全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標ⅱ）（含解析版）2

全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標口）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分

1.（5分）已知集合A={x-l〈x<2},B={x|0<x<3},則AUB=（）

A.（-1,3）B.（-1,0）C.（0,2）D.（2,3）

2.（5分）若為a實數(shù)，且/+a].=3+i,則a=（）

1+i

A.-4B.-3C.3D.4

3.（5分）根據(jù)如圖給出的2004至我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖,

以下結論中不正確的是（）

A.逐比較，減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006以來我國二氧化硫排放量呈減少趨勢

D.2006以來我國二氧化硫排放量與份正相關

4.（5分）a=（1,-1）,b=（-1>2）則（2a+b）?a=（）

A.-1B.0C.1D.2

5.（5分）已知Sn是等差數(shù)列國}的前n項和，若a1+a3+a5=3,則Ss=（）

A.5B.7C.9D.11

6.（5分）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截

去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

C.1D.1

65

7.（5分）已知三點A（1,0）,B(0,遂)，C(2,73)則4ABC外接圓的圓

心到原點的距離為（）

A.竺B.c?竿D.4

333

8.（5分）如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的"更

相減損術”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18,則輸出的a=（）

A.0B.2C.4D.14

（分）已知等比數(shù)歹滿足】=（）則（）

9.5ij{ajaL,a3a5=4a4-1,a?=

4

A.2B.1C.1D.1

28

10.（5分）已知A,B是球。的球面上兩點，NAOB=90。，C為該球面上的動點,

若三棱錐0-ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為（）

A.36AB.64RC.144nD.256R

11.（5分）如圖I,長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,。是AB的中點，點P沿著邊

BC,CD與DA運動，記NBOP=x.將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的

函數(shù)f（x）,則y=f（x）的圖象大致為（）

D.

12.(5分)設函數(shù)f(x)=ln(l+|x|)1了，則使得f（x）>f⑵-1）成

1+x

立的x的取值范圍是()

A.(-8,_L)U(1,+co)B.(工，1)

33

c.(A,1)D.(一8,-1,)J(l,+co)

3300

二、填空題

13.（3分）已知函數(shù)f（x）=ax3-2x的圖象過點（-1,4）貝Ua=.

x+y-540

14.（3分）若x,y滿足約束條件.2xf-l>0，則z=2x+y的最大值為.

x-2y+l40

15.（3分）已知雙曲線過點（4,我）且漸近線方程為y=±Lx,則該雙曲線的標

2

準方程是.

16.（3分）已知曲線y=x+lnx在點（1,1）處的切線與曲線y=ax?+（a+2）x+1相

切,則2=

三.解答題

17.AABCch，D是BC上的點，AD平分NBAC,BD=2DC

(I)求sinNB.

sin/C

(II)若NBAC=60°,求NB.

18.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機調查了40

個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率

分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表

X地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖3地區(qū)用戶耘意度評分的頻率分布直方圖

B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表

滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2814106

（1）做出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)

滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）

（口）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由.

19.(12分)如圖，長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=16,BC=10,AAi=8,點E,F

分別在AiBi，DiJ上，AiE=DiF=4.過E,F的平面a與此長方體的面相交，

交線圍成一個正方形

(I)在圖中畫出這個正方形(不必說出畫法和理由)

(II)求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值.

20.橢圓C：式+式=1,(a>b>0)的離心率返，點(2,近)在C上.

a2,b29"

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線I不過原點0且不平行于坐標軸，|與C有兩個交點A,B,線段AB的

中點為M.證明：直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值.

21.設函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x).

(I)討論：f(x)的單調性；

(H)當f(x)有最大值，且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍.

四、選修4-1:幾何證明選講

22.（10分）如圖，0為等腰三角形ABC內(nèi)一點，。。與AABC的底邊BC交于

M,N兩點，與底邊上的高AD交于點G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點.

（1）證明：EF〃BC；

（2）若AG等于。。的半徑，且AE=MN=2b，求四邊形EBCF的面積.

五、選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

23.（10分）在直角坐標系xOy中，曲線Ci：產(chǎn)tcosO4為參數(shù)，t#0）,其

I尸tsina

中OWaWn,在以0為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：p=2sin0,

C3：p=2-/§cos。.

（1）求C2與C3交點的直角坐標；

（2）若J與C2相交于點A,Ci與C3相交于點B,求|AB的最大值.

六、選修4-5不等式選講

24.（10分）設a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明:

（1）右ab>cd,則

（2）4+加>4+F是|a-b|V|c-d|的充要條件.

全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(文科)(新課標口)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分

1.(5分)已知集合A={x-1VXV2},B={x|0<x<3},則AUB=()

A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)

【考點】ID：并集及其運算.

【專題】5J：集合.

【分析】根據(jù)集合的基本運算進行求解即可.

【解答】解：；A={x|-1VXV2},B={x|0<x<3},

.,.AUB={x|-l<x<3},

故選:A.

【點評】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎.

