2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第五章　§5.1　平面向量的概念及線性運算含答案

2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第五章§5.1平面向量的概念及線性運算§5.1平面向量的概念及線性運算課標(biāo)要求1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義．知識梳理1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長度(或稱模)．(2)零向量：長度為0的向量，記作0．(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算法則(或幾何意義)運算律加法交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.常用結(jié)論1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．在△ABC中，D為BC的中點，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．3．在△ABC中，點P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.(×)(2)單位向量都相等．(×)(3)任一非零向量都可以平行移動．(√)(4)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)2．下列命題正確的是()A．零向量是唯一沒有方向的向量B．若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－bC．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))是平行向量D．平行向量不一定是共線向量答案C解析A項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；B項，|a|＝|b|說明a，b的長度相等，不能判斷它們的方向，故B錯誤；C項，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))方向相反，是平行向量，故C正確；D項，平行向量就是共線向量，故D錯誤．3．(必修第二冊P10T4改編)(多選)下列各式化簡結(jié)果正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))答案BC4．(必修第二冊P16T3改編)已知e1，e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三點共線，則λ＝________.答案－4解析因為M，N，P三點共線，所以存在實數(shù)k使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝keq\o(NP,\s\up6(→))，即2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.題型一平面向量的基本概念例1(1)(多選)下列說法正確的是()A．若a＝b，b＝c，則a＝cB．若四邊形ABCD滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是平行四邊形C．若a∥b，b∥c，則a∥cD．與非零向量a共線的單位向量為±eq\f(a,|a|)答案ABD解析對于A，由相等向量的定義知，A正確；對于B，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以AB∥DC且AB＝DC，則四邊形ABCD是平行四邊形，故B正確；對于C，若b＝0，則由a∥b，b∥c，無法得到a∥c，故C錯誤；對于D，由單位向量和共線向量定義可知與非零向量a共線的單位向量為±eq\f(a,|a|)，故D正確．(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))C.eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)) D.eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))答案D解析方法一(排除法)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))不共線，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))不共線，故A，B錯誤；eq\o(PE,\s\up6(→))，eq\o(PF,\s\up6(→))方向相反，C錯誤；故選D.方法二在等腰梯形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))不平行，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))不平行，故A，B錯誤；∵AB∥CD，∴eq\f(PD,PB)＝eq\f(CD,AB)＝eq\f(PC,PA)，∴eq\f(PB,PD)＝eq\f(PA,PC)，則eq\f(PB＋PD,PD)＝eq\f(PA＋PC,PC)，即eq\f(BD,PD)＝eq\f(AC,PC)，即eq\f(PD,BD)＝eq\f(PC,AC)，∵EF∥AB，∴eq\f(PE,AB)＝eq\f(PD,BD)＝eq\f(PC,AC)＝eq\f(PF,AB)，∴PE＝PF，即P為EF的中點，∴eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))，故C錯誤，D正確．思維升華平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)非零向量的平行具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是與非零向量a同方向的單位向量．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)下列關(guān)于向量的說法正確的是()A．若|a|＝0，則a＝0B．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一條直線上C．對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a∥b，則存在唯一實數(shù)λ，使a＝λb答案AC解析對于A，若|a|＝0，則a＝0，故A正確；對于B，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點不一定在一條直線上，故B錯誤；對于C，若a，b方向相同，則|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，則|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊可知|a＋b|<|a|＋|b|.綜上可知對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正確；對于D，若a≠0，b＝0，則a∥b，此時不存在實數(shù)λ，使a＝λb，故D錯誤．(2)(多選)如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中一定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線C.eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(EH,\s\up6(→))共線D.eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))答案ABD解析由四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|，即A正確；由圖形可知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))的方向相反，eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(FG,\s\up6(→))的方向相同且長度相等，即eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))，故B，D正確；而∠BDE與∠DEH不一定相等，eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(EH,\s\up6(→))不一定共線，故C錯誤．題型二平面向量的線性運算命題點1向量加、減法的幾何意義例2若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝7，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，則|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范圍是()A．[3,7] B．(3,7)C．[3,11] D．(3,11)答案C解析由題意知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝7，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|，當(dāng)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))同向時，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝||eq\o(AC,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))||＝|4－7|＝3；當(dāng)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))反向時，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最大值，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝||eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))||＝|4＋7|＝11；當(dāng)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))不共線時，3＝||eq\o(AC,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))||<|eq\o(BC,\s\up6(→))|<||eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))||＝11，故|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范圍是[3,11]．命題點2向量的線性運算例3(2022·新高考全國Ⅰ)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n答案B解析因為BD＝2DA，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－2eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.命題點3根據(jù)向量線性運算求參數(shù)例4(2024·安陽模擬)已知矩形ABCD的對角線交于點O，E為AO的中點，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，則λ2－μ2等于()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(7,9)C.eq\f(3－2\r(2),2) D.eq\f(1＋\r(2),2)答案A解析如圖，在矩形ABCD中，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))，在△DAO中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→)))，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，∴λ2－μ2＝eq\f(1,16)－eq\f(9,16)＝－eq\f(1,2).