華東師大版初中八年級數學上冊專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(七)勾股定理中的數學思想練課件

專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(七)勾股定理中的數學思想(練方法)1.(2024吉林長春期末,22,★★☆)如圖,在6×6的正方形網格中,每個小正方形的

邊長均為1,請在給定網格中按下列要求畫圖并回答問題:(1)在網格中畫△ABC,使△ABC的三個頂點都在格點上,AB、BC、AC的長分別

為

、

、

.(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由.(3)求作點P,使BP=CP,且點P到BA、BC的距離相等.(保留作圖痕跡)

類型一數形結合思想解析△ABC的位置不唯一.(1)如圖,△ABC即為所求.

(2)結論:△ABC是直角三角形.理由:∵AB=

,BC=

,AC=

,∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,∴△ABC是直角三角形.(3)如圖,點P即為所求.2.(2024河南駐馬店八中期末,20,★★☆)我國古代數學家趙

爽在證明勾股定理時,創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,后人稱之為“趙爽弦圖”.如

圖,大正方形ABCD由4個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組成,AB=c,

BE=a,AE=b(b>a).(1)請你利用這個圖形推導勾股定理:a2+b2=c2.(2)若直角三角形ABE的面積為54,c=15,求小正方形EFGH的邊長.

情境題數學文化類型二整體思想解析

(1)∵大正方形ABCD由4個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組

成,AB=c,BE=a,AE=b(b>a),∴c2=4×

ab+(b-a)2,整理,得a2+b2=c2.(2)∵直角三角形ABE的面積為54,c=15,∴

ab=54,a2+b2=c2=152=225,∴ab=108,∴小正方形EFGH的面積=(b-a)2=a2+b2-2ab=225-2×108=9,∴小正方形EFGH的邊

長為3.3.(2023河南駐馬店上蔡期末,22,★★☆)閱讀下列材

料,完成任務.我們知道,平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2可以用如圖1所示的平面幾何圖形的面積

來表示,實際上,還有一些代數恒等式也可以用這種形式表示.任務:(1)圖2是由2個邊長分別為a、b的正方形和2個全等的長方形所拼成的大正方形,

根據圖中的信息,可以寫出所表示的代數恒等式為

.(2)如圖3所示的圖形是由四個直角邊長分別為a、b,斜邊長為c的全等的直角三

角形和一個小正方形拼成的大正方形,請你用面積法推導恒等式的方法,證明勾

股定理.(3)在Rt△ABC中,a、b為直角邊長,c為斜邊長,且a2-b2=28,a-b=2,求直角三角形的新考向過程性學習試題斜邊長c.

解析

(1)(a+b)2=a2+2ab+b2.(2)∵(a+b)2=4×

ab+c2,∴a2+2ab+b2=2ab+c2,∴a2+b2=c2.(3)∵a2-b2=28,∴(a+b)(a-b)=28.∵a-b=2,∴a+b=14,∴a=8,b=6.∵a2+b2=c2,∴c2=100,∴c=10(負值舍去).4.(2024吉林長春期末,16,★★☆)如圖,高速公路上有A、B兩點相距25km,C、D

為兩村莊.已知DA=10km,CB=15km,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,現要在AB上建一

個服務站E,使得C、D兩村莊到E站的距離相等,求AE的長.

類型三方程思想解析設AE=xkm,則BE=(25-x)km,由勾股定理得,在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2=102+x2,在Rt△BCE中,CE2=BC2+BE2=152+(25-x)2,由題意可知DE=CE,所以102+x2=152+(25-x)2,解得x=15.所以AE的長為15km.5.(2024江蘇揚州寶應期末,17,★★☆)如圖,在長方形ABCD中,AB=18,BC=12,E、F分別在邊AB、CD上.現將四邊形BCFE沿EF折疊,點B、C的對應點分別

為點B'、C'.當點B'恰好與點D重合時,求CF的長.

對應目標編號M8114001

解析∵四邊形ABCD是長方形,∴AB=CD=18,∠C=90°,由翻折的性質可知CF=C'F,BC=B'C'=12,∠C'=∠C=90°,∴DF=CD-CF=18-CF,在

Rt△B'C'F中,根據勾股定理得B'F2-C'F2=B'C'2,∴(18-CF)2-CF2=122,∴CF=5.6.(2024貴州貴陽期中,14,★★☆)如圖,這是一個供滑板愛好者使用的U型池,該

U型池可以看成一個長方體去掉一個“半圓柱”而成,中間可供滑行部分的截

面是半徑為4m的半圓,其邊緣AB=CD=20m,點E在CD上,CE=2m,一滑板愛好者

從A點滑到E點,則他滑行的最短距離約為(邊緣部分的厚度忽略不計,結果保留

整數)

對應目標編號M8114001(

)

A.18m

B.20m

C.22m

D.24m類型四轉化思想C解析

如圖,AE的長為滑行的最短距離.由題意得AD=4π米,DE=DC-CE=18

米,在Rt△ADE中,AE=

≈22(米),即滑行的最短距離約為22米.故選C.

