專題11 圓的最值問題（隱圓模型）（解析版）（人教版）

專題11圓的最值問題（隱圓模型）【知識(shí)點(diǎn)梳理】隱圓模型匯總固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C，則A、B、C、P四點(diǎn)共圓若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90°,則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且DE＝CF，BE、DF相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為()【答案】D【分析】連接BD，證明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°,由于BD的長(zhǎng)確定，則點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，當(dāng)點(diǎn)A，P，C在一條直線上時(shí)，CP有最小值.【詳解】解：連接AD，因?yàn)椤螦CB＝30°,所以∠BCD＝60°,因?yàn)镃B＝CD，所以△CBD是等邊三角形，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD=∠FDC，因?yàn)椤螰DC+∠BDF＝60°,所以∠EBD+∠BDF＝60°,所以∠BPD＝120°,所以點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，所以AP＝2當(dāng)點(diǎn)A，P，C在一條直線上時(shí)，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2【點(diǎn)睛】求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的最小值，一般先要確定動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)確定的圓或圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)與圓心及定點(diǎn)在一條直線上時(shí)，取最小值.若⊙O的半徑是4，則OC長(zhǎng)的最小值為.【分析】延長(zhǎng)BC交圓O于點(diǎn)D，連接DO,AD，過O點(diǎn)作OETAD交于點(diǎn)E，則△AOD是等邊三角形，再確定點(diǎn)C在以E為圓心，AE為半徑的圓上，則CO的最小值為EO一DE，再求解即可.【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BC交圓O于點(diǎn)D，連接DO,AD，過O點(diǎn)作OE丄AD交于點(diǎn)E，∴點(diǎn)C在以E為圓心，AE為半徑的圓上， 【點(diǎn)睛】本題考查圓中的最小距離問題，熟練掌握垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，根據(jù)定角定弦確定點(diǎn)C的軌跡是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)邊上的動(dòng)點(diǎn)，且上EAB=上EBC．連結(jié)AE，BE，PD，PE，則PD+PE的最小值為() 【答案】A【分析】先證明7AEB=90O，即可得點(diǎn)E在以AB為直徑的半圓上移動(dòng)，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，作正方形ABCD關(guān)于直線BC對(duì)稱的正方形CFGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接FO交BC于P，交半圓O于E，根據(jù)對(duì)稱性有：PD=PF，則有：PE十PD=PE十PF，則線段EF的長(zhǎng)即為PE十PD的長(zhǎng)度最小值，問題隨之得解.【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)E在以AB為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，作正方形ABCD關(guān)于直線BC對(duì)稱的正方形CFGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接FO交BC于P，交半圓O于E，根據(jù)對(duì)稱性有：PD=PF，則線段EF的長(zhǎng)即為PE十PD的長(zhǎng)度最小值，E 故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路線是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，∠C＝9=3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為.【分析】先由折疊判斷出F的運(yùn)動(dòng)軌跡是為以D為圓心，CD的長(zhǎng)度為半徑的圓，當(dāng)B、D、F共線且F在B、D之間時(shí)BF最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時(shí)BD、BF的長(zhǎng)度即可.【詳解】解：由折疊知，F(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為：以D為圓心，CD的長(zhǎng)度為半徑的圓，如圖所示，可知，當(dāng)點(diǎn)B、D、F共線，且F在B、D之間時(shí)，BF取最小值，+BC2 【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識(shí)，該題涉及的最值問題屬于中考?？碱}型，根據(jù)折疊確定出F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵.點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足上AMD=90。，則△MBC面積的最小值為. 【答案】634【分析】取AD的中點(diǎn)O，連接OM，過點(diǎn)M作ME丄BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF丄BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF，通過計(jì)算得出當(dāng)O,M,E三點(diǎn)共線時(shí)，ME有最小值，求出最小值即可.【詳解】解：如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OM，過點(diǎn)M作ME丄BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF丄BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF，“AC丄BC，:上B=上DAB，:四邊形ABCD為等腰梯形，:BC=AD=4，:點(diǎn)M在以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓上，ABⅡCD，:DG=DO=2， :當(dāng)O,M,E三點(diǎn)共線時(shí)，ME有最小值3·3—2，【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、隱圓、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，點(diǎn)M位置的確定是解題關(guān)鍵.