guò)元，購(gòu)買兩種貼紙共張，且款貼紙數(shù)量不超過(guò)款貼紙數(shù)量的倍，問(wèn)學(xué)校有哪幾種購(gòu)買方案？請(qǐng)將購(gòu)買方案列舉出來(lái)．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題53．（22-23七年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）下列分式計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．54．（22-23七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．55．（22-23七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）下列代數(shù)式屬于分式的是（

）A． B． C． D．56．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）代數(shù)式，，，，，中分式的個(gè)數(shù)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)57．（22-23七年級(jí)下·安徽亳州·期末）當(dāng)分式有意義時(shí)，滿足的條件是（

）A． B． C． D．二、填空題58．（22-23七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）已知正整數(shù)a，b，c滿足．（1）當(dāng)，時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，（用含a的代數(shù)式表示）．59．（22-23七年級(jí)下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）若分式，則分式的值等于．60．（22-23七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）已知x，y，z滿足，則分式的值為．61．（22-23七年級(jí)下·安徽馬鞍山·期末）已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足，則的值等于．三、解答題62．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）某商家預(yù)測(cè)一種襯衫能暢銷市場(chǎng)，就用13200元購(gòu)進(jìn)了一批這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商家又用28800元購(gòu)進(jìn)了第二批這種襯衫，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍，但單價(jià)貴了10元．(1)該商家購(gòu)進(jìn)的第一批襯衫是多少件？(2)若兩批襯衫按相同的標(biāo)價(jià)銷售，如果兩批襯衫全部售完利潤(rùn)率不低于（不考慮其它因素），那么每件襯衫的標(biāo)價(jià)至少是多少元？（結(jié)果保留整數(shù)）63．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）2020年6月8日，岳西縣黃沙嶺隧道建成通車，來(lái)榜至岳西里程由原來(lái)的23千米縮短為現(xiàn)在的16千米．從來(lái)榜開(kāi)車到岳西，若隧道開(kāi)通后的平均速度比隧道開(kāi)通前的平均速度提高，則隧道開(kāi)通后比隧道開(kāi)通前少用22分鐘，在隧道開(kāi)通和平均速度提高的條件下，從來(lái)榜開(kāi)車到岳西只需多少分鐘？64．（22-23七年級(jí)下·安徽亳州·期末）如果兩個(gè)分式與的和為常數(shù)，且為正整數(shù)，則稱與互為“完美分式”，常數(shù)稱為“完美值”，如分式，，，則與互為“完美分式”，“完美值”．(1)已知分式，，判斷A與B是否互為“完美分式”？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是，請(qǐng)求出“完美值”；(2)已知分式，，若與互為“完美分式”，且“完美值”，其中為正整數(shù)，分式的值為正整數(shù)．①求所代表的代數(shù)式；②求的值．

專題06分式知識(shí)點(diǎn)1：分式的定義（1）一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡(jiǎn)．（5）分式是一種表達(dá)形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因?yàn)閥﹣1＝僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式．知識(shí)點(diǎn)2：分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無(wú)意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào)．（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào)．知識(shí)點(diǎn)3：分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．知識(shí)點(diǎn)4：分式的值分式求值歷來(lái)是各級(jí)考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時(shí)應(yīng)從已知條件和所求問(wèn)題的特點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃巍⑥D(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．知識(shí)點(diǎn)5：分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號(hào)法則：分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號(hào)，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問(wèn)題1．分式中的系數(shù)化整問(wèn)題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號(hào)問(wèn)題：分式的分子、分母及分式本身的三個(gè)符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變，注意分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，分子、分母應(yīng)為一個(gè)整體，改變符號(hào)是指改變分子、分母中各項(xiàng)的符號(hào)．3．處理分式中的恒等變形問(wèn)題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．知識(shí)點(diǎn)6：分式的約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來(lái)分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡(jiǎn)分式，也可能是整式．②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號(hào)時(shí)，一般把負(fù)號(hào)提到分式本身的前面．③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．知識(shí)點(diǎn)7：最簡(jiǎn)分式與最簡(jiǎn)公分母1.最簡(jiǎn)分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式．