2.(5分)若為a實數(shù)，且生l=3+i,則2=()

1+i

A.-4B.-3C.3D.4

【考點】A1：虛數(shù)單位i、復數(shù).

【專題】5N：數(shù)系的擴充和復數(shù).

【分析】根據(jù)復數(shù)相等的條件進行求解即可.

【解答】解：由包-3+i，得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,

1+i01

則a=4,

故選：D.

【點評】本題主要考查復數(shù)相等的應用，比較基礎.

3.(5分)根據(jù)如圖給出的2004至我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)柱形圖,

以下結論中不正確的是（)

2700

2600

2500

2400

2300

2200

2100

2000

1900

2004^2005年2006^2007年200降2009^2010^2011年2012^2013年

A.逐比較，減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006以來我國二氧化硫排放量呈減少趨勢

D.2006以來我國二氧化硫排放量與份正相關

【考點】B8：頻率分布直方圖.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】A從圖中明顯看出二氧化硫排放量比2007的二氧化硫排放量減少的最

多，故A正確；

B從2007開始二氧化硫排放量變少，故B正確；

C從圖中看出，2006以來我國二氧化硫排放量越來越少，故C正確；

D2006以來我國二氧化硫排放量越來越少，與份負相關，故D錯誤.

【解答】解：A從圖中明顯看出二氧化硫排放量比2007的二氧化硫排放量明顯

減少，且減少的最多，故A正確；

B2004-2006二氧化硫排放量越來越多，從2007開始二氧化硫排放量變少，故B

正確；

C從圖中看出，2006以來我國二氧化硫排放量越來越少，故C正確；

D2006以來我國二氧化硫排放量越來越少，而不是與份正相關，故D錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查了學生識圖的能力，能夠從圖中提取出所需要的信息，屬于基

礎題.

4.（5分）a=（l，-1），b=（-l，2）則（2a+b）?a=（）

A.-1B.0C.1D.2

【考點】90：平面向量數(shù)量積的性質及其運算.

【專題】5A：平面向量及應用.

【分析】利用向量的加法和數(shù)量積的坐標運算解答本題.

【解答】解：因為a=（1，-1），b=（-1，2）則（2a+b）?a=（1，0）?（1,

-1）=1；

故選：C.

【點評】本題考查了向量的加法和數(shù)量積的坐標運算；屬于基礎題目.

5.（5分）已知Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項和，若ai+a3+as=3,則Ss=（）

A.5B.7C.9D.11

【考點】85：等差數(shù)列的前n項和.

【專題】35：轉化思想；4A：數(shù)學模型法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】由等差數(shù)列｛an｝的性質，ai+a3+a5=3=3a3,解得a3.再利用等差數(shù)列的

前n項和公式即可得出.

【解答】解：由等差數(shù)列｛aj的性質，ai+a3+as=3=3a3，解得a3=l.

則S5=5（a1+a5）=5a3=5

2

故選：A.

【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質、前n項和公式，考查了推理

能力與計算能力，屬于中檔題.

6.（5分）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截

去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

【考點】L!：由三視圖求面積、體積.

【專題】11：計算題；5F：空間位置關系與距離.

【分析】由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，把相關數(shù)據(jù)代入棱錐的

體積公式計算即可.

【解答】解：設正方體的棱長為1,由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱

錐，

...正方體切掉部分的體積為工x^XIXIX1=工，

326

???剩余部分體積為1-1=1,

66

截去部分體積與剩余部分體積的比值為上.

5

故選：D

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體的形狀，求幾何體的體積.

7.（5分）已知三點A（1,0）,B（0,遂），C（2,V3）則4ABC外接圓的圓

心到原點的距離為（）

c?竽

【考點】J1:圓的標準方程.

【專題】5B：直線與圓.

【分析】利用外接圓的性質，求出圓心坐標，再根據(jù)圓心到原點的距離公式即可

求出結論.

【解答】解：因為^ABC外接圓的圓心在直線BC垂直平分線上，即直線x=l上,

可設圓心P（l,p）,由PA=PB得

P=71+（P-V3）2,

得p=2店

3_

圓心坐標為p（1,2度），

3__________

所以圓心到原點的距離IOPI=J]+（竽產(chǎn)亨,

故選：B.

【點評】本題主要考查圓性質及^ABC外接圓的性質，了解性質并靈運用是解決

本題的關鍵.

8.（5分）如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的"更

相減損術”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18,則輸出的a=（）

A.0B.2C.4D.14

【考點】EF：程序框圖.

【專題】27：圖表型；5K：算法和程序框圖.

【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a,b的值，當a=b=2時

不滿足條件aWb,輸出a的值為2.

【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得

a=14,b=18

滿足條件aWb,不滿足條件a>b,b=4

滿足條件aWb,滿足條件a>b,a=10

滿足條件aWb,滿足條件a>b,a=6

滿足條件a#b,滿足條件a>b,a=2

滿足條件aWb,不滿足條件a>b,b=2

不滿足條件aWb,輸出a的值為2.