課后訓(xùn)練連AD，E為AD的中點(diǎn)，連接CE，則CE的最大值是.【答案】3【分析】通過已知求得D在以B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵E為AD的中點(diǎn)，∴E在以BA中點(diǎn)為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，再運(yùn)用圓外一定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最大值=定點(diǎn)與圓心的距離+圓的半徑，求得CE的最大值.【詳解】解：∵BC＝2，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，由題意可知，D在以B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵E為AD的中點(diǎn)，∴E在以BA中點(diǎn)為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，CE的最大值即C到BA中點(diǎn)的距離加上BD長(zhǎng).。故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了與圓相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題，正確識(shí)別E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD=3，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD邊上從A到D運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF，將△AEF沿EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，在運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為()【答案】A【詳解】解：∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD邊上從A到D運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF，將△AEF沿EF折疊，∴AE=EB=EG，∴G點(diǎn)在以E為圓心，AE長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).一當(dāng)F與D點(diǎn)重合時(shí)，如圖，則G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為AG.故選：A.的圓上一點(diǎn)，連接BD，M是BD的中點(diǎn)，則線段CM長(zhǎng)度的最小值為()【答案】C【詳解】作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE、AD，則有AD=3，“上ACB=90°,即在Rt△ABC中，AB=5252+122“E是Rt△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，:CE= “M是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，:ME=:在△CEM中，一＜CM即5＜CM＜8；:CM最小值為5，故選：C.4．如圖，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為直線BC上動(dòng)點(diǎn)，B、G關(guān)于EF【答案】21022圓周角上APB=45O的圓上要使DP最小，則點(diǎn)P要靠近蒂點(diǎn)D，即點(diǎn)P在AB的右側(cè)設(shè)P在線段OD上時(shí)去等號(hào)，即可求得DP的最小值.【詳解】解：“B、G關(guān)于EF對(duì)稱，:BH=GH，且EF丄BG“E為AB中點(diǎn)，則EH為△ABG的中位線，:EHⅡAG，∴點(diǎn)P在以AB為弦，圓周角上APB=45O的圓上要使DP最小，則點(diǎn)P要靠近蒂點(diǎn)D，即點(diǎn)P在AB的右側(cè)）又∵E為AB中點(diǎn)，又∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形AEOQ是正方形， 故答案為：21022.【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，隱形圓，三角形三邊關(guān)系，正方形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)上APB=上AGB=45O得知點(diǎn)P在以AB為弦，圓周角上APB=45O的圓上是解決問題的關(guān)鍵. 5．如圖，在銳角△ABC中，AB＝2，AC=·6，∠ABC＝60°.D是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠ADB=30°,則CD的最小值是【答案】3/+3 【分析】作AH⊥BC于H，證明△ACH為等腰直角三角形，求得BC=3+1，在BC上截取BO=AB=2，則△OAB為等邊三角形，以O(shè)為圓心，2為半徑作⊙O，根據(jù)∠ADB=30°,可得點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)DB經(jīng)過圓心O時(shí)，CD最小，其最小值為⊙O的直徑減去BC的長(zhǎng).【詳解】解：如圖，作AH⊥BC于H， ∴BH=AB=1，∴△ACH為等腰直角三角形，BC=CH+BH=3+1，在BC上截取BO=AB=2，則△OAB為等邊三角形，以O(shè)為圓心，2為半徑作⊙O，∴點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)DB經(jīng)過圓心O時(shí)，CD最小，最小值為 故答案為：3-3.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理．解題的關(guān)鍵是得出點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動(dòng).6．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB＝2，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是.根據(jù)圓周角定理得∠APB=∠AOB=30°,由于AC⊥AP，所以∠C=60°,因?yàn)锳B=2，則要使△ABC的最大面積，點(diǎn)C到AB的距離要最大；由∠ACB=60°,可根據(jù)圓周角定理判斷點(diǎn)C在⊙D上，且∠ADB=120°,如圖2，于是當(dāng)點(diǎn)C優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，此時(shí)△ABC