7.(2024山西太原期中,15,★★☆)紙箱是我們生活中常見的物品.如圖1,

創(chuàng)意DIY小組的同學將一個10cm×30cm×40cm的長方體紙箱裁去一部分(粗線

為裁剪線),得到圖2所示的簡易書架.若一只蜘蛛從該書架的頂點A出發(fā),沿書架

內壁爬行到頂點B處,則它爬行的最短距離為

cm.

新考法

50解析把書架側面展開,如圖所示,連結AB,則爬行的最短距離為AB的長,

由圖形可知,OA=30+10=40(cm),OB=40-10=30(cm),在Rt△AOB中,AB=

=

=50(cm),∴它爬行的最短距離為50cm.8.(2024陜西漢中洋縣期末,20,★★☆)陜西省的地勢南北高、中

部低,有高原、山地、平原和盆地等多種地形.某工程隊現需穿過某座大山修一

條隧道AB,如圖,為了測量隧道AB的長度,在山的另一側水平地面上取了一點C,

在隧道BA的延長線上取了點D,測量得知,∠CAD-∠C=90°,AC=500米,BC=140米,

請你求出隧道AB的長.

學科地理解析∵∠CAD-∠C=90°,∴∠ABC=90°.∵AC=500米,BC=140米,∴AB=

=

=480米,即隧道AB的長為480米.9.(2024吉林長春朝陽期末,8,★★☆)如圖,長方體的長、寬、高分別為2cm、1

cm、4cm,螞蟻在長方體表面爬行,從點A爬到點B的最短路程是

(

)

A.

cm

B.

cm

C.5cm

D.4.5cm類型五分類討論思想C解析

根據題意,分三種情況:①展開前面和右面,如圖,則AB=

=5(cm);

②展開前面和上面,如圖,則AB=

=

(cm);

③展開左面和上面,如圖,則AB=

=

(cm).

∵5<

<

,∴從點A爬到點B的最短路程是5cm.故選C.10.(2024吉林長春期末,24,★★☆)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,點P

從點A出發(fā),沿射線AC以每秒2個單位長度的速度運動.設點P的運動時間為t秒

(t>0).(1)AC=

.(2)若點P在∠ABC的平分線上,求△BCP的面積.(3)當BP=4時,求t的值.(4)當△ABP是等腰三角形時,直接寫出t的值.解析

(1)4.(2)過點P作PM⊥AB于點M,如圖1所示:

∵∠ACB=90°,∴PC⊥BC,∵點P在∠ABC的平分線上,PM⊥AB,∴PC=PM.∵PB=PB,∴Rt△PCB≌Rt△PMB(H.L.),∴CB=MB,∴AM=AB-MB=AB-BC=5-3=2,設PM=PC=x,則AP=4-x,在Rt△APM中,AM2+PM2=AP2,∴22+x2=(4-x)2,解得x=

,∴PC=

,∴△BCP的面積為

BC·PC=

×3×

=

.(3)如圖2,P1B=P2B=4,

∴P1C=P2C=

=

,∴AP1=4-

,AP2=4+

,∴t=

或

.(4)當AB作為底邊時,如圖3所示,

則PA=PB,設PA=a,則PC=AC-AP=4-a,在Rt△PCB中,PB2=PC2+CB2,∴a2=(4-a)2+32,解得a=

,此時t=

÷2=

.當AB作為腰時,如圖4所示,

若AP1=AB=5,則t=5÷2=

,若AB=BP2,∵BC⊥AP2,∴AP2=2AC=8,此時t=8÷2=4.綜上可得,t的值為

或

或4.11.(★★☆)閱讀:能夠成為直角三角形三條邊長的三個正

整數a、b、c,稱為勾股數.世界上第一次給出勾股數通解公式的是我國古代數學

著作《九章算術》,勾股數組公式為

其中m>n>0,m,n是互質的奇數.當n=1時,求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長.情境題數學文化解析當n=1時,a=

(m2