和分?jǐn)?shù)不能化簡(jiǎn)一樣，叫最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)．2.最簡(jiǎn)公分母（1）最簡(jiǎn)公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫(xiě)在積里．②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．知識(shí)點(diǎn)8：分式的運(yùn)算1．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算．運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：①分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．②整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，乘除法是同級(jí)運(yùn)算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算，切不可打亂這個(gè)運(yùn)算順序．2．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說(shuō)明：①分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡(jiǎn)單的形式；通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡(jiǎn)單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式．約分是對(duì)一個(gè)分式而言的；通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的．3．分式的混合運(yùn)算（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問(wèn)題1．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．2．注意化簡(jiǎn)結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式或整式．3．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．4．分式的化簡(jiǎn)求值先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問(wèn)題1．化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值．化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式＝…”．2．代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒(méi)有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．知識(shí)點(diǎn)9：列代數(shù)式（分式）（1）定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．②分清數(shù)量關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．④規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式．⑤正確進(jìn)行代換．注意代數(shù)式的正確書(shū)寫(xiě)：出現(xiàn)除號(hào)的時(shí)候，用分?jǐn)?shù)線代替．知識(shí)點(diǎn)10：分式方程1．分式方程分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)．2．分式方程的解求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．注意：在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．4．換元法解分式方程1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．5．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．6．由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．（1）在確定相等關(guān)系時(shí)，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問(wèn)題中的相遇問(wèn)題和追擊問(wèn)題，最重要的是相遇的時(shí)間相等、追擊的時(shí)間相等．（2）列分式方程解應(yīng)用題要多思、細(xì)想、深思，尋求多種解法思路．7．分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫(xiě)出單位等．2、要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度＝路程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率＝工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．題型歸納【題型1分式有意義的條件】滿分技法分式有無(wú)意義取決于分母,要使分式有意義，只要保證分式的分母不為0即可.同理，要使分式無(wú)意義，只要讓分母為0即可1．（22-23七年級(jí)下·安徽亳州·期末）要使分式有意義，則應(yīng)滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，，即可求解．【詳解】解：由題意可得，，解得故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了分式有意義的條件，分母不能為零，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的有關(guān)性質(zhì)．2．（22-23七年級(jí)下·安徽安慶·期末）若分式的值為，則的值為（）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)分式的值為，分子為，分母不為，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：，解得：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件，熟練掌握分式的值為，分子為，分母不為，是解答本題的關(guān)鍵．3．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）若分式有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】此題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．根據(jù)分式有意義的條件可知，再解不等式即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．【題型2分式值為零的條件】滿分技法解分式值為零的方法：分式的值為0的條件是分子為0、分母不為0，二者缺一不可.解題時(shí)，可以先求出使分子為0的字母的值，再檢驗(yàn)這個(gè)值是否使分母為0，當(dāng)分母不為0時(shí)，這個(gè)值才是所要求的字母的值.4．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）分式的值是零，則的值為（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式值為零的條件可得且，再解即可．