高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：2 5 2 圓與圓的位置關(guān)系(人教A版)

第二章

§2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.2圓與圓的位置關(guān)系1.了解圓與圓的位置關(guān)系.2.掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判斷方法.3.能用圓與圓的位置關(guān)系解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)兩圓的位置關(guān)系及其判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長(zhǎng)為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示

d與r1，r2的關(guān)系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含思考根據(jù)代數(shù)法確定兩個(gè)圓的位置關(guān)系時(shí)，若已知兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)，能否準(zhǔn)確得出兩圓的位置關(guān)系？答案不能.已知兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)只能得出兩圓內(nèi)切或外切.思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.(

)2.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(

)3.從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(

)4.若兩圓有公共點(diǎn)，則|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(

)×××√2題型探究PARTTWO2題型探究PARTTWO一、兩圓位置關(guān)系的判斷例1當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相離？解將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圓C1的圓心為C1(－2,3)，半徑r1＝1；當(dāng)|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34時(shí)，兩圓相交.即34＜k＜50或k＜14時(shí)，兩圓相離.反思感悟判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對(duì)值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中主要使用的方法.(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過(guò)解方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1

(1)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為A.內(nèi)切 B.相交

C.外切 D.相離√解析兩圓的圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為r＝2，R＝3，所以兩圓相交，選B.跟蹤訓(xùn)練1

(1)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為A.內(nèi)切 B.相交

C.外切 D.相離√解析兩圓的圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為r＝2，R＝3，所以兩圓相交，選B.(2)到點(diǎn)A(－1,2)，B(3，－1)的距離分別為3和1的直線有_____條.4解析到點(diǎn)A(－1,2)的距離為3的直線是以A為圓心，3為半徑的圓的切線；同理，到B的距離為1的直線是以B為圓心，半徑為1的圓的切線，所以滿足題設(shè)條件的直線是這兩圓的公切線，半徑之和為3＋1＝4，因?yàn)?>4，所以圓A和圓B外離，因此它們的公切線有4條.二、兩圓的公共弦問(wèn)題例2已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系；解將兩圓方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴兩圓相交.(2)求公共弦所在的直線方程；解將兩圓方程相減，得公共弦所在的直線方程為x－2y＋4＝0.(3)求公共弦的長(zhǎng)度.解方法一由(2)知圓C1的圓心(1，－5)到直線x－2y＋4＝0的距離為方法二設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A，B，則A，B兩點(diǎn)滿足方程組反思感悟兩圓的公共弦問(wèn)題(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長(zhǎng)的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.跟蹤訓(xùn)練2

(1)兩圓x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的長(zhǎng)為√(2)圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直線被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝

所截得的弦長(zhǎng)為_____.解析由題意將兩圓的方程相減，可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為x＋y－1＝0.又圓C3的圓心坐標(biāo)為(1,1)，設(shè)圓C3的半徑為r，核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN圓系方程的應(yīng)用典例

(1)求圓心在直線x－y－4＝0上，且過(guò)兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)的圓的方程.解方法一設(shè)經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0.得兩圓公共弦所在直線的方程為y＝x.所以兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－1，－1)，B(3,3)，線段AB的垂直平分線所在的直線方程為y－1＝－(x－1).即所求圓的圓心坐標(biāo)為(3，－1)，所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16.(2)求過(guò)直線x＋y＋4＝0與圓x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交點(diǎn)且與直線y＝x相切的圓的方程.解設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0.得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0.因?yàn)樗髨A與直線y＝x相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3，故所求圓的方程為x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.素養(yǎng)提升(1)當(dāng)經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)時(shí)，圓的方程可設(shè)為(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系數(shù)法求出λ即可.(2)理解運(yùn)算對(duì)象，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE1.圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是A.相離 B.相交

C.外切 D.內(nèi)切√12345解析化為標(biāo)準(zhǔn)方程：圓O1：(x－1)2＋y2＝1，圓O2：x2＋(y－2)2＝4，2.圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9與圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，則m的值為A.2 B.－5 C.2或－5 D.不確定√12345解析圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圓心為(－2，m)，半徑長(zhǎng)為3，圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(m，－1)，半徑長(zhǎng)為2.即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.3.圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線的方程是A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0√12345解析AB的垂直平分線過(guò)兩圓的圓心，把圓心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.4.已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是________________________________________.12345(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36解析設(shè)圓C的半徑為r，當(dāng)圓C與圓O外切時(shí)，r＋1＝5，r＝4，當(dāng)圓C與圓O內(nèi)切時(shí)，r－1＝5，r＝6，∴圓的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.5.若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長(zhǎng)為