思維升華平面向量線性運算的解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運算將向量表示出來進行比較，求參數(shù)的值．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是OD的中點，AE的延長線交CD于點F.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a＋b B.eq\f(1,3)a＋bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,3)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b答案B解析在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是OD的中點，AE的延長線交CD于點F，則△DEF∽△BEA，所以eq\f(DF,BA)＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(1,3)，則eq\f(DF,BA)＝eq\f(DF,DC)＝eq\f(1,3)，所以eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋b.(2)(2023·聊城模擬)M是△ABC內(nèi)的一點，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A.eq\f(7,6)B．1C.eq\f(5,6)D.eq\f(1,3)答案D解析由eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－λeq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＝6μeq\o(AC,\s\up6(→))－6λeq\o(BC,\s\up6(→))＝6μeq\o(AC,\s\up6(→))＋6λeq\o(CB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，故μ＝λ＝eq\f(1,6)，故λ＋μ＝eq\f(1,3).題型三共線定理及其應(yīng)用例5(1)(2023·徐州模擬)已知向量a，b不共線，向量8a－kb與－ka＋b共線，則k＝________.答案±2eq\r(2)解析因為向量a，b不共線，向量8a－kb與－ka＋b共線，所以8a－kb＝t(－ka＋b)＝－kta＋tb，t∈R，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＝－kt，,－k＝t，))解得k＝±2eq\r(2).(2)已知△ABC的重心為G，經(jīng)過點G的直線交AB于點D，交AC于點E，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.答案3解析如圖，延長AG交BC于點F，則F為BC的中點，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,μ)eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3λ)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3μ)eq\o(AE,\s\up6(→))，又G，D，E三點共線，∴eq\f(1,3λ)＋eq\f(1,3μ)＝1，即eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3.思維升華利用向量共線定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)．(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(3)已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，則A，P，B三點共線的充要條件是m＋n＝1.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023·綿陽模擬)已知平面向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則()A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線答案D解析對于A，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))不共線，故A不正確；對于B，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))不共線，故B不正確；對于C，eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不共線，故C不正確；對于D，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))有公共點C，則A，C，D三點共線，故D正確．(2)如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN的中點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)m的值是________．答案eq\f(1,4)解析因為eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AN,\s\up6(→))，因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AN,\s\up6(→))，且B，P，N三點共線，所以m＋eq\f(3,4)＝1，所以m＝eq\f(1,4).課時精練一、單項選擇題1．(2023·廣州模擬)如圖，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A．0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))答案A解析因為六邊形ABCDEF為正六邊形，所以eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝0．2.如圖，e1，e2為互相垂直的單位向量，向量a＋b＋c可表示為()A．2e1－3e2B．3e1－2e2C．2e1＋3e2D．3e1＋2e2答案D解析由題意得a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，c＝e1＋2e2，所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.3．若a，b為非零向量，則“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”是“a，b共線”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案B解析依題意，“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”表示與a，b同向的單位向量是相等向量，能推出“a，b共線”，所以充分性成立；“a，b共線”可能同向共線、也可能反向共線，所以“a，b共線”不能推出“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”，所以必要性不成立．4．(2024·銀川模擬)已知向量a，b不共線，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，若c與d方向相反，則實數(shù)x的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)答案B解析因為c與d方向相反，所以存在k∈R，使得d＝kc，且k<0，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb，因為向量a，b不共線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＝1，,k＝2x－1，))整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)或x＝1.又k<0，所以x<0，故x＝－eq\f(1,2).5．已知O，A，B三點不共線，點P為該平面內(nèi)一點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，則()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的延長線上C．點P在線段AB的反向延長線上D．點P在射線AB上答案D解析由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\o(AB,\s\up6(→))，所以點P在射線AB上．6.如圖所示，△ABC內(nèi)有一點G滿足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，過點G作一直線分別交AB，AC于點D，E.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)等于()A．4B．3C．2D．1答案B解析因為eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以G為△ABC的重心，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝teq\o(AD,\s\up6(→))＋(1－t)eq\o(AE,\s\up6(→))＝txeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－t)yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以tx＝eq\f(1,3)，(1－t)y＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3t＋3(1－t)＝3.二、多項選擇題7．下列各式中能化簡為eq\o(AD,\s\up6(→))的是()A．－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))B．－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))C．(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))答案ACD解析對于A，－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故A正確；對于B，－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(MB,\s\up6(→))，故B錯誤；對于C，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故C正確；對于D，eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－0＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故D正確．8.