2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第二章　§2.2　函數(shù)的單調(diào)性與最值含答案

2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第二章§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值課標(biāo)要求1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實(shí)際意義.2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈D，都有f(x)≤M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M(1)?x∈D，都有f(x)≥M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M結(jié)論M是函數(shù)y＝f(x)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值常用結(jié)論1．?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)．2．在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．3．函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．4．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)滿足f(－3)<f(2)，則f(x)在[－3,2]上單調(diào)遞增．(×)(2)若函數(shù)f(x)在(－2,3)上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－2,3)．(×)(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上一定有最值．(√)(4)函數(shù)y＝eq\f(1,x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)2．下列函數(shù)中，在其定義域上是減函數(shù)的是()A．y＝－2x＋1 B．y＝x2＋1C．y＝eq\r(x) D．y＝2x答案A解析y＝－2x＋1在R上是減函數(shù)，故A正確；y＝x2＋1在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；y＝eq\r(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；y＝2x在R上是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤．3．(2023·宜春統(tǒng)考)函數(shù)y＝－eq\f(1,x＋1)在區(qū)間[1,2]上的最大值為()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(1,2)C．－1 D．不存在答案A解析y＝－eq\f(1,x＋1)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，則y＝－eq\f(1,x＋1)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，所以ymax＝－eq\f(1,2＋1)＝－eq\f(1,3).4．函數(shù)f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，則滿足f(2x－1)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))解析∵f(x)的定義域是[0，＋∞)，∴2x－1≥0，即x≥eq\f(1,2)，又∵f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，∴2x－1<eq\f(1,3)，即x<eq\f(2,3)，則x的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))).題型一確定函數(shù)的單調(diào)性命題點(diǎn)1函數(shù)單調(diào)性的判斷例1(多選)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝x－eq\f(1,x) B．y＝|x2－2x|C．y＝2x＋2cosx D．y＝lg(x＋1)答案ACD解析∵y＝x與y＝－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴y＝x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故A正確；由y＝|x2－2x|的圖象(圖略)知，B不正確；∵y′＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx是R上的增函數(shù)，故C正確；函數(shù)y＝lg(x＋1)是定義域(－1，＋∞)上的增函數(shù)，故D正確．命題點(diǎn)2利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例2試討論函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性．解方法一定義法設(shè)－1<x1<x2<1，因?yàn)閒(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，所以f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1)，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．方法二導(dǎo)數(shù)法f′(x)＝eq\f(ax′x－1－axx－1′,x－12)＝eq\f(ax－1－ax,x－12)＝－eq\f(a,x－12).故當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法．(2)導(dǎo)數(shù)法．(3)圖象法．(4)性質(zhì)法．跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)g(x)＝x·|x－1|＋1的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．[1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)答案B解析g(x)＝x·|x－1|＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1，x≥1，,－x2＋x＋1，x<1，))畫出函數(shù)圖象，如圖所示，根據(jù)圖象知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)(2024·唐山模擬)函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))解析令t＝2x2－3x－2>0，解得x>2或x<－eq\f(1,2)，則f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(2，＋∞)，由f(t)＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，函數(shù)t＝2x2－3x－2的單調(diào)遞減區(qū)間，即為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，再結(jié)合f(x)的定義域可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).