福建省2023屆高三畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷（省質(zhì)檢）數(shù)學(xué)試題及答案

第1頁(yè)/共1頁(yè)福建省2023屆高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知z是方程x2-2x+2=0的一個(gè)根，則||=（）A.1 B. C. D.23.函數(shù)的圖象大數(shù)為（）A. B.C. D.4.中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，其大意為：圓的帳周長(zhǎng)乘以其半徑等于圓面積.南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過(guò)增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計(jì)圓周率π.據(jù)此，當(dāng)n足夠大時(shí)，可以得到π與n的關(guān)系為（）A.

B.

C.

D.

5.已知雙曲線C：（a>0，b>0）離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，關(guān)于C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為P.若，則的面積為（）A.2 B. C.3 D.46.中國(guó)救援力量在國(guó)際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國(guó)際形象，增進(jìn)了國(guó)際友誼，多次為祖國(guó)贏得了榮譽(yù).現(xiàn)有5支救援隊(duì)前往A，B，C等3個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)至少安排1支救援隊(duì)，其中甲救援隊(duì)只能去B，C兩個(gè)數(shù)點(diǎn)中的一個(gè)，則不同的安排方法數(shù)是（）A.72 B.84 C.88 D.1007.已知，，，則（）A. B. C. D.8.已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè)，這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為（）A.45 B.53 C.54 D.90二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目數(shù).部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則（）A. B.C.在上投影向量是 D.在上的投影向量是10.已知函數(shù)f(x)=sin(>0)滿足:f()=2,f()=0,則()A.曲線y=f(x)關(guān)于直線對(duì)稱 B.函數(shù)y=f()是奇函數(shù)C.函數(shù)y=f(x)在(,)單調(diào)遞減 D.函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇-2,2]11.已知拋物線C的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，PQ垂直l于點(diǎn)Q，直線QF與C相交于M?N兩點(diǎn).若M為QF的三等分點(diǎn)，則（）A.cos∠ B.sin∠C. D.12.正方體的棱長(zhǎng)為1，為側(cè)面上的點(diǎn)，為側(cè)面上的點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.若，則到直線的距離的最小值為B.若，則，且直線平面C.若，則與平面所成角正弦的最小值為D.若，，則，兩點(diǎn)之間距離的最小值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.13.寫出過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為的一條直線的方程___________.14.已知{an}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，a4+a5=24，a3a6=128，則公比q的值是___________.15.已知函數(shù).若，則a的取值范圍是___________.16.如圖，一張紙的長(zhǎng)，寬，.M，N分別是AD，BC的中點(diǎn).現(xiàn)將沿BD折起，得到以A，B，C，D為頂點(diǎn)的三棱錐，則三棱錐的外接球O的半徑為___________；在翻折的過(guò)程中，直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是___________.四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求C；（2）若，D為的外接圓上的點(diǎn)，，求四邊形ABCD面積的最大值.18.已知數(shù)列滿足：，，，.（1）證明：是等差數(shù)列：（2）記的前n項(xiàng)和為，，求n的最小值.19.放行準(zhǔn)點(diǎn)率是衡量機(jī)場(chǎng)運(yùn)行效率和服務(wù)質(zhì)量重要指標(biāo)之一.某機(jī)場(chǎng)自2012年起采取相關(guān)策略優(yōu)化各個(gè)服務(wù)環(huán)節(jié)，運(yùn)行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)與該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率（）（單位：百分比）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所作的散點(diǎn)圖及經(jīng)過(guò)初步處理后得到的一些統(tǒng)計(jì)量的值.2017.58041.540703145.01621254.227.71226.8其中，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y關(guān)于年份數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由此預(yù)測(cè)2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地的航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率.（2）已知2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地?B地和其他地區(qū)的航班比例分別為0.2、0.2和0.6.若以（1）中的預(yù)測(cè)值作為2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值，且2023年該機(jī)場(chǎng)飛往B地及其他地區(qū)（不包含A、B兩地）航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值分別為和，試解決以下問(wèn)題：（i）現(xiàn)從2023年在該機(jī)場(chǎng)起飛的航班中隨機(jī)抽取一個(gè)，求該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機(jī)場(chǎng)準(zhǔn)點(diǎn)放行，判斷該航班飛往A地、B地、其他地區(qū)等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說(shuō)明你的理由.