2024內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)一輪知識點復(fù)習(xí) 第14課時 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（課件）

第14課時

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

內(nèi)蒙古中考真題及拓展3

考點精講1

重難點分層練2二次函數(shù)圖象與性質(zhì)二次函數(shù)圖象的平移根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷函數(shù)性質(zhì)根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的概念概念特殊形式解析式的三種形式確定二次函數(shù)解析式的步驟二次函數(shù)解析式的確定考點精講【對接教材】北師：九下第二章P29～P45；

人教：九上第二十二章P28～P42.1考點二次函數(shù)的概念概念形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)特殊形式特別地，當(dāng)a≠0，b＝c＝0時，y＝ax2是二次函數(shù)的特殊形式2考點二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷函數(shù)性質(zhì)對稱軸1.直接利用公式x＝______求解；2.轉(zhuǎn)化為頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k，則對稱軸為直線_________注:還可利用x＝(其中x1、x2為關(guān)于對稱軸對稱的兩點的橫坐標(biāo))求解頂點坐標(biāo)1.直接利用頂點坐標(biāo)___________________求解；2.將一般式化為頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k，則頂點坐標(biāo)為________；3.將對稱軸x＝x0代入函數(shù)解析式求解

x＝h(，)(h，k)增減性a>0時，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而______；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而______a<0時，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而______；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而______最值a>0時，y有最小值_________a<0時，y有最_____值減小增大減小增大大2.根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象a的正負(fù)(決定開口方向)a＞0開口________a＜0開口________a，b(決定對稱軸位置)b＝0對稱軸為y軸a、b同號對稱軸在y軸______側(cè)a、b異號對稱軸在y軸______側(cè)c(決定與y軸交點的位置)c＝0拋物線過原點c>0拋物線與y軸交于________c<0拋物線與y軸交于負(fù)半軸向上向下左右正半軸b2－4ac(決定拋物線與x軸交點個數(shù))b2－4ac＝0與x軸有唯一交點(頂點)b2－4ac>0與x軸有________個交點b2－4ac<0與x軸沒有交點兩二次函數(shù)解析式的確定3考點1.解析式的三種形式一般式________________________頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，頂點坐標(biāo)是__________交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2為拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(h，k)2.確定二次函數(shù)解析式的步驟方法待定系數(shù)法具體方法1.對于二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，若系數(shù)a，b，c中有一個未知，則代入二次函數(shù)圖象上任意一點坐標(biāo)；若有兩個未知，則代入二次函數(shù)圖象上任意兩點坐標(biāo)；2.對未給定二次函數(shù)解析式，根據(jù)所給點坐標(biāo)選擇適當(dāng)?shù)慕馕鍪剑?1)頂點在原點，可設(shè)為y＝ax2；(2)對稱軸是y軸(或頂點在y軸上)，可設(shè)為y＝ax2＋c；(3)頂點在x軸上，可設(shè)為y＝a(x－h(huán))2；(4)拋物線過原點，可設(shè)為y＝ax2＋bx；具體方法(5)已知頂點(h，k)時，可設(shè)為頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k；(6)已知拋物線與x軸的兩交點坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)時，或已知對稱軸及與x軸的一個交點(x1，0)，利用對稱軸可求出另外一個交點的坐標(biāo)(x2，0)，可設(shè)為兩點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)；(7)已知二次函數(shù)圖象上任意三點坐標(biāo)，可設(shè)為y＝ax2＋bx＋c；3.聯(lián)立一次方程(組)，求得系數(shù)或常數(shù)項；4.將所得系數(shù)或常數(shù)項代入解析式即可【滿分技法】若已知拋物線與x軸相交的其中一個交點是A(x1，0)，且其對稱軸是直線x＝h，則另一個交點B的橫坐標(biāo)為x2＝2h－x14考點二次函數(shù)圖象的平移平移前解析式平移n個單位(n＞0)平移后解析式簡記y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)向左平移n個單位y＝a(x－h(huán))2＋k左“＋”右“－”向右平移n個單位y＝a(x－h(huán))2＋k向上平移n個單位y＝a(x－h(huán))2＋k上“＋”下“－”向下平移n個單位y＝a(x－h(huán))2＋k【滿分技法】在一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)平移過程中，先把拋物線的解析式化成頂點式，然后根據(jù)平移規(guī)律，左右平移給x加減平移單位，上下平移給等號右邊整體加減平移單位