【詳解】解：由題意得，且，解之得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子的值為0；（2）分母的值不為0．這兩個(gè)條件缺一不可．5．（22-23七年級(jí)下·安徽滁州·期末）如果分式的值為0，那么x的值是（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)分式值為0的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，解得，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．6．（22-23七年級(jí)下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）已知分式的值為，則．【答案】【分析】根據(jù)分式的值為零的條件：分子且分母，即可求出結(jié)論．【詳解】解：分式的值為零，，解得：．故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題考查的是分式的值為零的條件，掌握分式的值為零的條件：分子且分母是解決此題的關(guān)鍵．【題型3分式的求值】滿分技法分式的求值，要靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)、消元思想或者整體代還思想是解題的秘籍.7．（22-23七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）若，則值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件得出，再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（22-23七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）若，則的值是（

）A．10 B． C． D．23【答案】D【分析】將已知等式變形為，再將所求式子利用分式的性質(zhì)和完全平方公式變形為，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握整體思想的運(yùn)用，以及完全平方公式的變形．9．（2023·安徽·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；【分析】先根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后將字母的值代入求解．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，∴原式=．【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則進(jìn)行求解．【題型4判斷分式變形是否正確】滿分技法分式變形如果是符號(hào)變形問(wèn)題，可利用分式的符號(hào)法則，把負(fù)號(hào)提到分式的前面.(2)若分式的分子或分母是多項(xiàng)式，則要先用括號(hào)把分子或分母括起來(lái)，再乘以(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，避免只用分子或分母中的部分項(xiàng)乘以(或除以)這個(gè)不為0的整式.10．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）下列式子從左到在變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）下列各式中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、，正確，不符合題意；B、，正確，不符合題意；C、，正確，不符合題意；D、，錯(cuò)誤，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，熟知分式中分子與分母同時(shí)乘以或除以一個(gè)不為0的數(shù)或式子，分式的值不變是解題的關(guān)鍵．12．（22-23七年級(jí)下·安徽·階段練習(xí)）分式可變形為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案；【詳解】解：原式；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，分式的基本性質(zhì)是：分子分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)因式，分式的值不變；解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，解答時(shí)要特別注意結(jié)合所給選項(xiàng)一起判斷如何變形．【題型5利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化】滿分技法解答此類問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù),把字母變化后的值代入式子中進(jìn)行約分，再與原式比較，得出結(jié)論.13．（22-23七年級(jí)下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）如果把分式中的、同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，那么該分式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大為原來(lái)的2倍 C．縮小為原來(lái)的 D．縮小為原來(lái)的【答案】C【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：x，y同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則有，∴該分式的值是原分式值的，故C正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，給分子分母同時(shí)乘以一個(gè)整式（不為0），不可遺漏是解答本題的關(guān)鍵．14．（22-23七年級(jí)下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）若把分式中和的值都擴(kuò)大為原來(lái)的倍，則分式的值（）A．?dāng)U大為原來(lái)的倍 B．縮小為原來(lái)的C．縮小為原來(lái)的 D．?dāng)U大為原來(lái)的倍【答案】A【分析】，都擴(kuò)大成原來(lái)的2倍就是分別變成原來(lái)的2倍，變成和．用和代替式子中的和，看得到的式子與原來(lái)的式子的關(guān)系．【詳解】解：用和代替式子中的和得：，則分式的值擴(kuò)大為原來(lái)的2倍．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)．解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．15．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）把分式中的值都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則分式的值（

