(教師版較詳細(xì))橢圓的講義與練習(xí)

．(2)在中，由余弦定理得：∵，∴，即．∴．即的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)．說(shuō)明：橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)，構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及有關(guān)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理．解題中通過(guò)變形，使之出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)，的關(guān)系式，使問(wèn)題找到解決思路．例8、設(shè)F1、F2為橢圓＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn).P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|＞|PF2|,求的值.解:由題意，假設(shè)為直角，那么，即得，，故假設(shè)為直角，，即得，，故注：該題易忽略為直角，想當(dāng)然的認(rèn)為只是為直角題型三：橢圓的離心率問(wèn)題例9、一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率．解：∴，∴．說(shuō)明：變式訓(xùn)練：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離為．求橢圓的離心率．解：易得，從而有例10、橢圓與軸正向交于點(diǎn)，假設(shè)這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率的取值范圍．分析：∵解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，那么橢圓上的點(diǎn)，，∵，∴，即，解得或，∵∴〔舍去〕，，又∴，∴，又，∴．變式訓(xùn)練：假設(shè)橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點(diǎn)使．如何證明？選作思考：橢圓，、是其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．〔1〕過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于長(zhǎng)軸的弦，求證：不管、如何變化，．〔2〕如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)，使，求的離心率的取值范圍．分析：此題從條件出發(fā)，兩問(wèn)都應(yīng)從和的正切值出發(fā)做出估計(jì)，因此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手．此題的第〔2〕問(wèn)中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：，，根據(jù)得到，將代入，消去，用、、表示，以便利用列出不等式．這里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵成．解：〔1〕設(shè)，，．于是，．∵是到的角．∴∵∴，故∴．〔2〕設(shè)，那么，．由于對(duì)稱性，不妨設(shè)，于是是到的角．∴∵，∴整理得∵∴.∵，∴∵，∴.，∴，∴或〔舍〕，∴．總結(jié)區(qū)：離心率的值或范圍的求法〔本質(zhì)和通法〕：題型四：弦中點(diǎn)問(wèn)題例11、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，的斜率為0.25，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程．解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，∴，，，∴，∴為所求．說(shuō)明：〔1〕此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；〔2〕直線與曲線的綜合問(wèn)題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來(lái)解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率問(wèn)題．變式訓(xùn)練：橢圓上不同三點(diǎn)，，與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列．〔1〕求證；〔2〕假設(shè)線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率．證明：〔1〕由橢圓方程知，，．由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，∴．同理．∵，且，∴，即．〔2〕因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以它的垂直平分線方程為：．又∵點(diǎn)在軸上，設(shè)其坐標(biāo)為，代入上式，得：又∵點(diǎn)，都在橢圓上，∴，∴．將此式代入①，并利用的結(jié)論得：∴．例12、橢圓，求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程．分析一：一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求．解法一：設(shè)所求直線的斜率為，那么直線方程為．代入橢圓方程，并整理得:．由韋達(dá)定理得．∵是弦中點(diǎn)，∴．故得．所以所求直線方程為．分析二：解法二：設(shè)過(guò)的直線與橢圓交于、，那么由題意得①－②得．⑤將③、④代入⑤得，即直線的斜率為．所求直線方程為．變式訓(xùn)練：求過(guò)點(diǎn)〔0，2〕的直線被橢圓x2＋2y2＝2所截弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)直線方程為y=kx+2，把它代入x2＋2y2＝2，整理得〔2k2＋1〕x2+8kx+6=0.要使直線和橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么Δ＞0，即k＜－或k＞.設(shè)直線與橢圓兩個(gè)交點(diǎn)為A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，中點(diǎn)坐標(biāo)為C〔x，y〕，那么x＝＝，y=+2＝.〔k＜－或k＞〕，從參數(shù)方程〔k＜－或k＞〕，從參數(shù)方程y=消去k得x2＋2〔y－1〕2＝2，且｜x｜＜＝，0＜y＜．說(shuō)明：〔1〕有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，主要有三種類型：過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡．〔2〕解法二是“點(diǎn)差法〞，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率．〔3“韋達(dá)定理應(yīng)用〞及“點(diǎn)差法〞．有關(guān)二次曲線問(wèn)題也適用．總結(jié)區(qū)：點(diǎn)差法：題型五：參數(shù)方程問(wèn)題〔常用于最值〕例13、設(shè)橢圓(為參數(shù))上一點(diǎn)與軸正向所成角，求點(diǎn)的坐標(biāo)．分析：利用參數(shù)與之間的關(guān)系求解．解：設(shè)，由與軸正向所成角為，∴，即．而，，由此得到，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．變式訓(xùn)練：(1)寫(xiě)出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積．分析：此題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用．為簡(jiǎn)化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問(wèn)題便化歸為三角問(wèn)題．解：(1)．(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對(duì)稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，，那么故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12．說(shuō)明：題型六：定值、最值問(wèn)題例14、求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值．分析：解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)到直線的距離為．當(dāng)時(shí)，．說(shuō)明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問(wèn)題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程．變式訓(xùn)練：設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)．分析：此題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問(wèn)題的能力，在求的最大值時(shí)，要注意討論的取值范圍．此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識(shí)解決一些綜合性問(wèn)題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力．解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是，其中待定．由可得：，即．設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，那么，其中．如果，那么當(dāng)時(shí)，〔從而〕有最大值．由題設(shè)得，由此得，與矛盾．因此必有成立，于是當(dāng)時(shí)，〔從而〕有最大值．由題設(shè)得，可得，．∴所求橢圓方程是．由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是．解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中，待定，，為參數(shù)．由可得，即．設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，那么，如果，即，那么當(dāng)時(shí)，〔從而〕有最大值．由題設(shè)得，由此得，與矛盾，因此必有成立．于是當(dāng)時(shí)〔從而〕有最大值．由題設(shè)知，∴，．∴所求橢圓的參數(shù)方程是．由，，可得橢圓上的是，．例15、設(shè)，，，求的最大值和最小值．分析：此題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致．設(shè)，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫(huà)出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值．解：由，得可見(jiàn)它表示一個(gè)橢圓，其中心在點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)〔0，0〕點(diǎn)和〔3，0〕點(diǎn)．設(shè)，那么它表示一個(gè)圓，其圓心為〔－1，0〕半徑為．在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如下列圖．觀察圖形可知，當(dāng)圓過(guò)〔0，0〕點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即，此時(shí)；當(dāng)圓過(guò)〔3，0〕點(diǎn)時(shí)，半徑最大，即，∴．∴的最小值為0，最大值為15．變式訓(xùn)練：.解：利用數(shù)形結(jié)合。例16、以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程．分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，此題實(shí)際上就是要在直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩點(diǎn)〔即兩焦點(diǎn)〕的距離之和最小，只須利用對(duì)稱就可解決．解：如下列圖，橢圓的焦點(diǎn)為，．解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為〔－5，4〕．此時(shí)最?。髾E圓的長(zhǎng)軸：，∴，又，∴．因此，所求橢圓的方程為．例17、橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，是原點(diǎn)，假設(shè)OP、OQ斜率之積為?！?〕求證：|OP|2+|OQ|2為定值?！?〕求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程。解：〔1〕設(shè)P、Q的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、Q,P、Q分別在橢圓上，且，得〔3〕代入