附：（1）對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，參考數(shù)據(jù)：，，.20.如圖，已知四棱錐底面為菱形，且，，.是棱PD上的點(diǎn)，且四面體的體積為（1）證明：；（2）若過(guò)點(diǎn)C，M的平面α與BD平行，且交PA于點(diǎn)Q，求平面與平面夾角的余弦值.21.已知圓，直線過(guò)點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)B，C，BC中點(diǎn)為D，過(guò)中點(diǎn)E且平行于的直線交于點(diǎn)P，記P的軌跡為Γ（1）求Γ的方程；（2）坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與Γ交于點(diǎn)M，N，直線，相交于點(diǎn)Q.請(qǐng)從下列結(jié)論中，選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證明.①的面積是定值；②的面積是定值：③的面積是定值.22.已知函，.（1）討論在的單調(diào)性；（2）是否存在，且，使得曲線在和處有相同的切線？證明你的結(jié)論.福建省2023屆高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的定義域及值域求出兩個(gè)集合，再根據(jù)集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，又，所以，不滿足，故選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：D.2.已知z是方程x2-2x+2=0的一個(gè)根，則||=（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的性質(zhì)，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)模的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榉匠蘹2-2x+2=0是實(shí)系數(shù)方程，且，所以該方程有兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)虛數(shù)根，即，即，故選：B3.函數(shù)的圖象大數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，由已知可得函數(shù)為奇函數(shù).然后得到時(shí)，，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求得的單調(diào)性，并且可得極大值點(diǎn)，即可得出答案.【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，則.設(shè)，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，，所以，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，，有，且當(dāng)時(shí)，有，顯然，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，顯然，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋訡項(xiàng)滿足題意.故選：C.4.中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，其大意為：圓的帳周長(zhǎng)乘以其半徑等于圓面積.南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過(guò)增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計(jì)圓周率π.據(jù)此，當(dāng)n足夠大時(shí)，可以得到π與n的關(guān)系為（）A.

B.

C.

D.

【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓的半徑為，由題意可得，化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】設(shè)圓的半徑為，將內(nèi)解正邊形分成個(gè)小三角形，由內(nèi)接正邊形的面積無(wú)限接近圓的面即可得：，解得：.故選：A.5.已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，關(guān)于C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為P.若，則的面積為（）A.2 B. C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】設(shè)與漸近線交于，由對(duì)稱性知且，在直角中可求得，再由求得的面積.【詳解】設(shè)與漸近線交于，則，，，所以，，由分別是與的中點(diǎn)，知且，即，由得，所以，故選：D6.中國(guó)救援力量在國(guó)際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國(guó)際形象，增進(jìn)了國(guó)際友誼，多次為祖國(guó)贏得了榮譽(yù).現(xiàn)有5支救援隊(duì)前往A，B，C等3個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)至少安排1支救援隊(duì)，其中甲救援隊(duì)只能去B，C兩個(gè)數(shù)點(diǎn)中的一個(gè)，則不同的安排方法數(shù)是（）A.72 B.84 C.88 D.100【答案】D【解析】【分析】由題意可知，若甲去點(diǎn)，則剩余4人，可只去兩個(gè)點(diǎn)，也可分為3組去3個(gè)點(diǎn).分別求出安排種法，相加即可得出甲去點(diǎn)的安排方法.同理，即可得出甲去點(diǎn)的安排方法，即可得出答案.【詳解】若甲去點(diǎn)，則剩余4人，可只去兩個(gè)點(diǎn)，也可分為3組去3個(gè)點(diǎn).當(dāng)剩余4人只去兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，人員分配為或，此時(shí)的分配方法有；當(dāng)剩余4人分為3組去3個(gè)點(diǎn)時(shí)，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個(gè)小組即可，此時(shí)的分配方法有，綜上可得，甲去點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)是.同理，甲去點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)也是，所以，不同的安排方法數(shù)是.故選：D.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得出.構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而由，即可得出，整理即可得出，即可得出答案.【詳解】令，則，令，則恒成立，所以，即在R上單調(diào)遞增.又，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，在上單調(diào)遞減.又，，所以，即，，即，即，所以.令，則，令，則在恒成立.所以，，即在R上單調(diào)遞增.