題型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1比較函數(shù)值的大小例3(2023·湘潭統(tǒng)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0，則()A．f(－2)<f(3)<f(4)B．f(－2)>f(3)>f(4)C．f(3)<f(4)<f(－2)D．f(4)<f(－2)<f(3)答案A解析因?yàn)閷?duì)任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0，所以f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(2)<f(3)<f(4)，又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)<f(3)<f(4)．命題點(diǎn)2求函數(shù)的最值例4(2023·四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附中模擬)函數(shù)f(x)＝x－eq\f(2,x)＋1在[1,4]上的值域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(9,2))) B．[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(9,2)))答案C解析由y＝x在[1,4]上單調(diào)遞增，且y＝eq\f(2,x)在[1,4]上單調(diào)遞減，可得f(x)＝x－eq\f(2,x)＋1在[1,4]上單調(diào)遞增，又f(1)＝0，f(4)＝eq\f(9,2)，故值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2))).求函數(shù)的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)求值域問題．(2)單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所給定義域來(lái)確定函數(shù)的值域．(3)數(shù)形結(jié)合法．(4)換元法：引進(jìn)一個(gè)(幾個(gè))新的量來(lái)代替原來(lái)的量，實(shí)行這種“變量代換”．(5)分離常數(shù)法：分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數(shù)分離成一個(gè)常數(shù)和一個(gè)分式和的形式．典例(多選)下列函數(shù)中，值域正確的是()A．當(dāng)x∈[0,3)時(shí)，函數(shù)y＝x2－2x＋3的值域?yàn)閇2,6)B．函數(shù)y＝eq\f(2x＋1,x－3)的值域?yàn)镽C．函數(shù)y＝2x－eq\r(x－1)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞))D．函數(shù)y＝eq\r(x＋1)＋eq\r(x－1)的值域?yàn)閇eq\r(2)，＋∞)答案ACD解析對(duì)于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖①所示)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇2,6)．對(duì)于B，(分離常數(shù)法)y＝eq\f(2x＋1,x－3)＝eq\f(2x－3＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3)，顯然eq\f(7,x－3)≠0，∴y≠2.故函數(shù)的值域?yàn)?－∞，2)∪(2，＋∞)．對(duì)于C，(換元法)設(shè)t＝eq\r(x－1)，則x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq\f(15,8)，由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖②所示)，可得函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)).對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)閇1，＋∞)，∵y＝eq\r(x＋1)與y＝eq\r(x－1)在[1，＋∞)上均單調(diào)遞增，∴y＝eq\r(x＋1)＋eq\r(x－1)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，ymin＝eq\r(2)，即函數(shù)的值域?yàn)閇eq\r(2)，＋∞)．命題點(diǎn)3解函數(shù)不等式例5函數(shù)y＝f(x)是定義在[－2,2]上的減函數(shù)，且f(a＋1)<f(2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案[－1,1)解析依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2，,－2≤2a≤2，,a＋1>2a))?－1≤a<1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1,1)．命題點(diǎn)4求參數(shù)的取值范圍例6(2024·恩施模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,x2－ax＋6，x≥1))滿足：對(duì)任意x1，x2∈R，當(dāng)x1≠x2時(shí)，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[2，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D．[1,2]答案C解析對(duì)任意x1，x2∈R，當(dāng)x1≠x2時(shí)，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,x2－ax＋6，x≥1))在R上是增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1>0，,\f(a,2)≤1，,3a－1＋4a≤1－a＋6，))解得eq\f(1,3)<a≤1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).思維升華(1)比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．(2)求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解．對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋1，x≥0，,－2x2，x<0，))則不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是()A．(－2,1)B．(0,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(1，＋∞)答案C解析由函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋1，x≥0，,－2x2，x<0))的圖象(圖略)可得f(x)在R上是增函數(shù)，則不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等價(jià)于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2，則原不等式的解集為(－∞，－2)∪(1，＋∞)．