）A．縮小為原來(lái)的 B．不變C．?dāng)U大為原來(lái)的2倍 D．?dāng)U大為原來(lái)的4倍【答案】A【分析】本題考查的是分式的性質(zhì)，先把分式中的x、y用，代替，再把所得式子與原式相比較即可．【詳解】解：把分式中，的值都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則分式變?yōu)椋捶质降闹悼s小為原來(lái)的，故選：A．16．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）若將中的x與y都擴(kuò)大2倍，則這個(gè)代數(shù)式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大2倍 C．?dāng)U大4倍 D．縮小到原來(lái)的【答案】C【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，即可求解．【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查分式的性質(zhì)，分式的化簡(jiǎn)，掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6約分】滿分技法(1)分式的約分是恒等變形，要保證約分前后分式的值相等.(2)約分一定要約到分子與分母只有公因式1為止，即得到一個(gè)整式或最簡(jiǎn)分式為止.17．（22-23七年級(jí)下·安徽亳州·期末）下面的約分，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)作答．【詳解】解：A．，故該選項(xiàng)正確；B．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）下面的約分，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了約分的方法，熟練掌握約分的方法是解決此題的關(guān)鍵．約分：將分子和分母數(shù)共同的約數(shù)約去（也就是除以那個(gè)數(shù)）剩下如果還有相同因數(shù)就繼續(xù)約去，直到公約數(shù)為1為止，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、，故A選項(xiàng)不符合題意；B、，故B選項(xiàng)不符合題意；C、，故C選項(xiàng)符合題意；D、已經(jīng)為最簡(jiǎn)形式，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．19．（23-24七年級(jí)下·安徽馬鞍山·期中）已知，則的值（

）A． B．2 C．1 D．3【答案】C【分析】本題考查了算術(shù)平方根非負(fù)性的應(yīng)用，根據(jù)算術(shù)平方根有意義的條件得出，進(jìn)而得出，得出代入代數(shù)式，即可求解．【詳解】解：依題意，∴∴∴原式可化為：∴即∴，故選：C．【題型7異分母分式加減法】滿分技法四步搞定異分母分式相加減：第1步，通分，將異分母分式轉(zhuǎn)化成同分母分式；第2步，加減，分母不變，分子相加減；第3步，合并，分子去括號(hào)，合并同類項(xiàng)；第4步，約分，分子、分母約分，把結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式或整式.20．（22-23八年級(jí)下·安徽宿州·期末）計(jì)算的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則，先通分再加減，最后化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：原式，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，分母不同時(shí)，先通分再加減．21．（23-24七年級(jí)下·安徽宣城·期中）若，，則．【答案】2【分析】本題考查了積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，異分母分式加法，根據(jù)積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，求出，再將分式化為，代入求解即可．【詳解】解：，，，，，，，，，，，故答案為：2．22．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）作差法是一種比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式大小的常用方法．(1)若，，試比較A與B的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)已知，，試比較與的大小【答案】(1)；理由見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了分式的加減，不等式的性質(zhì)，完全平方公式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用作差法進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．（1）先求出，再比較大小即可；（2）先求出，再比較大小即可；【詳解】（1）解：；理由如下：∵，∴，（2）∵，，∴，∴,∴.【題型8整式與分式相加減】滿分技法整式與分式相加減，可以先把整式寫(xiě)成分母為1的形式，然后再與分式合并進(jìn)行計(jì)算.23．（22-23七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）（1）已知，求；（2）已知，求．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)分式的性質(zhì)以及分式的加減，進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求解；（2）根據(jù)分式的性質(zhì)可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）移項(xiàng)，得，整理，得，即．∵，∴．（2）由已知，得，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的加減運(yùn)算，熟練掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）【閱讀理解】材料1：為了研究分式與分母的關(guān)系，小明得到數(shù)據(jù)如下表：…01234……無(wú)意義10.50.25…從表格數(shù)據(jù)觀察可知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值隨之減小，并無(wú)限接近0；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值也隨之減?。牧?：對(duì)于一個(gè)分子、分母都是多項(xiàng)式的分式，當(dāng)分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時(shí)，我們把這個(gè)分式叫做真分式；當(dāng)分母的次數(shù)不高于分子的次數(shù)時(shí)，我們把這個(gè)分式叫做假分式．有時(shí)候，需要把一個(gè)假分式化成整式和真分式的代數(shù)和，像這種恒等變形，稱為將分式化為部分分式．如：．【應(yīng)用新知】（1）當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值______（填增大或減小）；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值______（填增大或減?。唬?）當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值無(wú)限接近一個(gè)數(shù)，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)；【能力提升】（3）當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式值的取值范圍．【答案】（1）減小，減小；（2）2；（3）【分析】本題考查分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，理解題中的變量分離的方法是解題的關(guān)鍵．