＋n－n＋n－n重難點分層練一、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)例1已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的幾組對應(yīng)值如下表：一題多設(shè)問x…－4－3－2－1012…y…－503430－5…回顧必備知識根據(jù)表格中的信息，解答下列問題：(1)觀察表格可得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為___________________；與y軸的交點坐標(biāo)為________；拋物線的對稱軸為直線____________；頂點坐標(biāo)為____________；(0，3)(－3，0)、(1，0)x＝－1(－1，4)x…－4－3－2－1012…y…－503430－5…(2)根據(jù)描點法畫出該函數(shù)的大致圖象；例1題圖(3)拋物線的開口向________；(4)拋物線的表達(dá)式為_____________________，化為頂點式為_____________________；(5)拋物線上的點A(，

)關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點B的坐標(biāo)為_______________；下y＝－x2－2x＋3y＝－(x＋1)2＋4(－

，

)例1題圖(6)若點C為拋物線上一點，且到對稱軸的距離為1，則點C的坐標(biāo)為__________________________；(7)若B(－5，y1)，C(－2，y2)，D(4，y3)三點在拋物線上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為_________________；(8)當(dāng)－1≤x≤3時，y的最小值為________，y的最大值為________．y3＜y1＜y2－124(－2，3)或(0，3)例1題圖二、二次函數(shù)解析式的確定形式一解析式未給出例2(1)已知拋物線以A(－1，4)為頂點，且過點B(2，－5)，求拋物線的解析式；解：(1)∵拋物線以A(－1，4)為頂點，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)2＋4，將點B(2，－5)代入，得－5＝a(2＋1)2＋4，解得a＝－1，∴拋物線的解析式為y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3(2)若拋物線經(jīng)過(2，0)、(－1，0)、(1，－4)三點，求拋物線的解析式；(2)∵拋物線經(jīng)過點(2，0)，(－1，0)，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－2)(x＋1)，將點(1，－4)代入，得－4＝a(1－2)(1＋1)，解得a＝2，∴拋物線的解析式為y＝2(x－2)(x＋1)＝2x2－2x－4；(3)若拋物線過原點，且經(jīng)過點(－1，－4)、(2，2)，求拋物線的解析式.(3)∵拋物線過原點，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx，將點(－1，－4)、(2，2)分別代入，

得

解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋3x.形式二解析式已給出例3已知拋物線y＝ax2＋bx＋1.(1)當(dāng)拋物線經(jīng)過(1，－2)和(3，－2)兩點時，求拋物線的解析式；一題多設(shè)問解：(1)將點(1，－2)，(3，－2)代入y＝ax2＋bx＋1，

得

解得∴拋物線的解析式為y＝x2－4x＋1；(2)當(dāng)拋物線的頂點坐標(biāo)為(2，－1)時，求拋物線的解析式；(2)由題意得

解得

或(不合題意，舍去)