又，所以，當(dāng)時(shí)，有成立，所以，在上單調(diào)遞減.又，因?yàn)椋?，，所以，，又，所以，，所以，，?綜上可得，.故選：A.8.已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè)，這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為（）A.45 B.53 C.54 D.90【答案】B【解析】【分析】由已知可推得，，根據(jù)已知以及正態(tài)分布的對(duì)稱性，可求得.則，，設(shè)，求出函數(shù)的最大整數(shù)值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.又，所以，，.設(shè)，則，所以，，所以.，所以，，所以.所以，以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由正態(tài)分布求出概率，然后根據(jù)已知，可得，得出，利用函數(shù)求出的最大值.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目數(shù).部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則（）A. B.C.在上的投影向量是 D.在上的投影向量是【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，即可求出數(shù)量積以及模，判斷A、B項(xiàng)；根據(jù)投影向量的公式，求出投影向量，即可判斷C、D項(xiàng).【詳解】由已知可得，，.對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以在上的投影向量是，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，，所以在上的投影向量是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)f(x)=sin(>0)滿足:f()=2,f()=0,則()A.曲線y=f(x)關(guān)于直線對(duì)稱 B.函數(shù)y=f()是奇函數(shù)C.函數(shù)y=f(x)在(,)單調(diào)遞減 D.函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇-2,2]【答案】ABD【解析】【分析】用輔助角公式化簡(jiǎn),再利用,得出的取值集合,再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】,所以函數(shù)的值域?yàn)?故D正確；因?yàn)?所以,所以，因?yàn)?所以,所以，所以,即，所以，因?yàn)?，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱,故A正確；因?yàn)榧?，所以函?shù)是奇函數(shù),故B正確；取,則最小正周期,故C錯(cuò)誤.故選：ABD11.已知拋物線C的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，PQ垂直l于點(diǎn)Q，直線QF與C相交于M?N兩點(diǎn).若M為QF的三等分點(diǎn)，則（）A.cos∠ B.sin∠C. D.【答案】ACD【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)準(zhǔn)線為l與交于點(diǎn)，由拋物線的定義可得，可判斷A；求出的長(zhǎng)，由正弦定理可判斷B；求出可判斷C；求出可判斷D.【詳解】如下圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)準(zhǔn)線l與交于點(diǎn)，由拋物線的定義知：，因?yàn)镸為QF的三等分點(diǎn)，所以，所以，所以，所以cos∠，故A正確；對(duì)于B，在中，由拋物線的定義知：，，所以為等邊三角形，又因?yàn)椋獾茫?，同理可得：，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以M為QF的三等分點(diǎn)，所以中，由余弦定理可得：，則，則，所以在中，由正弦定理可得：，代入可得，sin∠，故B不正確；對(duì)于C，，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以中，，由余弦定理可得：，則，所以，故D正確.故選：ACD.12.正方體的棱長(zhǎng)為1，為側(cè)面上的點(diǎn)，為側(cè)面上的點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.若，則到直線的距離的最小值為B.若，則，且直線平面C.若，則與平面所成角正弦的最小值為D.若，，則，兩點(diǎn)之間距離的最小值為【答案】BD【解析】【分析】由已知可推得為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.作圖，即可根據(jù)圓的性質(zhì)得出最小值，判斷A項(xiàng)；先證明平面，結(jié)合，即可得出平面；建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，表示出，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可判斷C項(xiàng)；為直線與的公垂線段時(shí)，最小.設(shè)，且，，求出，即可根據(jù)投影向量，求出最小值.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋栽谝詾榍蛐?，為半徑的球?又為側(cè)面上的點(diǎn)，所以在球被平面截得的交線上.因?yàn)?，平面，，，所以，所以，為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.如圖1，，則，到直線的距離的最小值為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，如圖2，連結(jié).因?yàn)槠矫?，平面，所?又，平面，平面，，所以，平面.又平面，所以.同理可得，.又平面，平面，，所以，平面.又，平面，所以直線平面，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，如圖3建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.因?yàn)?，設(shè)，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則，是平面的一個(gè)法向量.則，又，當(dāng)時(shí)，有最小值1，所以，，即，所以，與平面所成角正弦的最大值為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由C項(xiàng)知，，.當(dāng)，，即為直線與的公垂線段時(shí)，最小.設(shè)，且，，則，即，取，則.在方向上的投影向量的模為，所以，，兩點(diǎn)之間距離的最小值為，故D項(xiàng)正確.故選：BD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.13.寫出過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為的一條直線的方程___________.【答案】（只需填其中的一個(gè)即可）【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心、半徑.