（1）由的變化情況，判斷、的變化情況即可；（2）由，即可求解；（3）由，再結(jié)合的取值范圍即可求解．【詳解】解：（1）∵當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，∴隨著的增大，的值減小；∵當(dāng)時(shí)，隨著的增大減小，∵，∴隨著的增大，的值減??；（2）∵，∵當(dāng)，隨著的增大時(shí)，的值無(wú)限接近0，∴的值無(wú)限接近2；（3），∵時(shí)，，∴，∴．25．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）若一個(gè)分式只含有一個(gè)未知數(shù)，分式的分子未知數(shù)的次數(shù)大于分母未知數(shù)的次數(shù)，則該分式可拆分成整式與分式和的形式，例如將拆分如下：【方法一】原式；【方法二】設(shè)，則．原式．(1)將分式拆分成一個(gè)整式和一個(gè)分式的和的形式為_(kāi)___________；(2)任選上述一種方法，將拆分成一個(gè)整式和一個(gè)分式的和的形式；(3)已知分式的值為整數(shù)，求x的值．【答案】(1)(2)(3)4或2或5或1．【分析】本題考查用整體思想以及換元思想將一個(gè)分子次數(shù)比分母大的分式拆分成整式與分式和的形式．（1）根據(jù)方法一求解即可；（2）根據(jù)方法一求解即可；（3）根據(jù)方法一拆分成一個(gè)整式和一個(gè)分式的和的形式，分類討論即可．【詳解】（1）．故答案為：；（2）原式；（3）原式∵分式的值為整數(shù)，∴，∴．【題型9分式加減乘除混合運(yùn)算】滿分技法分式的混合運(yùn)算同分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算一樣,也是先乘方，再乘除,最后加減.同一級(jí)運(yùn)算,要按照從左到右的順序進(jìn)行,有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的26．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）若且a，b，c均不為0，則的值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】本題主要考查整式的加減運(yùn)算和分式的混合運(yùn)算，熟練掌握整式的運(yùn)算和分式的混合運(yùn)算的順序和法則是解題的關(guān)鍵．由已知得：，，，再將所求的式子去括號(hào)后，同分母加在一起，分別將所求的式子整體代入約分即可．【詳解】解：∵，∴，，，∴=，，故選：A．27．（23-24七年級(jí)下·安徽宣城·期中）已知，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的變形．熟練掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．由題意知，根據(jù)，代值求解即可．【詳解】解：由題意知，，故選：D．28．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）閱讀下列材料：通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：．我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式）．如：；解決下列問(wèn)題：(1)分式是分式（填“真分式”或“假分式”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)如果為整數(shù)，分式的值為整數(shù)，求所有符合條件的的值．【答案】(1)真(2)(3)0，，2，【分析】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）利用題中的新定義判斷即可；（2）根據(jù)題中的方法把原式化為帶分式即可；（3）原式化為帶分式，根據(jù)與分式的值都為整數(shù)，求出即可．【詳解】（1）解：∵的分子次數(shù)為0，分母次數(shù)為1，∴分式是真分式；故答案為：真；（2）解：；（3）解：，∵為整數(shù)，分式的值為整數(shù)，∴，，1，3，解得：，，0，2，則所有符合條件的值為0，，2，．29．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：___________________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析．【分析】此題考查的是歸納總結(jié)能力，抓住題目中的相似點(diǎn)找到其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）觀察前幾個(gè)式子，然后進(jìn)行仿寫(xiě)，即可得到答案；（2）對(duì)題目中給的等式進(jìn)行比較、歸納，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律為，第n個(gè)等式，左邊第一項(xiàng)的分母為，分子是，第二項(xiàng)是，等式右邊為．代入再進(jìn)行驗(yàn)證正確性即可．【詳解】（1）解：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，則第5個(gè)等式為：；故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，則：第n個(gè)等式為：；證明：等式左邊，等式右邊，∴左邊右邊．【題型10分式化簡(jiǎn)求值】滿分技法解決分式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題的一般思路是先化簡(jiǎn)，再將已知條件代入求值，有時(shí)也會(huì)用到整體代入的思想.化簡(jiǎn)與求值的重點(diǎn)是化簡(jiǎn)30．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）若，，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本題考查了分式的運(yùn)算，冪的乘方，由，得到，進(jìn)而得到，即可求解，掌握分式的運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，故選：B．31．（23-24七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算“*”如下：，例如：．則（1）．（2）若，則的值為．【答案】/506【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）按照新定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)定義新運(yùn)算可得，從而可得，然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：（1）．故答案為：；（2），，，故答案為：506．32．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）請(qǐng)你先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后從0、1、2中選擇一個(gè)數(shù)作為的值，并求出式子的值．【答案】，當(dāng)時(shí)，原式【分析】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，再根據(jù)分式有意義的條件選擇把代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：原式，，，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，原式．33．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；4【分析】本題主要考查了分式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】解：．