∴拋物線的解析式為y＝

x2－2x＋1；(3)當(dāng)拋物線的對稱軸為直線x＝－1，且經(jīng)過點(2，0)時，求拋物線的解析式；(3)∵拋物線的對稱軸為直線x＝－1，∴－

＝－1，∴b＝2a，∴y＝ax2＋2ax＋1.將點(2，0)代入，得4a＋4a＋1＝0，解得a＝－

，∴拋物線的解析式為y＝－

x2－

x＋1；(4)若拋物線經(jīng)過A(2，3)，B(4，5)，C(4，3)三點中的兩點，求拋物線的解析式．(4)由題意可知，拋物線經(jīng)過點(0，1)，∵過點(0，1)和A(2，3)的直線解析式為y＝x＋1，且點B(4，5)也在該直線上，∴拋物線經(jīng)過A(2，3)，B(4，5)兩點中的一點．∵B(4，5)，C(4，3)兩點的橫坐標(biāo)相同，∴拋物線經(jīng)過B(4，5)，C(4，3)兩點中的一點，∴拋物線經(jīng)過A(2，3)，C(4，3)兩點．將A(2，3)，C(4，3)兩點代入，

得

解得

∴拋物線的解析式為y＝－

x2＋

x＋1.形式三二次函數(shù)圖象的平移確定解析式例4已知拋物線y＝－x2＋4x－3.(1)將拋物線先向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，求平移后的拋物線的解析式；解：(1)由題意可知，平移后的拋物線的解析式為y＝－(x＋1)2＋4(x＋1)－3＋2，即y＝－x2＋2x＋2；(2)將拋物線沿x軸平移，若平移后的拋物線過點(0，1)，求平移后的拋物線的解析式．(2)拋物線y＝－x2＋4x－3可化為y＝－(x－2)2＋1，設(shè)拋物線沿x軸平移h個單位長度，則平移后的解析式為y＝－(x－2＋h)2＋1，∵平移后的拋物線過點(0，1)，∴－(－2＋h)2＋1＝1，解得h＝2，∴平移后的拋物線的解析式為y＝－x2＋1.例5已知拋物線y＝x2＋2mx＋2m2－m.(1)若拋物線過點P(－2，t)、Q(4，t)，則m的值為___________；(2)若x＜3時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍為________；(3)若拋物線經(jīng)過第一、二、三象限，則m的取值范圍為___________；一題多設(shè)問－1m≤－3≤m＜1提升關(guān)鍵能力(4)若點B(2，yB)，C(5，yC)在拋物線上，且yB＞yC，求m的取值范圍；(4)∵點B(2，yB)，C(5，yC)在拋物線y＝x2＋2mx＋2m2－m上，∵yB＝4＋4m＋2m2－m，yC＝25＋10m＋2m2－m，∵yB＞yC，∴4＋4m＋2m2－m＞25＋10m＋2m2－m，解得m<－

，即m的取值范圍為m<－

；(5)當(dāng)1≤x≤3時，函數(shù)y的最小值等于6，求m的值；(5)①當(dāng)－m≤1，即m≥－1時，當(dāng)x＝1時y有最小值6，∴1＋2m＋2m2－m＝6，即2m2＋m－5＝0，解得m＝

或m＝(不合題意，舍去)；②當(dāng)1<－m<3，即－3≤m＜－1，當(dāng)x＝－m時，y有最小值6，∴當(dāng)m2－m＝6，即m2－m－6＝0，解得m＝－2或m＝3(不合題意，舍去)；③當(dāng)－m≥3，即m≤－3，當(dāng)x＝3時，y有最小值6，∴9＋6m＋2m2－m＝6，即2m2＋5m＋3＝0，解得m＝－(不合題意，舍去)或m＝－1(不合題意，舍去)．

綜上所述，m的值為

或－2；(6)該拋物線的頂點隨m的變化而移動，當(dāng)頂點移到最低處時，求該拋物線的頂點坐標(biāo)；(6)拋物線y＝x2＋2mx＋2m2－m的頂點為(－m，m2－m)，頂點移動到最低處，即頂點縱坐標(biāo)最小，∵m2－m＝(m－)2－