(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋a－3,x－1)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案[1,2)解析f(x)＝eq\f(x＋a－3,x－1)＝eq\f(x－1＋a－2,x－1)＝1＋eq\f(a－2,x－1)，∵f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,a≥1))?1≤a<2.課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·菏澤檢測(cè))下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是()A．y＝－x2＋1 B．y＝eq\r(x)C．y＝eq\f(1,x) D．y＝3－x答案B解析y＝－x2＋1在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，故A不符合題意；y＝eq\r(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù)，所以在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，故B符合題意；y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，故C不符合題意；y＝3－x在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，故D不符合題意．2．函數(shù)f(x)＝－|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[0,2] D．[0，＋∞)答案B解析∵y＝|x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2，,－x＋2，x<2，))∴函數(shù)y＝|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，2]，單調(diào)遞增區(qū)間為[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，＋∞)．3．(2024·邵陽(yáng)統(tǒng)考)已知f(x)是偶函數(shù)，f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增，則f(1)，f(－2)，f(－3)的大小關(guān)系為()A．f(1)>f(－2)>f(－3)B．f(－2)>f(－3)>f(1)C．f(－3)>f(1)>f(－2)D．f(－3)>f(－2)>f(1)答案D解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．因?yàn)閒(x)在[1,3]上單調(diào)遞增，所以f(3)>f(2)>f(1)，所以f(－3)>f(－2)>f(1)．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x－1)，則f(x)在區(qū)間[2,6]上的最大值為()A.eq\f(12,5)B．3C．4D．5答案C解析∵f(x)＝eq\f(2x,x－1)＝2＋eq\f(2,x－1)在[2,6]上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(2)＝4.5．(2023·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋lnx－1，則不等式f(x)<0的解集為()A．(e，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1) D．(0，＋∞)答案C解析函數(shù)f(x)＝x＋lnx－1的定義域?yàn)?0，＋∞)．因?yàn)閥＝x－1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝x＋lnx－1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(1)＝1＋ln1－1＝0，所以不等式f(x)<0的解集為(0,1)．6．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x1，x2且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>－1，則下列說(shuō)法正確的是()A．y＝f(x)＋x是增函數(shù)B．y＝f(x)＋x是減函數(shù)C．y＝f(x)是增函數(shù)D．y＝f(x)是減函數(shù)答案A解析不妨令x1<x2，∴x1－x2<0，∵eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>－1?f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)?f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)，又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函數(shù)．二、多項(xiàng)選擇題7．下列說(shuō)法中，正確的是()A．若對(duì)任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，則y＝f(x)在I上單調(diào)遞增B．函數(shù)y＝x2在R上是增函數(shù)C．函數(shù)y＝－eq\f(1,x)在定義域上是增函數(shù)D．函數(shù)y＝eq\f(1,x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)答案AD解析對(duì)于A，若對(duì)任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，則有f(x1)<f(x2)，由函數(shù)單調(diào)性的定義可知y＝f(x)在I上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝x2在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由反比例函數(shù)單調(diào)性可知，y＝－eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由反比例函數(shù)單調(diào)性可知，y＝eq\f(1,x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D正確．8．(2023·廣州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,x)在區(qū)間[1，＋∞)上一定()A．單調(diào)遞減 B．單調(diào)遞增C．有最小值 D．有最大值答案BC解析∵函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸應(yīng)當(dāng)位于區(qū)間(－∞，1)內(nèi)，∴a<1，g(x)＝eq\f(fx,x)＝x＋eq\f(a,x)－2a(x≥1)，任取1≤x1<x2，g(x1)－g(x2)＝x1＋eq\f(a,x1)－x2－eq\f(a,x2)＝x1－x2＋eq\f(ax2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－a,x1x2)，由a<1,1≤x1<x2，有x1－x2<0，x1x2>1>0，x1x2－a>0，則g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)，所以g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2a在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值為g(1)＝1－a，無(wú)最大值．