當(dāng)時(shí)，原式．【題型11解分式方程】滿分技法(1)解分式方程的關(guān)鍵是去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.(2)分式方程去分母時(shí)，一定不能漏乘不含分母的項(xiàng).(3)解出未知數(shù)的值后必須檢驗(yàn).34．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程：．（1）若方程的根為，則m的值為；（2）若方程的解為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍為．【答案】35且【分析】本題主要考查了解分式方程，已知分式方程解的情況求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的方法，注意分式方程中分母不等于零．（1）將代入分式方程，然后求出m的值即可；（2）先解分式方程，然后再根據(jù)分式方程的解為負(fù)數(shù)，列出關(guān)于m的不等式，解不等式即可．【詳解】解：（1）把代入得：，化簡(jiǎn)得：，解得：；故答案為：35．（2）去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，∵方程的解為負(fù)數(shù)，∴且，解得：且．故答案為：且．35．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）解方程：．【答案】【分析】本題主要考查了解分式方程．一般步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把系數(shù)化為1，檢驗(yàn)．方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，檢驗(yàn)即可得到方程的解．【詳解】去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原分式方程的解為．36．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）解方程：．【答案】【分析】此題主要考查了解分式方程，正確地將原方程變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．方程兩邊同時(shí)乘以變?yōu)檎椒匠蹋蠼饧纯?，注意檢驗(yàn)．【詳解】解：，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．37．（23-24七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）我們把形如（，不為零），且兩個(gè)解分別為，的方程稱為“十字分式方程”．例如為十字分式方程，可化為，，；再如為十字分式方程，可化為，，．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問(wèn)題：(1)若為十字分式方程，則______，______；(2)若十字分式方程的兩個(gè)解分別為，，求的值；(3)若關(guān)于的十字分式方程的兩個(gè)解分別為，求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題主要考查了分式，分式方程，解分式方程，本題是新定義型，正確理解新定義的規(guī)定并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）利用題干中的方法解答即可；（2）利用題干中的方法求得，值，再將，值代入運(yùn)算即可；（3）利用（2）中的方法解答即可．【詳解】（1）為十字分式方程，可化為：，，．故答案為：；；（2）方程為十字分式方程，可化為：，，．，．；（3）方程是十字分式方程，可化為，，，，．，．原式．【題型12根據(jù)分式方程解的情況求值】滿分技法先用待定系數(shù)表示出未知數(shù)，再根據(jù)題目已知條件將分式方程的根寫(xiě)成特殊解的形式進(jìn)行求值.38．（2024七年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的所有整數(shù)的和為（

）A．2 B．5 C．6 D．9【答案】C【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，分式方程的解，利用不等式組的解為，確定的取值范圍，解分式方程，當(dāng)解為正整數(shù)時(shí)求得值，將符合條件的值相加即可得出結(jié)論．【詳解】解：不等式組的解集為，．．關(guān)于的分式方程的解為．是原分式方程的增根，．．關(guān)于的分式方程的解為正整數(shù)，為正整數(shù)．，4，7．，，4．所有滿足條件的所有整數(shù)的和為：．故選：C．39．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意義的條件，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．解分式方程，根據(jù)分式方程的解為非負(fù)數(shù)，進(jìn)而列出一元一次不等式，結(jié)合分式有意義的條件即可求解．【詳解】解：，去分母得：，解得：，∵關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，∴且，解得：且，故選：D．40．（23-24七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）若整數(shù)使得關(guān)于的不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且使得關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)的和為．【答案】4【分析】本題考查了解一元一次不等式組、解分式方程，有難度，注意分式方程中的解要滿足分母不為0的情況．先解不等式組得到，則，求出a的取值范圍，再解分式方程得到，即可求解．【詳解】解：解不等式組得，因?yàn)檫@個(gè)不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，∴，∴，∴∵，解方程得，∵分式方程有整數(shù)解，，∴，∴，∴滿足條件的所有整數(shù)的和為4，故答案為：4．【題型13分式方程無(wú)解問(wèn)題】滿分技法分式方程無(wú)解有兩種情況:①由分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程無(wú)解;②所解出的整式方程的根全是增根.41．（22-23七年級(jí)下·安徽安慶·期末）若關(guān)于的分式方程無(wú)解，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】先把分式方程化為整式方程，再解出整式方程，然后根據(jù)分式方程無(wú)解，可得，再代入整式方程，即可求解．【詳解】解：去分母得：，解得：，因?yàn)榉质椒匠虩o(wú)解，所以，即，把代入整式方程得：，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程無(wú)解的問(wèn)題，熟練掌握解分式方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．42．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）若關(guān)于的方程有增根，則的值是．【答案】【分析】利用分式方程解法的一般步驟解分式方程，令方程的解為得到關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：在方程兩邊同時(shí)乘以，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，∴，∵關(guān)于的方程有增根，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，分式方程的增根，利用分式方程增根的意義解答是解題的關(guān)鍵．