高中數(shù)學講義100微專題002充分條件與必要條件

1-微專題02充分條件與必要條件一、基礎學問1、定義：（1）對于兩個條件，假如命題“若則”是真命題，則稱條件能夠推出條件，記為，（2）充分條件與必要條件：假如條件滿意，則稱條件是條件的充分條件；稱條件是條件的必要條件2、對于兩個條件而言，往往以其中一個條件為主角，考慮另一個條件與它的關系，這種關系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在推斷時既要推斷“若則”的真假，也要推斷“若則”真假3、兩個條件之間可能的充分必要關系：（1）能推出，但推不出，則稱是的充分不必要條件（2）推不出，但能推出，則稱是的必要不充分條件（3）能推出，且能推出，記為，則稱是的充要條件，也稱等價（4）推不出，且推不出，則稱是的既不充分也不必要條件4、如何推斷兩個條件的充分必要關系（1）通過命題手段，將兩個條件用“若……，則……”組成命題，通過推斷命題的真假來推斷出條件能否相互推出，進而確定充分必要關系。例如，構造命題：“若，則”為真命題，所以，但“若，則”為假命題（還有可能為），所以不能推出；綜上，是的充分不必要條件（2）理解“充分”，“必要”詞語的含義并定性的推斷關系①充分：可從日常用語中的“充分”來理解，比如“小明對明天的考試做了充分的打算”，何謂“充分”？這意味著小明不須要再做任何額外的工作，就可以干脆考試了。在邏輯中充分也是類似的含義，是指僅由就可以得到結論，而不須要再添加任何說明與補充。以上題為例，對于條件，不需再做任何說明或添加任何條件，就可以得到所以可以說對是“充分的”，而反觀對，由，要想得到，還要補充一個前提：不能取，那既然還要補充，則說明是“不充分的”②必要：也可從日常用語中的“必要”來理解，比如“心臟是人的一個必要器官”，何謂“必要”？沒有心臟，人不行活，但是僅有心臟，沒有其他器官，人也肯定可活么？所以“必要”體現(xiàn)的就是“沒它不行，但是僅有它也未必行”的含義。仍以上題為例：假如不成立，那么必定不為1，但是僅靠想得到也是遠遠不夠的，還須要更多的補充條件，所以僅僅是“必要的”（3）運用集合作為工具先看一個問題：已知,那么條件“”是“”的什么條件？由可得到：，且推不出，所以“”是“”充分不必要條件。通過這個問題可以看出，假如兩個集合存在包含關系，那么其對應條件之間也存在特定的充分必要關系。在求解時可以將滿意條件的元素構成對應集合，推斷出兩個集合間的包含關系，進而就可確定條件間的關系了。相關結論如下：①：是的充分不必要條件，是的必要不充分條件②：是的充分條件③：是的充要條件此方法適用范圍較廣，尤其涉及到單變量取值范圍的條件時，不管是推斷充分必要關系還是利用關系解參數(shù)范圍，都可將問題轉化為集合的包含問題，進而快捷求解。例如在中，滿意的取值集合為，而滿意的取值集合為所以，進而推斷出是的充分不必要條件5、關于“”的充分必要關系：可從命題的角度進行推斷。例如：是的充分不必要條件，則命題“若，則”為真命題，依據(jù)四類命題的真假關系，可得其逆否命題“若，則”也為真命題。所以是的充分不必要條件二、典型例題：例1：已知，則是的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：考慮利用集合求解：分別解不等式得到對應集合。，解得：，即；或，即。所以，進而是的充分不必要條件答案：C例2：已知，那么是的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：本題若覺得不便利從條件中干脆找到聯(lián)系，可先從一個條件入手推出其等價條件，再進行推斷，比如“”等價于，所以只需推斷與的關系即可。依據(jù)的單調性可得：假如，則，但是若，在大于零的前提下，才有，而題目中僅說明。所以不能推出。綜上可推斷是的充分不必要條件答案：C小煉有話說：（1）假如所給條件不便利干脆推斷，那么可以找尋它們的等價條件（充要條件），再進行推斷即可（2）在推中，因為是條件，表達式成立要求，但是在推中，是條件，且對取值沒有特別要求，所以，那么作為結論的就不肯定有意義了。在涉及到變量取值時要首先分清誰是條件，誰是結論。作為條件的一方默認式子有意義，所以會對變量取值有肯定的影響。例3：已知，假如是的充分不必要條件，則的取值范圍是_____思路：設，因為是的充分不必要條件，所以，利用數(shù)軸可而推斷出答案：例4：下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是（）A.B.C.D.思路：求的充分不必要條件，則這個條件能夠推出，且不能被推出?？梢钥紤]驗證四個選項。A選項可以推出，而不肯定能夠得到（比如），所以A符合條件。對于B，C兩個選項均不能推出A，所以干脆否定。而D選項雖然可以得到，但是也能推出，所以D是A的充要條件，不符題意答案：A例5：（2015浙江溫州中學高二期中考試）設集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：先解出兩個解集：，的解集與的取值有關：若，則；若，則，視察條件，若，則，所以成立；若，則通過數(shù)軸視察區(qū)間可得的取值為多個（比如），所以“”是“”的充分不必要條件答案：A例6：對于函數(shù)，“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：假如是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，則中位于軸下方的部分沿軸對稱翻上來，恰好圖像關于軸對稱，但的圖象關于軸對稱未必能得到是奇函數(shù)（例如），所以“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件答案：B例7：已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路一：可以考慮利用特別值來進行推斷。