三、填空題9．函數(shù)f(x)＝eq\r(－x2＋2x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間為______．答案[－1,1]解析要使函數(shù)f(x)有意義，則－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1,1]．10．(2023·松原聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x，則不等式f(3x－1)<f(1－x)的解集為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析函數(shù)y＝2x與y＝－2－x均在R上是增函數(shù)，故f(x)在R上是增函數(shù)，f(3x－1)<f(1－x)等價(jià)于3x－1<1－x，得x<eq\f(1,2).11．已知命題p：“若f(x)<f(4)對(duì)任意的x∈(0,4)都成立，則f(x)在(0,4)上單調(diào)遞增”．能說(shuō)明命題p為假命題的一個(gè)函數(shù)是________________．答案f(x)＝(x－1)2(答案不唯一，如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，0<x<4，,1，x＝4，))只要滿足題意即可)解析由題意知，令f(x)＝(x－1)2，滿足f(x)<f(4)對(duì)任意的x∈(0,4)都成立，但函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,4)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝(x－1)2可以說(shuō)明命題p為假命題．12．(2023·臨川一中模擬)已知函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋3)在[0,1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案[2,4)解析函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋3)在[0,1]上單調(diào)遞減，當(dāng)0<a<1時(shí)，x2－ax＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋3－eq\f(a2,4)≥3－eq\f(a2,4)>0恒成立，而函數(shù)u＝x2－ax＋3在區(qū)間[0,1]上不單調(diào)，因此0<a<1不符合題意；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝logau在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)u＝x2－ax＋3在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，因此eq\f(a,2)≥1，并且12－a×1＋3>0，解得2≤a<4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,4)．四、解答題13．(2023·昆明統(tǒng)考)給定函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R.(1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象；(2)?x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，記為M(x)＝max{f(x)，g(x)}，試判斷M(x)在區(qū)間(－∞，a]上的單調(diào)性．解(1)f(x)，g(x)的圖象如圖所示．(2)由(1)及M(x)的定義得，M(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0,2]上單調(diào)遞增，在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)a≤0時(shí)，M(x)在(－∞，a]上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a≤2時(shí)，M(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，a]上單調(diào)遞增；當(dāng)a>2時(shí)，M(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0,2]上單調(diào)遞增，在[2，a]上單調(diào)遞減．14．(2023·重慶聯(lián)考)已知f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)(x∈R)．(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用定義證明；(2)解關(guān)于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0.解(1)f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)在R上是增函數(shù)．證明：在R上任取x1，x2且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝，由x1<x2可知，所以，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．即f(x)在R上是增函數(shù)．(2)易知f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由(1)知，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)，所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0，解得－3<t<1，即關(guān)于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0的解集為{t|－3<t<1}．15．(多選)(2024·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且對(duì)于y＝f(x)(x∈R)，當(dāng)x1，x2∈(－∞，0)且x1≠x2時(shí)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0恒成立，若f(2ax)<f(2x2＋1)對(duì)任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是()A．(－eq\r(2)，－1) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))C．