43．（22-23七年級(jí)下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）①若關(guān)于的方程有增根，則增根是．②若關(guān)于的方程無(wú)解，則的值為．【答案】42或3【分析】根據(jù)分式方程有增根，即分母為0進(jìn)行求解即可；分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根確定出a的值即可．【詳解】解：①∵分式方程有增根，∴，∴，故答案為：4；②去分母得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，當(dāng)，即時(shí)，無(wú)解，分式方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，系數(shù)化為1得：，∵分式方程有增根，∴，即，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是的解，∴，綜上可知，或，故答案為：2或3；【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程有增根的情況，熟知分式方程有增根的情況是分式方程分母為0．44．（22-23七年級(jí)下·安徽滁州·期中）已知，關(guān)于的分式方程．(1)當(dāng)，時(shí)，求分式方程的解；(2)當(dāng)時(shí)，求為何值時(shí)，分式方程無(wú)解；(3)若，為正整數(shù)，分式方程的解為整數(shù)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)或(3)3，55【分析】（1）將的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；（2）把的值代入分式方程，將分式方程去分母后化為整式方程，分類討論的值使分式方程無(wú)解即可；（3）把代入分式方程，將分式方程化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和為正整數(shù)即可確定的值．【詳解】（1）解：把，代入分式方程中，得：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，檢驗(yàn)：把代入，所以原分式方程的解是；（2）解：把代入分式方程，得：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，①當(dāng)時(shí)，即，方程無(wú)解，②當(dāng)時(shí)，，時(shí)，分式方程無(wú)解，即，不存在；時(shí)，分式方程無(wú)解，即，，綜上所述，或時(shí)，分式方程無(wú)解；（3）解：把代入分式方程中，得：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：，整理得：，∵，且為正整數(shù)，為整數(shù)，∴必為65的因數(shù)，，∵，∴65的因數(shù)有1，5，13，65，1，5小于11，可以取13，65這兩個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)地，方程的解為0，4，對(duì)應(yīng)地，的值為3，55，滿足條件的可取3，55這兩個(gè)數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的計(jì)算，熟練掌握解分式方程的步驟是解決問(wèn)題的前提條件，分式方程無(wú)解的兩種情況要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程無(wú)解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．【題型14列分式方程】滿分技法列分式方程要根據(jù)題目實(shí)際要求，往往題目中會(huì)給出兩組等量關(guān)系式子（是比、分號(hào)往往是提示出），利用等量關(guān)系式子列出等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程即可.45．（22-23七年級(jí)下·安徽蚌埠·期末）某市原計(jì)劃在沿河地帶種植樹(shù)木萬(wàn)棵，由于青年志愿者的加入，實(shí)際每天植樹(shù)比原計(jì)劃多，結(jié)果提前天完成任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)萬(wàn)棵，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)萬(wàn)棵，則實(shí)際每天植樹(shù)萬(wàn)棵，根據(jù)題意列方程解答即可．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)萬(wàn)棵，則實(shí)際每天植樹(shù)萬(wàn)棵，根據(jù)題意得，，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程與實(shí)際問(wèn)題，明確題目中的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．46．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）長(zhǎng)豐縣2023年第一季度生產(chǎn)總值（GDP）以15.1%的增速領(lǐng)跑合肥各區(qū)縣，其中工業(yè)增速為35.9%最為搶眼．現(xiàn)有甲工廠加工200個(gè)零件與乙工廠加工300個(gè)零件所用時(shí)間相同，若乙工廠每小時(shí)比甲工廠多加工20個(gè)零件，求兩工廠的零件加工效率？設(shè)甲工廠的零件加工效率為x個(gè)/小時(shí)，依題意列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)出甲工廠的零件加工效率為x個(gè)/小時(shí)，則乙工廠的零件加工效率為個(gè)/小時(shí)，根據(jù)時(shí)間=工作量÷工作效率，以甲工廠加工200個(gè)零件與乙工廠加工300個(gè)零件所用時(shí)間相同，列出分式方程即可．【詳解】解：設(shè)出甲工廠的零件加工效率為x個(gè)/小時(shí)，則乙工廠的零件加工效率為個(gè)/小時(shí)，根據(jù)題意，得故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．47．（22-23七年級(jí)下·安徽·階段練習(xí)）某校組織九年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過(guò)了后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度.設(shè)騎車學(xué)生的速度為，則所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)騎車學(xué)生的速度為，汽車的速度是，根據(jù)同時(shí)到達(dá)列出方程即可．【詳解】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為，汽車的速度是，根據(jù)題意列方程得，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程，注意單位轉(zhuǎn)換．48．（22-23七年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）某河道有大小兩臺(tái)挖機(jī)作河底清淤泥工作，大挖機(jī)每小時(shí)比小挖機(jī)多挖，若大挖機(jī)挖所用的時(shí)間與小挖機(jī)挖所用的時(shí)間相同，若設(shè)小挖機(jī)每小時(shí)挖，