根據(jù)弦長(zhǎng)，得出圓心到直線的距離.先判斷斜率不存在時(shí)是否滿足，然后設(shè)出斜率，得出直線方程，表示出圓心到直線的距離，得出方程，即可解出的值.【詳解】圓的方程可化為，圓心為，半徑，由弦長(zhǎng)為可得，圓心到直線的距離.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心在直線上，弦長(zhǎng)為，不滿足題意，所以直線的斜率存在.設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，此時(shí)圓心到直線的距離，解得.所以，直線的方程為或.故答案為：.14.已知{an}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，a4+a5=24，a3a6=128，則公比q的值是___________.【答案】2【解析】【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)得到，再解方程組即可.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知，聯(lián)立,解得或，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列,所以，即.故答案為：2.15.已知函數(shù).若，則a的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】分，以及，分別討論，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合處的函數(shù)值，推導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可推得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)應(yīng)有，即.令,，則.設(shè)，則恒成立，所以，即單調(diào)遞增.又，則要使在上恒成立，應(yīng)有在上恒成立，即在上恒成立.又時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，此時(shí)應(yīng)有，即.令，則.令，則恒成立，所以，即單調(diào)遞減.又，則要使在上恒成立，應(yīng)有在上恒成立，即在上恒成立.因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，所以，所以.綜上所述，a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：當(dāng)時(shí)，，根據(jù)，可推得要使在上恒成立，應(yīng)有在上恒成立，進(jìn)而推得a的取值范圍.16.如圖，一張紙的長(zhǎng)，寬，.M，N分別是AD，BC的中點(diǎn).現(xiàn)將沿BD折起，得到以A，B，C，D為頂點(diǎn)的三棱錐，則三棱錐的外接球O的半徑為___________；在翻折的過(guò)程中，直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用外接球球心為兩個(gè)平面的外接圓圓心的交點(diǎn)，可知三棱錐的外接球O的球心O在BD的中點(diǎn)，即可求出半徑；分析直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)與二面角的大小有關(guān)，求出二面角在臨界值時(shí)的情況，即可得到線段長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】解：由于和都是直角三角形，所以兩個(gè)面的外接圓圓心都在BD的中點(diǎn)處，因此三棱錐的外接球O的球心O在BD的中點(diǎn)，則半徑，直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)與二面角的大小有關(guān)，當(dāng)二面角接近時(shí)，直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)最長(zhǎng)，趨于直徑，當(dāng)二面角接近時(shí)，直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)最短，如圖翻折后，此時(shí)，所以則，由相似比可得，所以，直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)，綜上直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是，故答案為：；.四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求C；（2）若，D為的外接圓上的點(diǎn)，，求四邊形ABCD面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，即可得出，進(jìn)而根據(jù)角的范圍得出答案；（2）解法一：由已知可推出，然后根據(jù)正弦定理可求出，進(jìn)而求出，.設(shè)，，表示出四邊形的面積，根據(jù)基本不等式即可得出答案；解法二：根據(jù)投影向量，推出，然后同解法一求得.設(shè)，表示出四邊形的面積，根據(jù)的范圍，即可得出答案；解法三：同解法一求得，設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h，表示出四邊形的面積，即可推出答案；解法四：建系，由已知寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知推得BD是的直徑，然后表示出四邊形的面積，即可推出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，在中，由正弦定理得?又因?yàn)?，所以，展開得，即，因?yàn)?，故，?又因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】解法一：如圖1設(shè)的外接圓的圓心為O，半徑為R，因?yàn)?，所以，即，所以，故BD是的直徑，所以.在中，，，所以.在中，.設(shè)四邊形ABCD的面積為S，，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以四邊形ABCD面積最大值為.解法二：如圖1設(shè)的外接圓的圓心為O，半徑為R，在上的投影向量為，所以.又，所以，所以在上的投影向量為，所以.故BD是的直徑，所以.在中，，，所以，在中，.設(shè)四邊形ABCD的面積為S，，，則，，所以，當(dāng)時(shí)，S最大，所以四邊形ABCD面積最大值為.解法三：如圖1設(shè)的外接圓的圓心為O，半徑為R，因?yàn)椋?，即，所?故BD是的直徑，所以.在中，，，所以.在中，.設(shè)四邊形ABCD的面積為S，點(diǎn)C到BD的距離為h，則，當(dāng)時(shí)，S最大，所以四邊形ABCD面積最大值為.解法四：設(shè)的外接圓的圓心為O，半徑為R，在中，，，故外接圓的半徑.即，所以.如圖2，以外接圓的圓心為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則，.因?yàn)镃，D為單位圓上的點(diǎn)，設(shè)，，其中，.所以，，代入，即，可得，即.由可知，所以解得或，即或.當(dāng)時(shí)，A，D重合，舍去；當(dāng)時(shí)，BD是的直徑.設(shè)四邊形ABCD的面積為S，則，由知，所以當(dāng)時(shí)，即C的坐標(biāo)為時(shí)，S最大，所以四邊形ABCD面積最大值為.18.已知數(shù)列滿足：，，，.