[0，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，＋∞)答案ABC解析由題意得y＝f(x)為偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故y＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(2ax)<f(2x2＋1)，故f(|2ax|)<f(2x2＋1)，所以|2ax|<2x2＋1，當(dāng)x＝0時(shí)，|0|<1恒成立，滿足要求，當(dāng)x≠0時(shí)，|2a|<eq\f(2x2＋1,|x|)＝2|x|＋eq\f(1,|x|)在x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立，其中2|x|＋eq\f(1,|x|)≥2eq\r(2|x|·\f(1,|x|))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)2|x|＝eq\f(1,|x|)，即|x|＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，等號(hào)成立，故|2a|<2eq\r(2)，解得－eq\r(2)<a<eq\r(2)，綜上，a的取值范圍為－eq\r(2)<a<eq\r(2)，A選項(xiàng)，由于(－eq\r(2)，－1)?(－eq\r(2)，eq\r(2))，A正確；B選項(xiàng)，eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))?(－eq\r(2)，eq\r(2))，B正確；C選項(xiàng)，[0，eq\r(2))?(－eq\r(2)，eq\r(2))，C正確；D選項(xiàng)，(eq\r(2)，＋∞)顯然不是(－eq\r(2)，eq\r(2))的子集，D錯(cuò)誤．16．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－x2，x≥0，,－2x，x<0.))若對(duì)任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________；若f(x)在[－1，t)上的值域?yàn)閇0,4]，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為__________．答案(－∞，0](2,4]解析若對(duì)任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，則f(x)在R上是減函數(shù)，則eq\f(a,2)≤0，即a≤0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]；當(dāng)a>0時(shí)，若f(x)在[－1，t)上的值域?yàn)閇0,4]，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝eq\f(a2,2)－eq\f(a2,4)＝4，解得a＝4或a＝－4(舍去)，又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，所以2<t≤4；當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在[－1，t)上單調(diào)遞減，則f(x)在[－1，t)上的最大值為f(－1)＝2，不符合題意，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為(2,4]．§2.1函數(shù)的概念及其表示課標(biāo)要求1.了解函數(shù)的含義.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．知識(shí)梳理1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．常用結(jié)論1．直線x＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn)．2．在函數(shù)的定義中，非空實(shí)數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)锽的子集．3．分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．(×)(2)任何一個(gè)函數(shù)都可以用圖象法表示．(×)(3)直線y＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象可以有多個(gè)交點(diǎn)．(√)(4)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥0，,x2，x<0))的定義域?yàn)镽.(√)2．(多選)(2023·南寧質(zhì)檢)下列圖象中，是函數(shù)圖象的是()答案ACD解析在函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，一個(gè)自變量只對(duì)應(yīng)一個(gè)因變量，在圖象中，圖象與平行于y軸的直線最多有一個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)B中的圖象不是函數(shù)圖象．3．(多選)下列選項(xiàng)中，表示的不是同一個(gè)函數(shù)的是()A．y＝eq\f(\r(x＋3),\r(3－x))與y＝eq\r(\f(x＋3,3－x))B．y＝x2與y＝(x－1)2C．y＝eq\r(x2)與y＝xD．y＝1與y＝x0答案BCD解析對(duì)于A選項(xiàng)，y＝eq\f(\r(x＋3),\r(3－x))的定義域是[－3,3)，y＝eq\r(\f(x＋3,3－x))的定義域是[－3,3)，并且eq\f(\r(x＋3),\r(3－x))＝eq\r(\f(x＋3,3－x))，所以兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，所以是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，y＝eq\r(x2)＝|x|，所以兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，y＝1的定義域是R，y＝x0的定義域是{x|x≠0}，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)．4．已知函數(shù)f(x－1)＝x2＋4x－5，則f(x)的解析式是________________．答案f(x)＝x2＋6x解析f(x－1)＝x2＋4x－5，設(shè)x－1＝t，則x＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.題型一函數(shù)的概念例1(1)(多選)下列說(shuō)法中正確的有()A．f(x)＝eq\f(|x|,x)與g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))表示同一個(gè)函數(shù)B．函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1)－eq\f(1,x)的定義域是[－1,0)∪(0，＋∞)C．f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一個(gè)函數(shù)D．若f(x)＝|x－1|－x，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝0答案BC解析對(duì)于A，函數(shù)f(x)＝eq\f(|x|,x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))的定義域?yàn)镽，兩函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意，在f(x)＝eq\r(x＋1)－eq\f(1,x)中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x≠0，))解得x≥－1且x≠0，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(0)＝1，故D錯(cuò)誤．