比如考慮左右，可以舉出反例，則不成立，所以左邊無法得到右邊。而右左能夠成立，所以“”是“”的必要不充分條件思路二：本題也可以運用集合的思想，將視為一個點的坐標，則條件所對應的集合為，作出兩個集合在坐標系中的區(qū)域，視察兩個區(qū)域可得，所以“”是“”的必要不充分條件答案：B例8（2015菏澤高三期中考試）：設條件：實數(shù)滿意；條件：實數(shù)滿意且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是_________思路：本題假如先將，寫出，再利用條件關系運算，盡管可行，但，簡單書寫錯誤。所以優(yōu)先考慮運用原條件?！笆堑谋匾怀浞謼l件”等價于“是的必要不充分條件”，而為兩個不等式，所以考慮求出解集再利用集合關系求解。解：設，可解得：，設可解得：，是的必要不充分條件是的必要不充分條件答案：例9：數(shù)列滿意，則“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：當時，可得，即成等差數(shù)列。所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的充分條件。另一方面，假如成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以有，代入可得：，解得或，經檢驗，時，，利用數(shù)學歸納法可證得，則也為等差數(shù)列（公差為0），所以符合題意。從而由“數(shù)列成等差數(shù)列”無法推出“”，所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的不必要條件答案:A例10：設，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：因為，所以。故由可得，即，對于能否推出，可考慮找尋各自等價條件：，，通過數(shù)形結合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分條件答案：B三、近年模擬題題目精選1、（2014，江西贛州高三摸底考試）若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2、（2014南昌一模，3）設為向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3、若，則“成立”是“成立”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4、（2014，北京）設是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5、（2014上海13校聯(lián)考，15）集合，若“”是“”的充分條件，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6、（2015，福建）“對隨意的，”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7、（2014北京朝陽一模，5）在中，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8、（2014湖北黃岡月考，4）已知條件，條件：直線與圓相切，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件9、(2014陜西五校二模，1）命題且滿意.命題且滿意.則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件10、（2015北京理科）設是兩個不同的平面，是直線且．則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11、（2016，上海交大附中期中）條件“對隨意”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件習題答案：1、答案：B解析：從集合的角度來看，滿意條件的取值范圍是或，所以可知“”是“”的必要不充分條件2、答案：C解析：的夾角為，從而等價于3、答案：C解析：由不等式性質可知：，則即，反之若，則即4、答案：D解析：若的項均為負項，則“”，“為遞增數(shù)列”之間無法相互推出，所以兩條件既不充分也不必要5、答案：B解析：，，因為，由數(shù)軸可得：即可6、答案：B解析：左側條件中恒成立不等式可化為，設，可知，所以若為減函數(shù)，則肯定有成立?？紤]，由可得：，故時，成立，所以為減函數(shù)，成立。所以使不等式恒成立的的范圍包含，而，故“對隨意的，”是“”的必要