（1）證明：是等差數(shù)列：（2）記的前n項(xiàng)和為，，求n的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）最小值為10.【解析】【分析】（1）解法一：（指數(shù)運(yùn)算）由已知可推得，，相乘結(jié)合已知，即可得出，進(jìn)而證明；解法二：（對(duì)數(shù)運(yùn)算）由已知可得，結(jié)合已知即可得出，進(jìn)而證明；（2）解法一：先根據(jù)（1）推出，然后結(jié)合已知條件得到，然后計(jì)算得到，即可得出答案；解法二：同解法一，先求出，，然后分組求和得出，進(jìn)而得出，求解即可得出答案；解法三：同解法一，先求出，，然后分組求和得出，求解即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解法一：由，得，則，從而.又，所以，即，所以是等差數(shù)列.解法二：由，且，則，得，因?yàn)椋?，所以，即，所以是等差?shù)列.【小問(wèn)2詳解】解法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又.所以，，又；又，則，且，所以n的最小值為10.解法二：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又，所以.當(dāng)時(shí)，，，所以，，又，則，且，所以n的最小值為10.解法三：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又.當(dāng)時(shí)，，所以，.又，則，且，所以n的最小值為10.19.放行準(zhǔn)點(diǎn)率是衡量機(jī)場(chǎng)運(yùn)行效率和服務(wù)質(zhì)量的重要指標(biāo)之一.某機(jī)場(chǎng)自2012年起采取相關(guān)策略優(yōu)化各個(gè)服務(wù)環(huán)節(jié)，運(yùn)行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)與該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率（）（單位：百分比）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所作的散點(diǎn)圖及經(jīng)過(guò)初步處理后得到的一些統(tǒng)計(jì)量的值.2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y關(guān)于年份數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由此預(yù)測(cè)2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地的航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率.（2）已知2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地?B地和其他地區(qū)的航班比例分別為0.2、0.2和0.6.若以（1）中的預(yù)測(cè)值作為2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值，且2023年該機(jī)場(chǎng)飛往B地及其他地區(qū)（不包含A、B兩地）航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值分別為和，試解決以下問(wèn)題：（i）現(xiàn)從2023年在該機(jī)場(chǎng)起飛的航班中隨機(jī)抽取一個(gè)，求該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機(jī)場(chǎng)準(zhǔn)點(diǎn)放行，判斷該航班飛往A地、B地、其他地區(qū)等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說(shuō)明你的理由.附：（1）對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】（1）適宜，預(yù)測(cè)2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地的航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率（2）（i）0.778；（ii）可判斷該航班飛往其他地區(qū)的可能性最大，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算公式，選擇合適的模型計(jì)算即可；（2）利用全概率公式和條件概率公式，即可根據(jù)概率判斷可能性最大的情況.【小問(wèn)1詳解】由散點(diǎn)圖判斷適宜作為該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y關(guān)于年份數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.令，先建立y關(guān)于t的線性回歸方程.由于，，該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y關(guān)于t的線性回歸方程為，因此y關(guān)于年份數(shù)x的回歸方程為所以當(dāng)時(shí)，該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y的預(yù)報(bào)值為.所以2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y的預(yù)報(bào)值為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)“該航班飛往A地”，“該航班飛往B地”，“該航班飛往其他地區(qū)”，“該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行”，則，，，，，.（i）由全概率公式得，，所以該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行的概率為0.778.（ii），，，因?yàn)?，所以可判斷該航班飛往其他地區(qū)的可能性最大.20.如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，，.是棱PD上的點(diǎn)，且四面體的體積為（1）證明：；（2）若過(guò)點(diǎn)C，M的平面α與BD平行，且交PA于點(diǎn)Q，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）解法一：取AB中點(diǎn)O，連接PO，CO.推導(dǎo)得到平面，平面PBC，根據(jù)體積即可得出答案；解法二：先證明平面PAB.過(guò)M作交AP于點(diǎn)N，證明得到平面PBC，根據(jù)體積即可得出答案；（2）解法一：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量基本定理，求出平面的法向量，計(jì)算即可得出答案；解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，計(jì)算即可得出答案；解法三：通過(guò)作圖，作出二面角的平面角，構(gòu)造直角三角形，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解法一：如圖1，取AB中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)?