(2)(2024·濟(jì)南檢測(cè))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－2,3]，則函數(shù)f(2x－1)的定義域?yàn)開_______．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))解析由－2≤2x－1≤3，解得－eq\f(1,2)≤x≤2，所以函數(shù)f(2x－1)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)).思維升華函數(shù)的含義及判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的方法(1)函數(shù)概念中有兩個(gè)要求：①A，B是非空的實(shí)數(shù)集；②第一個(gè)集合A中的每個(gè)元素在第二個(gè)集合B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)．(2)兩個(gè)函數(shù)滿足定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，才是同一個(gè)函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1(1)下列各組函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是()A．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝eq\f(1,x)－1，g(x)＝eq\f(1,x－1)C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝eq\f(x2－1,x－1)答案C解析對(duì)于A，f(x)＝eq\r(x2)的定義域?yàn)镽，g(x)＝(eq\r(x))2的定義域?yàn)閇0，＋∞)，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，兩個(gè)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，f(x)＝x＋1的定義域?yàn)镽，g(x)＝eq\f(x2－1,x－1)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，不是同一個(gè)函數(shù)．(2)(2023·衡陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2,8]，則函數(shù)h(x)＝f(2x)＋eq\r(9－x2)的定義域?yàn)?)A．[4,16] B．(－∞，1]∪[3，＋∞)C．[1,3] D．[3,4]答案C解析要使函數(shù)h(x)＝f(2x)＋eq\r(9－x2)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2≤2x≤8，,9－x2≥0，))解得1≤x≤3，所以函數(shù)h(x)的定義域?yàn)閇1,3]．題型二函數(shù)的解析式例2(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq\f(1,x4)，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．解(1)(換元法)設(shè)1－sinx＝t，t∈[0,2]，則sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)．(2)(配湊法)f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq\f(1,x4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2－2，又x2＋eq\f(1,x2)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝eq\f(1,x2)，即x＝±1時(shí)等號(hào)成立．設(shè)t＝x2＋eq\f(1,x2)，則t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，∴f(x)＝x2－2(x≥2)．(3)(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7.))∴f(x)＝2x＋7(x∈R)．(4)(解方程組法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，①∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，②由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，∴f(x)＝3x－2(x∈R)．思維升華函數(shù)解析式的求法(1)配湊法．(2)待定系數(shù)法．(3)換元法．(4)解方程組法．跟蹤訓(xùn)練2(1)若f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，則f(x)＝________.答案eq\f(1,x－1)(x≠0且x≠1)解析f(x)＝eq\f(\f(1,x),1－\f(1,x))＝eq\f(1,x－1)(x≠0且x≠1)．(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)為一次函數(shù)，則f(x)＝________________.答案2x＋3或－2x－9解析因?yàn)閒(x)為一次函數(shù)，所以設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)，因?yàn)閒(f(x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝4，,bk＋1＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝－9，))所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.題型三分段函數(shù)例3(1)(多選)(2023·佛山模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－2≤x<1，,－x＋2，x≥1，))則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是()A．f(x)的定義域?yàn)镽B．f(x)的值域?yàn)?－∞，4]C．若f(x)＝2，則x的值是－eq\r(2)D．f(x)<1的解集為(－1,1)答案BC解析函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－2≤x<1，,－x＋2，x≥1))的定義域是[－2，＋∞)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)－2≤x<1時(shí)，f(x)＝x2，值域?yàn)閇0,4]，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝－x＋2，值域?yàn)?－∞，1]，故f(x)的值域?yàn)?－∞，4]，故B正確；當(dāng)x≥1時(shí)，令f(x)＝－x＋2＝2，無(wú)解，當(dāng)－2≤x<1時(shí)，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－eq\r(2)，故C正確；當(dāng)－2≤x<1時(shí)，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1,1)，當(dāng)x≥1時(shí)，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集為(－1,1)∪(1，＋∞)，故D錯(cuò)誤．