2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講精練(人教A版選擇性必修第二冊(cè))4.3.1等比數(shù)列的概念(精練)(原卷版+解析)

4.3.1等比數(shù)列的概念（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．(2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知等比數(shù)列的公比，則等于（

）A． B． C．3 D．2．(2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文））等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為（

）A． B． C．3 D．3．(2023·河南·三模（理））在等比數(shù)列中，，，則(

)A．80 B．242 C． D．2444．(2023·上海奉賢·二模）若，，，成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)列：①；②；③，必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．5．(2023·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在數(shù)列中，若，，則（

）A． B．C． D．6．(2023·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知{an}是等比數(shù)列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，則a3＋a5＝（

）A．10 B．25 C．5 D．157．(2023·北京·人大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖是標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)遠(yuǎn)視力表的一部分．最左邊一列“五分記錄”為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力記錄，這組數(shù)據(jù)從上至下為等差數(shù)列，公差為；最右邊一列“小數(shù)記錄”為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力記錄的近似值，這組數(shù)據(jù)從上至下為等比數(shù)列，公比為．已知標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力對(duì)應(yīng)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力準(zhǔn)確值為，則標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力對(duì)應(yīng)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．8．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．(2023·湖北十堰·三模）已知函數(shù)，則(

)A．，，成等差數(shù)列 B．，，成等差數(shù)列C．，，成等比數(shù)列 D．，，成等比數(shù)列10．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，最小C．當(dāng)時(shí)，最小 D．存在，使得三、填空題11．(2023·上海青浦·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，若，其中，則公比的取值范圍是_________．12．(2023·遼寧撫順·一模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則k的值為_(kāi)_______.四、解答題13．(2023·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）已知等差數(shù)列滿足，前4項(xiàng)和．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式．14．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）四個(gè)數(shù)中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若首末兩數(shù)之和為14，中間兩數(shù)之和為12，求這四個(gè)數(shù)．B能力提升15．(2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；16．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)寫出該數(shù)列的前項(xiàng)；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.C綜合素養(yǎng)17．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若、分別為等差數(shù)列的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，問(wèn)是不是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，求出是第幾項(xiàng)；若不是，說(shuō)明理由，18．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m，s，n成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，如果存在，請(qǐng)給出證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4.3.1等比數(shù)列的概念（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．(2023·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知等比數(shù)列的公比，則等于（

）A． B． C．3 D．答案：D【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，所以．故選：D2．(2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文））等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為（

）A． B． C．3 D．答案：D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，化為：，解得．故選：D3．(2023·河南·三模（理））在等比數(shù)列中，，，則(

)A．80 B．242 C． D．244答案：B【詳解】等比數(shù)列的公比，∴，∴．故選：B．4．(2023·上海奉賢·二模）若，，，成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)列：①；②；③，必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】若，，，為，則不為等比數(shù)列，①不符合；由，，，必非零且公比為，則也非零且公比為，②符合；若，，，為，則不為等比數(shù)列，③不符合；故選：B5．(2023·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在數(shù)列中，若，，則（

）A． B．C． D．答案：C【詳解】令，則，又，所以是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，得．故選：C．6．(2023·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知{an}是等比數(shù)列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，則a3＋a5＝（

）A．10 B．25 C．5 D．15答案：C【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，所以，即，因?yàn)?，所?故選：C7．(2023·北京·人大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖是標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)遠(yuǎn)視力表的一部分．最左邊一列“五分記錄”為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力記錄，這組數(shù)據(jù)從上至下為等差數(shù)列，公差為；最右邊一列“小數(shù)記錄”為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力記錄的近似值，這組數(shù)據(jù)從上至下為等比數(shù)列，公比為．已知標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力對(duì)應(yīng)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力準(zhǔn)確值為，則標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力對(duì)應(yīng)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．答案：D【詳解】依題意，以標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力為左邊數(shù)據(jù)組的等差數(shù)列的首項(xiàng)，其公差為-0.1，標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力為該數(shù)列第3項(xiàng)，標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力對(duì)應(yīng)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力值1.0為右邊數(shù)據(jù)組的等比數(shù)列的首項(xiàng)，其公比為，因此，標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力對(duì)應(yīng)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力值為該等比數(shù)列的第3項(xiàng)，其大小為.故選：D8．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足，所以當(dāng)n=1時(shí)，有.不合題意；所以，解得：；當(dāng)時(shí)，.，解得：.設(shè)，解得：，可得：，所以是公比為，首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以.經(jīng)檢驗(yàn)，對(duì)n=1也成立.若存在，使得，則數(shù)列不單調(diào).只需，則正負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn)，符合題意，此時(shí).當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不符合題意；而.綜上所述：.故選：A二、多選題9．(2023·湖北十堰·三模）已知函數(shù)，則(

)A．，，成等差數(shù)列 B．，，成等差數(shù)列C．，，成等比數(shù)列 D．，，成等比數(shù)列答案：ABD【詳解】A：，，則，由等差中項(xiàng)的應(yīng)用知，成等差數(shù)列，所以A正確；B：，，，則，由等差中項(xiàng)的應(yīng)用知，成等差數(shù)列，所以B正確；C：，，則，，成等差數(shù)列，又，所以C錯(cuò)誤；D：，，，則，由等比中項(xiàng)的應(yīng)用知，成等比數(shù)列，所以D正確.故選：ABD.10．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，最小C．當(dāng)時(shí)，最小 D．存在，使得答案：AC【詳解】對(duì)A，∵，，∴，又，，∴，故A正確.對(duì)B，C，由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故，，∵，∴，∵，，，∴，，∴，故當(dāng)時(shí)，最小，B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題11．(2023·上海青浦·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，若，其中，則公比的取值范圍是_________．答案：【詳解】∵，即，則又∵，即，則∵，則，∴，則∴故答案為：．12．(2023·遼寧撫順·一模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則k的值為_(kāi)_______.答案：4【詳解】因?yàn)棰?，所以?dāng)時(shí)，解得又②，兩式①②相減可得，即，而a1-6=5不為零，所以，即，所以是以5為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，且，解得k=4，故答案為：4四、解答題13．(2023·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）已知等差數(shù)列滿足，前4項(xiàng)和．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式．答案：(1)(2)或(1)設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為d．∵∴解得：∴等差數(shù)列通項(xiàng)公式(2)設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為q∵∴解得：即或∴等比數(shù)列通項(xiàng)公式或14．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）四個(gè)數(shù)中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若首末兩數(shù)之和為14，中間兩數(shù)之和為12，求這四個(gè)數(shù)．答案：2，4，8，12或，，，【詳解】設(shè)四個(gè)數(shù)依次為、、、．則，解得或．故所求的四個(gè)位數(shù)依次為2，4，8，12或，，，．B能力提升15．(2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；答案：(1)證明見(jiàn)解析(1)證明：因?yàn)?，，所以，又，即，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列；16．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)寫出該數(shù)列的前項(xiàng)；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：(1)，，，，(2)（1），，，，.（2）由得：，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，.C綜合素養(yǎng)17．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若、分別為等差數(shù)列的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，問(wèn)是不是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，求出是第幾項(xiàng)；若不是，說(shuō)明理由，答案：(1)(2)是，第45項(xiàng)（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，得，所以；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，,,則，所以因?yàn)椋允菙?shù)列中第45項(xiàng)18．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，．(1)求證：