，，所以，?又因?yàn)槭橇庑?，，所以?因?yàn)椋?，所?又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，，所以平面.因?yàn)椋矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因?yàn)?，所以點(diǎn)M到平面PBC的距離是點(diǎn)D到平面PBC的距離的，所以.解法二：如圖2，取AB中點(diǎn)O，連接PO，CO，因?yàn)椋?，所以，，，又因?yàn)槭橇庑?，，所以?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，，所以平面PAB.所以，.過(guò)M作交AP于點(diǎn)N，，所以.又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因?yàn)?，，所以，所以N是PA的中點(diǎn)，所以M是PD的中點(diǎn)，所以.【小問(wèn)2詳解】解法一：由（1）知，，，.如圖3，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，，.因?yàn)?，設(shè)，則，因?yàn)?，，，，故存在?shí)數(shù)a，b，使得，所以，解得，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得到平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面夾角是，又因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，則.所以平面與平面夾角的余弦值是.解法二：由（1）知，，，，如圖3，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即.取，得到平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以設(shè)平面的法向量為，則，即.取，得到平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面夾角是，又因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，則.所以平面與平面夾角的余弦值是.解法三：在平面內(nèi)，過(guò)C作交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，因?yàn)槭橇庑危?如圖4，在平面PAD內(nèi)，作交EM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)交AP于點(diǎn)Q.所以，四邊形是平行四邊形，，.所以，所以，所以點(diǎn)Q是線段PA上靠近P的三等分點(diǎn).如圖5，在平面PAB內(nèi)，作，交AB于T，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以，因，，在平面?nèi)，作，交BC于點(diǎn)N，連接QN，過(guò)A作交BC于K，在中，，，所以，所以，因?yàn)椋?，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?所以是二面角的平面角.在中，，所以.所以平面與平面夾角的余弦值是.21.已知圓，直線過(guò)點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)B，C，BC中點(diǎn)為D，過(guò)中點(diǎn)E且平行于的直線交于點(diǎn)P，記P的軌跡為Γ（1）求Γ的方程；（2）坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與Γ交于點(diǎn)M，N，直線，相交于點(diǎn)Q.請(qǐng)從下列結(jié)論中，選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證明.①的面積是定值；②的面積是定值：③的面積是定值.【答案】（1）（2）結(jié)論③正確，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由幾何性質(zhì)知P到，兩點(diǎn)的距離之和為定值可得P的軌跡為橢圓；（2）解法一、二：設(shè)直線，，，表示出直線，的方程并聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.解法三：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)求得Q橫坐標(biāo)為4，當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線，，，表示出直線，的方程并聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.解法四：設(shè)直線，，，表示出直線，的方程，利用在橢圓上得，將直線的方程化為，與直線聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，.因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以，即，又，所以，又E為的中點(diǎn)，所以，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（左?右頂點(diǎn)除外）.設(shè)，其中，.則，，，.故.【小問(wèn)2詳解】解法一：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，可設(shè)直線，，，且，.由，得，所以，，所以.直線的方程為：，直線的方程為：，由，得，，解得.故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，因此的面積是定值，為.解法二：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，可設(shè)直線，，，且，.由，得，所以，，所以.直線的方程為：，直線的方程為：，由，得，故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，因此的面積是定值，為.解法三：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.由題意得，，，，，且直線的斜率不為0.（i）當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，，由，得或.不妨設(shè)，，則直線方程為：，直線的方程為：，由，得，所以，故Q到的距離，此時(shí)的面積是.（ii）當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線，，，且，.由，得，所以，.直線的方程為：，直線的方程為：，由，得.下證：.即證，即證，即證，即證，上式顯然成立，故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，此時(shí)的面積是定值，為.由（i）（ii）可知，的面積為定值.解法四：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，可設(shè)直線，，，且，.由，得，所以，.直線的方程為：，直線的方程為：，因?yàn)椋?，故直線的方程為：.由，得，解得.故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，因此的面積是定值，為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G