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文檔簡介
2006年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)(二)解析一、填空題(1)曲線的水平漸近線方程為(2)設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù),則a=(3)廣義積分(4)微分方程的通解是(5)設(shè)函數(shù)確定,則 當(dāng)x=0時,y=1, 又把方程每一項(xiàng)對x求導(dǎo), (6)設(shè)A=21,2階矩陣B滿足BA=B+2E,則|B|=.-12解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,兩邊取行列式,得|B||A-E|=|2E|=4,計(jì)算出|A-E|=2,因此|B|=2.二、選擇題(7)設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且為自變量x在點(diǎn)x0處的增量,,則[A] (A) (B) (C) (D) 由嚴(yán)格單調(diào)增加 是凹的 即知(8)設(shè)是奇函數(shù),除外處處連續(xù),是其第一類間斷點(diǎn),則 是[B] (A)連續(xù)的奇函數(shù) (B)連續(xù)的偶函數(shù) (C)在x=0間斷的奇函數(shù) (D)在x=0間斷的偶函數(shù)(9)設(shè)函數(shù)則g(1)等于[C] (A) (B) (C) (D)∵,g(1)= (10)函數(shù)滿足的一個微分方程是[D] (A) (B) (C) (D)將函數(shù)代入答案中驗(yàn)證即可.(11)設(shè)為連續(xù)函數(shù),則等于[C] (A) (B) (C) (D)(12)設(shè)均為可微函數(shù),且在約束條件下的一個極值點(diǎn),下列選項(xiàng)正確的是[D] (A)若 (B)若 (C)若 (D)若今代入(1)得今故選[D](13)設(shè)1,2,…,s都是n維向量,A是mn矩陣,則()成立.(A)若1,2,…,s線性相關(guān),則A1,A2,…,As線性相關(guān).(B)若1,2,…,s線性相關(guān),則A1,A2,…,As線性無關(guān).(C)若1,2,…,s線性無關(guān),則A1,A2,…,As線性相關(guān).(D)若1,2,…,s線性無關(guān),則A1,A2,…,As線性無關(guān).解:(A)本題考的是線性相關(guān)性的判斷問題,可以用定義解.若1,2,…,s線性相關(guān),則存在不全為0的數(shù)c1,c2,…,cs使得c11+c22+…+css=0,用A左乘等式兩邊,得c1A1+c2A2+…+csA于是A1,A2,…,As線性相關(guān).如果用秩來解,則更加簡單明了.只要熟悉兩個基本性質(zhì),它們是:1.1,2,…,s線性無關(guān)r(1,2,…,s)=s.2.r(AB)r(B).矩陣(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s),因此r(A1,A2,…,As)r(1,2,…,s).由此馬上可判斷答案應(yīng)該為(A).(14)設(shè)A是3階矩陣,將A的第2列加到第1列上得B,將B的第1列的-1倍加到第2列上得C.記110P=010,則001(A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.解:(B)用初等矩陣在乘法中的作用得出B=PA, 1-10C=B010=BP-1=PAP-1.001三、解答題(15)試確定A,B,C的常數(shù)值,使其中是當(dāng). 解:泰勒公式代入已知等式得 整理得 比較兩邊同次冪函數(shù)得 B+1=A ①C+B+=0 ② ③式②-③得 代入①得 代入②得 (16)求. 解:原式= .(17)設(shè)區(qū)域, 計(jì)算二重積分. 解:用極坐標(biāo)系 .(18)設(shè)數(shù)列滿足, 證明:(1)存在,并求極限; (2)計(jì)算. 證:(1) 單調(diào)減少有下界 根據(jù)準(zhǔn)則1,存在 在兩邊取極限得 因此 (2)原式 離散型不能直接用洛必達(dá)法則 先考慮 用洛必達(dá)法則 .(19)證明:當(dāng)時,.證:令 只需證明嚴(yán)格單調(diào)增加 嚴(yán)格單調(diào)減少又故單調(diào)增加(嚴(yán)格) 得證(20)設(shè)函數(shù)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且滿足等式.(I)驗(yàn)證 ;(II)若求函數(shù).證:(I) (II)令 (21)已知曲線L的方程(I)討論L的凹凸性;(II)過點(diǎn)引L的切線,求切點(diǎn),并寫出切線的方程;(III)求此切線與L(對應(yīng)部分)及x軸所圍的平面圖形的面積.解:(I) (II)切線方程為,設(shè),, 則 得 點(diǎn)為(2,3),切線方程為 (III)設(shè)L的方程則由于(2,3)在L上,由(22)已知非齊次線性方程組x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1,ax1+x2+3x3+bx4=1有3個線性無關(guān)的解.=1\*GB3①證明此方程組的系數(shù)矩陣A的秩為2.=2\*GB3②求a,b的值和方程組的通解.解:=1\*GB3①設(shè)1,2,3是方程組的3個線性無關(guān)的解,則2-1,3-1是AX=0的兩個線性無關(guān)的解.于是AX=0的基礎(chǔ)解系中解的個數(shù)不少于2,即4-r(A)2,從而r(A)2.又因?yàn)锳的行向量是兩兩線性無關(guān)的,所以r(A)2.兩個不等式說明r(A)=2.=2\*GB3②對方程組的增廣矩陣作初等行變換:1111-11111-1(A|)=435-1-10–11–53,a13b1004-2a4a+b-54-2a由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后繼續(xù)作初等行變換:102-4201-15-3.00000得同解方程組x1=2-2x3+4x4,x2=-3+x3-5x4,求出一個特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基礎(chǔ)解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程組的通解:(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,c1,c2任意.(23)設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的各行元素之和都為3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齊次線性方程組AX=0的解.=1\*GB3①求A的特征值和特征向量.=2\*GB3②求作正交矩陣Q和對角矩陣,使得QTAQ=.解:=1\*GB3①條件說明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值為3.又1,2都是AX=0的解說明它們也都是A的特征向量,特征值為0.由于1,2線性無關(guān),特征值0的重數(shù)大于1.于是A的特征值為3,0,0.屬于3的特征向量:c0,c0.屬于0的特征向量:c11+c22,c1,c2不都為0.=2\
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