(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－3x＋2，x<－1，,2x－3，x≥－1，))若f(a)＝4，則實(shí)數(shù)a的值是________；若f(a)≥2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f(a)＝4，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1，,－a2－3a＋2＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,2a－3＝4，))解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1，,－a2－3a＋2≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,2a－3≥2，))解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范圍是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思維升華分段函數(shù)求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023·濟(jì)寧模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log22－x，x≤0，,fx－3，x>0，))則f(2023)等于()A．0B．1C．2D．3答案C解析由題設(shè)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝f(x－3)，即當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù)，則f(2023)＝f(3×674＋1)＝f(1)＝f(－2)＝log2[2－(－2)]＝log24＝2.(2)(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x<1，,－x2＋3，x≥1，))則()A．f(f(eq\r(3)))＝3B．若f(x)＝－1，則x＝2或x＝－3C．f(x)<2的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞)D．若?x∈R，a>f(x)，則a≥3答案BCD解析對(duì)于A，因?yàn)閒(eq\r(3))＝－(eq\r(3))2＋3＝0，所以f(f(eq\r(3)))＝f(0)＝2，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x<1時(shí)，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，當(dāng)x≥1時(shí)，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，綜上，x＝2或x＝－3，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)x<1時(shí)，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，當(dāng)x≥1時(shí)，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，綜上，f(x)<2的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)x<1時(shí)，x＋2<3，當(dāng)x≥1時(shí)，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域?yàn)?－∞，3)，因?yàn)?x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正確．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·西安模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1,\r(－x2＋x＋6))＋ln(1－x)的定義域是()A．(－2,1) B．(－3,1)C．(1,2) D．(1,3)答案A解析由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x＋6>0，,1－x>0，))解得－2<x<1.故函數(shù)f(x)的定義域是(－2,1)．2．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)的值域是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)D．(－∞，1)∪(1，＋∞)答案D解析f(x)＝eq\f(x,x＋2)＝eq\f(x＋2－2,x＋2)＝1－eq\f(2,x＋2)，∵eq\f(2,x＋2)≠0，∴1－eq\f(2,x＋2)≠1，從而可知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)的值域?yàn)?－∞，1)∪(1，＋∞)．3．(2023·駐馬店統(tǒng)考)已知函數(shù)f(2x＋1)＝2x－x2－3，則f(3)等于()A．－4B．－2C．2D．4答案B解析令2x＋1＝3，得x＝1，則f(3)＝2－1－3＝－2.4.圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時(shí)期的青銅器皿，其身流線自若、紋理分明，展現(xiàn)了古代中國(guó)精湛的制造技術(shù)．科研人員為了測(cè)量其容積，以恒定的流速向其內(nèi)注水，恰好用時(shí)30秒注滿，設(shè)注水過程中，壺中水面高度為h，注水時(shí)間為t，則下面選項(xiàng)中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是()答案A解析水壺的結(jié)構(gòu)：底端與上端細(xì)、中間粗，所以在注水速度恒定的情況下，開始水的高度增加的由快變慢，中間增加的最慢，最后增加的由慢變快，由圖可知選項(xiàng)A符合．5．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≥0，,x2＋2x，x<0，))實(shí)數(shù)a滿足f(a)<f(－a)，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2)∪(0,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2,0)∪(0,2)D．(－2,0)∪(2，＋∞)答案D解析由題意可知，a≠0.當(dāng)a<0時(shí)，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a，所以由f(a)<f(－a)可得a2＋2a<－a2－2a，即a2＋2a<0，解得－2<a<0，當(dāng)a>0時(shí)，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a，所以由f(a)<f(－a)可得－a2＋2a<a2－2a，即a2－2a>0，解得a>2，所以a的取值范圍是(－2,0)∪(2，＋∞)．6．(2024·廣州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2ax＋3a，x<1，,lnx，x≥1))的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1]B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))D．