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，F(xiàn)為AE的中點，則()A.eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案ABC解析∵AB∥CD，AB＝2DC，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，故A正確；∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，又F為AE的中點，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故B正確；∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故C正確；∴eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故D錯誤．三、填空題9．已知在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD的形狀是________．答案等腰梯形解析由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，可得AB∥CD且AB＝eq\f(1,2)DC，所以四邊形ABCD是梯形，又因為|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以梯形ABCD的兩個腰相等，所以四邊形ABCD是等腰梯形．10．(2023·徐州模擬)已知單位向量e1，e2，…，e2024，則|e1＋e2＋…＋e2024|的最大值是________，最小值是________．答案20240解析當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2024方向相同時，|e1＋e2＋…＋e2024|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2024|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2024|＝2024；當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2024首尾相連時，e1＋e2＋…＋e2024＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2024|的最小值為0.11．(2023·佛山模擬)等腰直角△ABC中，點P是斜邊BC上一點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，則△ABC的面積為________．答案eq\f(25,2)解析如圖，過點P作AB，AC的垂線交AB，AC分別于點E，F(xiàn)，由于eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(4\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，則|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝1，所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，故△ABC的面積S＝eq\f(1,2)×5×5＝eq\f(25,2).12.(2024·鹽城模擬)如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且滿足eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(CF,\s\up6(→))，則|eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))|＝________.答案3解析因為eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又因為eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(CF,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|，又因為∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，所以△ADC為等邊三角形，所以AC＝AD＝2，所以|eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)×2＝3.四、解答題13．(2023·青島模擬)如圖，在矩形ABCD中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FC,\s\up6(→))，AC與EF交于點N.(1)若eq\o(CN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，求λ＋μ的值；(2)設(shè)eq\o(AE,\s\up6(→))＝a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AC,\s\up6(→)).解(1)依題意，設(shè)eq\o(EN,\s\up6(→))＝teq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EN,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋teq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋t(eq\o(CF,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)))＝(1－t)eq\o(CE,\s\up6(→))＋teq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1－t,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(t,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(CN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1－t,3)，,μ＝－\f(t,3)，))解得λ＋μ＝－eq\f(1,3).(2)因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(5,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)a＋eq\f(3,5)b.14.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．(1)解在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b－a＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a.(2)證明因為eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))∥eq\o(BF,\s\up6(→))，又eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))有公共點B，所以B，E，F(xiàn)三點共線．15．(2023·揚州模擬)設(shè)點O是面積為4的△ABC內(nèi)部一點，且有eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則△BOC的面積為()A．1B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案C解析如圖，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴－eq\f(1,7)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(3,7)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(4,7)eq\o(OC,\s\up6(→))，設(shè)－eq\f(1,7)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(3,7)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(4,7)eq\o(OC,\s\up6(→))，即B，C，D三點共線，∴eq\f(|\o(OD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(S△BOC,S△ABC)＝eq\f(1,8)，∴S△BOC＝4×eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).16.如圖，已知A，B，C是圓O上不同的三點，CO與AB交于點D(點O與點D不重合)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是________．答案(1，＋∞)解析因為CO與AB交于點D，所以O(shè)，C，D三點共線，所以eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OD,\s\up6(→))共線，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OD,\s\up6(→))，則m>1，因為eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以meq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，可得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(λ,m)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(μ,m)eq\o(OB,\s\up6(→))，因為A，B，D三點共線，所以eq\f(λ,m)＋eq\f(μ,m)＝1，可得λ＋μ＝m>1，所以λ＋μ的取值范圍是(1，＋∞)．§5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．知識梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．2．平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.常用結(jié)論1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一個基底．(×)(2)基底中可以含有零向量．(×)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換，其坐標(biāo)不變．(√)2．若e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的一個基底的是()A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與2e1＋e2C．e1－2e2與e1＋2e2 D．e1－e2與e2－e1答案D解析因為e2－e1＝－(e1－e2)，故e1－e2與e2－e1共線，不能構(gòu)成基底．3．(必修第二冊P31例7改編)若向量a＝(3，－4)，b＝(－1，m)，且a∥b，則m等于()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)答案D解析由題意得3m＝4，則m＝eq\f(4,3).4．(2023·石嘴山模擬)已知A(2,3)，B(4，－3)，點P在線段BA的延長線上，且2BP＝3AP，則點P的坐標(biāo)是________．答案(－2,15)解析設(shè)點O為坐標(biāo)原點，∵點P在線段BA的延長線上，且2BP＝3AP，∴2eq\o(BP,\s\up6(→))＝3eq\o(AP,\s\up6(→))，即2(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝3(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))＝3(2,3)－2(4，－3)＝(－2,15)．