，∴當(dāng)m＝

時，縱坐標(biāo)最小，即頂點移到最低處，當(dāng)m＝

時，－m＝－

，m2－m＝－

，∴當(dāng)頂點移到最低處時，該拋物線的頂點坐標(biāo)為(－

，－)；(7)當(dāng)m＝2時，平移該拋物線，使其頂點恰好落在原點，請寫出一種平移方法及平移后的拋物線的解析式．(7)當(dāng)m＝2時，該拋物線解析式為y＝x2＋4x＋6＝(x＋2)2＋2，將該拋物線向右平移2個單位，向下平移2個單位，可使其頂點恰好落在原點，平移后的拋物線的解析式為y＝x2.內(nèi)蒙古中考真題及拓展1命題點二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2021呼和浩特3題3分)二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝ax＋a在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是(

)D2.(2023包頭10題3分)已知二次函數(shù)y＝ax2－bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過第一象限的點(1，－b)，則一次函數(shù)y＝bx－ac的圖象不經(jīng)過(

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限C3.(2023赤峰12題3分)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c上的部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：以下結(jié)論正確的是(

)A.拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下B.當(dāng)x<3時，y隨x增大而增大C.方程ax2＋bx＋c＝0的根為0和2D.當(dāng)y>0時，x的取值范圍是0<x<2x…－10123…y…30－1m3…C4.(2023呼和浩特10題3分)已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點(m，0)，(n，0)，且過A(0，b)，B(3，a)兩點(b，a是實數(shù))，若0<m<n<2，則ab的取值范圍是(

)

A.0＜ab＜

B.0＜ab＜

C.0＜ab＜

D.0＜ab＜C5.(2023包頭20題3分)已知拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，點D(4，y)在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點．當(dāng)BE＋DE的值最小時，△ACE的面積為________．4二次函數(shù)圖象的平移(包頭2022.19，呼和浩特2022.7)2命題點6.(2022呼和浩特7題3分)關(guān)于二次函數(shù)y＝

x2－6x＋a＋27，下列說法錯誤的是(

)A.若將圖象向上平移10個單位，再向左平移2個單位后過點(4，5)，則a＝－5B.當(dāng)x＝12時，y有最小值a－9C.x＝2對應(yīng)的函數(shù)值比最小值大7D.當(dāng)a<0時，圖象與x軸有兩個不同的交點C7.(2022包頭19題3分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(－1，m)和B(5，m)是拋物線y＝x2＋bx＋1上的兩點，將拋物線y＝x2＋bx＋1的圖象向上平移n(n是正整數(shù))個單位，使平移后的圖象與x軸沒有交點，則n的最小值為________．48.(2023山西)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝3(x－2)2＋1,若將x軸向上平移2個單位長度，將y軸向左平移3個單位長度，則該拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)表達(dá)式為(

)A.y＝3(x＋1)2＋3B.y＝3(x－5)2＋3C.y＝3(x－5)2－1D.y＝3(x＋1)2－1創(chuàng)新考法C9．(2023麗水)如圖，已知拋物線L：y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點A(0，－5)，B(5，0)．(1)求b，c的值；第9題圖解：(1)把點A(0，－5)，B(5，0)分別代入y＝x2＋bx＋c中，

得

解得∴b，c的值分別為－4，－5；(2)連接AB，交拋物線L的對稱軸于點M.①求點M的坐標(biāo)；(2)①設(shè)AB所在直線的函數(shù)解析式為y＝kx＋n(k≠0)，把A(0，－5)，B(5，0)分別代入y＝kx＋n，

得

解得

∴AB所在直線的函數(shù)解析式為y＝x－5.由(1)得，拋物線L的解析式為y＝x2－4x－5，第9題圖∴拋物線L的對稱軸是直線x＝2，當(dāng)x＝2時，y＝x－5＝－3.∴點M的坐標(biāo)是(2，－3)；第9題圖②將拋物線L向左平移m(m＞0)個單位得到拋物線L1，過點M作MN∥y軸，交拋物線L1于點N，P是拋物線L1上一點，橫坐標(biāo)為