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案C解析∵當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝lnx≥ln1＝0，又f(x)的值域?yàn)镽，故當(dāng)x<1時(shí)，f(x)的值域包含(－∞，0)．故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a>0，,1－2a＋3a≥0，))解得－1≤a<eq\f(1,2).二、多項(xiàng)選擇題7．(2023·汕頭模擬)如果某函數(shù)的定義域與其值域的交集是[a，b]，則稱該函數(shù)為“[a，b]交匯函數(shù)”．下列函數(shù)是“[0,1]交匯函數(shù)”的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝eq\r(1－x)C．y＝1－x2 D．y＝eq\r(1－x2)答案BD解析由“[a，b]交匯函數(shù)”定義可知，“[0,1]交匯函數(shù)”表示函數(shù)的定義域與值域的交集為[0,1]．y＝eq\r(x)的定義域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0，＋∞)，則A∩B＝[0，＋∞)，A錯(cuò)誤；y＝eq\r(1－x)的定義域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，則A∩B＝[0,1]，B正確；y＝1－x2的定義域A＝R，值域B＝(－∞，1]，則A∩B＝(－∞，1]，C錯(cuò)誤；y＝eq\r(1－x2)的定義域A＝[－1,1]，值域B＝[0,1]，則A∩B＝[0,1]，D正確．8．下列說(shuō)法正確的是()A．函數(shù)f(x＋1)的定義域?yàn)閇－2,2)，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1,3)B．f(x)＝eq\f(x2,x)和g(x)＝x表示同一個(gè)函數(shù)C．函數(shù)y＝eq\f(1,x2＋3)的值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))D．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝x＋1，則f(x)＝eq\f(x,3)＋1答案ACD解析對(duì)于A，對(duì)于f(x＋1)，令t＝x＋1?x＝t－1∈[－2,2)，則t∈[－1,3)，所以f(t)，即f(x)的定義域?yàn)閇－1,3)，故A正確；對(duì)于B，f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，g(x)的定義域?yàn)镽，不是同一個(gè)函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)閤2＋3≥3，所以0<eq\f(1,x2＋3)≤eq\f(1,3)，故函數(shù)y＝eq\f(1,x2＋3)的值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，故C正確；對(duì)于D，由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2fx－f－x＝x＋1，,2f－x－fx＝－x＋1，))可得f(x)＝eq\f(x,3)＋1，故D正確．三、填空題9．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(2－x),lnx)的定義域?yàn)開_______．答案(0,1)∪(1,2]解析要使函數(shù)f(x)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x≥0，,lnx≠0，,x>0，))解得0<x≤2且x≠1，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,2]．10．若f(eq\r(x)＋1)＝x－1，則f(x)＝________.答案x2－2x(x≥1)解析令eq\r(x)＋1＝t(t≥1)，則x＝(t－1)2(t≥1)，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)?f(x)＝x2－2x(x≥1)．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<1，,x2，x≥1，))則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝________；若f(a)>a，則a的取值范圍是________．答案4(－1,1)∪(1，＋∞)解析因?yàn)閒

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\f(1,2)＋1＝2，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(2)＝22＝4.當(dāng)a≥1時(shí)，f(a)>a?a2>a，解得a>1；當(dāng)a<1時(shí)，f(a)>a?2a＋1>a，解得－1<a<1，所以不等式的解集為(－1,1)∪(1，＋∞)．12．(2023·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，則f(a)＝________.答案eq\r(2)解析作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．因?yàn)閒(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋2>0，))即－2<a≤3，此時(shí)f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝eq\r(a＋2)，所以a＝eq\r(a＋2)，a>0，解得a＝2，則f(a)＝eq\r(2).四、解答題13．已知函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5，x≤0，,x＋5，0＜x≤1，,－2x＋8，x＞1.))(1)求f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))，f(－1)的值；(2)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；(3)求f(x)的最大值．解(1)∵eq\f(3,2)＞1，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－2×eq\f(3,2)＋8＝5.∵0＜eq\f(1,π)＜1，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))＝eq\f(1,π)＋5＝eq\f(5π＋1,π).∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.(2)此分段函數(shù)的圖象如圖所示．在函數(shù)y＝3x＋5的圖象上截取x≤0的部分，在函數(shù)y＝x＋5的圖象上截取0＜x≤1的部分，在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上截取x＞1的部分．圖中實(shí)線組成的圖形就是函數(shù)y＝f(x)的圖象．(3)由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取最大值6.14．(2023·曲靖檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,x2＋1).(1)求f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\v