∴點P的坐標(biāo)為(－2,15).題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(1)設(shè){e1，e2}為平面內(nèi)的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．4e1＋2e2和2e2－4e1C．2e1＋e2和e1＋eq\f(1,2)e2D．e1－2e2和4e2＋2e1答案C解析平面向量的基底由兩個不共線的非零向量組成，C選項中，2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，即2e1＋e2和e1＋eq\f(1,2)e2為共線向量，所以它們不能作為基底．其他選項中的兩個向量都沒有倍數(shù)關(guān)系，所以可以作為基底．(2)(2023·西安模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，則eq\o(BA,\s\up6(→))等于()A.eq\f(6,5)eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(9,5)eq\o(CE,\s\up6(→)) B.eq\f(2,5)eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(3,5)eq\o(CE,\s\up6(→))C.eq\f(6,5)eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(9,5)eq\o(CE,\s\up6(→)) D.eq\f(2,5)eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(CE,\s\up6(→))答案C解析設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝－a－eq\f(2,3)b，因為eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋b，設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝meq\o(AF,\s\up6(→))＋neq\o(CE,\s\up6(→))，則－a＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋b))＋neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a－\f(2,3)b))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)m－n＝－1，,m－\f(2,3)n＝0，))解得m＝eq\f(6,5)，n＝eq\f(9,5)，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(6,5)eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(9,5)eq\o(CE,\s\up6(→)).思維升華(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．跟蹤訓(xùn)練1(1)平面內(nèi)任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列關(guān)于向量a，b的說法中正確的是()A．向量a，b的方向相同B．向量a，b中至少有一個是零向量C．向量a，b的方向相反D．當(dāng)且僅當(dāng)λ＝μ＝0時，λa＋μb＝0答案D解析因為任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以根據(jù)平面向量的基本定理得，向量a，b不共線，故A，B，C不正確；因為a，b不共線，所以當(dāng)且僅當(dāng)λ＝μ＝0時，λa＋μb＝0，故D正確．(2)(2023·太原模擬)已知在矩形ABCD中，E為AB邊中點，AC，DE交于點F，則eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案D解析如圖，取CD中點G，連接BG，交AC于點H，∵BE＝DG，BE∥DG，∴四邊形BEDG為平行四邊形，∴BG∥DE，又E為AB中點，∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).題型二平面向量的坐標(biāo)運算例2(1)已知A(－1,2)，B(3,0)，點P在直線AB上且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up6(→))|，則點P的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2,3))) B．(7,2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2,3)))或(7，－2) D．(2,1)或(7，－2)答案C解析設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，∵A(－1,2)，B(3,0)∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)．由點P在直線AB上且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up6(→))|，得eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))或eq\o(AP,\s\up6(→))＝－2eq\o(PB,\s\up6(→)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝23－x，,y－2＝2－y))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－23－x，,y－2＝－2－y.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－2.))∴點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2,3)))或(7，－2)．(2)(2024·成都模擬)在正方形ABCD中，M是BC的中點．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(15,8)D．2答案B解析在正方形ABCD中，以點A為原點，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令A(yù)B＝2，則B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，M(2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,2)，λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－2μ＝2，,λ＋2μ＝2，))解得λ＝eq\f(4,3)，μ＝eq\f(1,3)，λ＋μ＝eq\f(5,3)，所以λ＋μ的值為eq\f(5,3).思維升華(1)利用向量的坐標(biāo)運算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則，然后根據(jù)“兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進行求解．(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案D解析∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).(2)已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b))表示c，則()A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3bC．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b答案D解析如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))，c＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，設(shè)向量c＝ma＋nb，則c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2n＝7，,m＋3n＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－2，))所以c＝3a－2b.題型三向量共線的坐標(biāo)表示例3(1)(2023·濟寧模擬)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b與a共線，則m＝________.答案eq\f(3,2)解析a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，則a＋2b＝(－1＋2m，－4)，由題意得(a＋2b)∥a，故4＝2(－1＋2m)，解得m＝eq\f(3,2).(2)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F(xiàn)分別為AB，BC中點，則AF與CE的交點坐標(biāo)為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3)))解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，C(0,4)，E(1,0)，F(xiàn)(1,2)，設(shè)AF與CE交點為D(x，y)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1,2)，且eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(AF,\s\up6(→))，即2x－y＝0，①又eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1，－4)，且eq\o(CD,\s\up6(→))∥eq\o(CE,\s\up6(→))，即y－4＋4x＝0，②由①②得x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(4,3)，故交點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3))).思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024·景德鎮(zhèn)模擬)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sinα－3)，c＝(2，cosα)，若(a＋b)∥c，則tanα的值為()A．2B．－2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案A解析因為a＝(2,3)，b＝(2，sinα－3)，所以a＋b＝(4，sinα)，又c＝(2，cosα)且(a＋b)∥c，所以4cosα＝2sinα，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2.(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標(biāo)為____．答案(2,4)解析∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4－x,2－y)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即eq\b\lc\{\rc\