，則a＝_____.1234511.知識(shí)清單：(1)兩圓的位置關(guān)系.(2)兩圓的公共弦.2.方法歸納：幾何法、代數(shù)法.3.常見誤區(qū)：將兩圓內(nèi)切和外切相混.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.圓C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0與圓C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置關(guān)系為A.相交 B.外切

C.內(nèi)切 D.外離√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，則d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以兩圓內(nèi)切.2.圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為A.(1,0)和(0,1) B.(1,0)和(0，－1)C.(－1,0)和(0，－1) D.(－1,0)和(0,1)√12345678910111213141516所以兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)和(0，－1).3.已知圓C1：x2＋y2－m＝0，圓C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，若圓C1與圓C2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.m＜1 B.m＞121C.1≤m≤121 D.1＜m＜121√1234567891011121314151612345678910111213141516解析圓C1的方程可化為x2＋y2＝m(m>0)，圓C2的方程可化為(x＋3)2＋(y－4)2＝36，則圓心為C2(－3,4)，半徑r2＝6.∵圓C1與圓C2有公共點(diǎn)，∴|r1－r2|≤|C1C2|≤r1＋r2，4.(多選)設(shè)r>0，圓(x－1)2＋(y＋3)2＝r2與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系不可能是A.內(nèi)切 B.相交

C.外離 D.外切√12345678910111213141516√兩圓的半徑之和為r＋4，所以兩圓不可能外切或外離，故選CD.5.圓O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0與圓O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切線條數(shù)為A.4條 B.3條

C.2條 D.1條√解析圓O1為(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圓O2為(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，∴兩圓相交.∴公切線有2條.123456789101112131415166.若圓x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外離，則a，b滿足的條件是_______________.123456789101112131415167.已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是___________.12345678910111213141516x＋3y＝0解析圓的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化為x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，兩式相減得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.8.經(jīng)過(guò)直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝2的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程為______________________.12345678910111213141516解析由已知可設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，9.已知圓O1：x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心O2(2,1).若圓O2與圓O1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝

，求圓O2的方程.12345678910111213141516因?yàn)閳AO1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，故圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.1234567891011121314151610.已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切？解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，當(dāng)兩圓外切時(shí)，12345678910111213141516(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？12345678910111213141516解兩圓的公共弦所在直線方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，(3)求m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).1234567891011121314151611.已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是A.(x－5)2＋(y－7)2＝25B.(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C.(x－5)2＋(y－7)2＝9D.(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9√12345678910111213141516綜合運(yùn)用解析設(shè)動(dòng)圓圓心為(x，y)，若動(dòng)圓與已知圓外切，12345678910111213141516∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.12.設(shè)兩圓C1，C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過(guò)點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于√12345678910111213141516解析∵兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,1)，∴兩圓圓心均在第一象限且每個(gè)圓心的橫、縱坐標(biāo)相等.設(shè)兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(a，a)，(b，b)，則有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b為方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的兩個(gè)根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，1234567891011121314151613.如果圓(x－a)2＋(y－1)2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是√12345678910111213141516解析∵圓(x－a)2＋(y－1)2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，∴圓O：x2＋y2＝4與圓C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交.1234567891011121314151614.若圓O：x2＋y2＝5與圓O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)為____.123456789101112131415164解析連接OO1，記AB與OO1的交點(diǎn)為C，如圖所示，∴|AB|＝4.15.過(guò)兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點(diǎn)，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程是____________________.拓廣探究x2＋y2－3x＋y－1＝0解析設(shè)圓的方程為x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，則(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，所以所求圓的方程為x2＋y2－3x＋y－1＝0.1234567891011121314151616.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)的距離的比為

.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；12345678910111213141516解設(shè)P(x，y)，則|AP|＝2|OP|，即|AP|2＝4|OP|2，所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，整理得(x＋1)2＋y2＝4.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為(x＋1)2＋y2＝4.(2)已知圓Q的圓心為Q(t，t)(t>0)，且圓Q與x軸相切，若圓Q與曲線C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解因?yàn)辄c(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，t)(t>0)，且圓Q與x軸相切，所以圓Q的半徑為t，所以，圓Q的方程為(x－t)2＋(y－t)2＝t2.因