故選：B.

【點評】本題主要考查了循環(huán)結構程序框圖，屬于基礎題.

9.(5分)已知等比數(shù)列｛aj滿足ai=L,a3a5=4(a4-1),則a2=()

4

A.2B.1C.1D.1

28

【考點】88：等比數(shù)列的通項公式.

【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.

【解答】解:設等比數(shù)列｛a。｝的公比為q，

?c=],a3a5=4C34—1),

(?2*口6=4(飆⑴，

化為q3=8,解得q=2

則a=—x2=—?

24z2

故選：C.

【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎題.

10.（5分）已知A,B是球。的球面上兩點，ZAOB=90°,C為該球面上的動點,

若三棱錐0-ABC體積的最大值為36,則球0的表面積為（）

A.36nB.64nC.144KD.256n

【考點】LG：球的體積和表面積.

【專題】11：計算題；5F：空間位置關系與距離.

【分析】當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐0-ABC的體積最大,

利用三棱錐。-ABC體積的最大值為36,求出半徑，即可求出球。的表面積.

【解答】解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐0-

ABC的體積最大，設球0的半徑為R,此時Vo-ABC=VC一

AOB=—X—XR2XR=—R3=36>故R=6,則球。的表面積為4AR2=144K,

326

故選：C.

【點評】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面

AOB的直徑端點時，三棱錐0-ABC的體積最大是關鍵.

11.（5分）如圖，長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,。是AB的中點，點P沿著邊

BC,CD與DA運動，記NBOP=x.將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的

函數(shù)f（x）,則y=f（x）的圖象大致為（）

A.

【考點】HC：正切函數(shù)的圖象.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關系，利用排除法進行求解即可.

【解答】解：當OWxW亍時，BP=tanx,AP=?^B向7工，

此時f(x)=\心吊Jtanx,OWxW2L,此時單調遞增，

V4itanx4

如圖所示，tan/POB=tan(n-ZPOQ)=tanx=-tanZPOQ=-^L=-—,

OQOQ

/.OQ=---—,

tanx

.\PD=AO-OQ=1+—1—,PC=BO+OQ=1-,

tanxtanx

.,.PA+PB=/L1+^^)2+1，

VtanxVtanx

當X=2L時，PA+PB=2?Q,

2

當P在AD邊上運動時，IZLWxWn,PA+PB=、/71~~-tanx,

4v^+tanx

由對稱性可知函數(shù)f(x)關于x=2L對稱，

2

且f(2L)>f(2L),且軌跡為非線型，

42

排除A,C,D,

故選：B.

【點評】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，根據(jù)條件先求出OWxW三時的

4

解析式是解決本題的關鍵.

12.(5分)設函數(shù)f(x)=ln(l+|x)則使得f(x)成

立的x的取值范圍是()

A.(-8,_L)U(1,+8)B.(工，1)

33

C.(A,1)D.(-8,-JL,)U(v+°°)

333O

【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.

【專題】33：函數(shù)思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質及應用.

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性之間的關系，將不等式進行轉化即可得到結

論.

【解答】解：???函數(shù)f(x)=ln(l+|x|)為偶函數(shù)，

1+x2

且在x》O時，f(x)=ln(1+x)-―-—,

1+x2

導數(shù)為f'(x)=-L-+———―->o,

1+x")2

即有函數(shù)f(x)在［0,+8)單調遞增，

Af(x)>f(2x-1)等價為f(|x|)>f(|2x-1|),

即|x>12x-11,

平方得3x2-4x+l<0,

解得:1<X<1,

3

所求X的取值范圍是（工，1）.

3

故選:B.

【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，綜合考查函數(shù)性質的綜合應

用，運用偶函數(shù)的性質是解題的關鍵.

二、填空題

13.（3分）已知函數(shù)f（x）=ax3-2x的圖象過點（-1,4）則a=-2.

【考點】36：函數(shù)解析式的求解及常用方法.

【專題】11：計算題；51：函數(shù)的性質及應用.

【分析】f（x）是圖象過點（-1,4）,從而該點坐標滿足函數(shù)f（x）解析式，

從而將點（-1，4）帶入函數(shù)f（x）解析式即可求出a.

【解答】解：根據(jù)條件得：4=-a+2；

a=-2.

故答案為：-2.

【點評】考查函數(shù)圖象上的點的坐標和函數(shù)解析式的關系，考查學生的計算能力,

比較基礎.

x+y-540

14.（3分）若x,y滿足約束條件.2xp-l>0，則z=2x+v的最大值為8.

x-2y+l40

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】59：不等式的解法及應用.

【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結

合確定z的最大值.

【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）.

由z=2x+y得y=-2x+z,

平移直線y=-2x+z,

由圖象可知當直線y=-2x+z經(jīng)過點A時，直線y=-2x+z的截距最大,

此時z最大.

由/+y-5=0,解得［x=3,即人（3,2）

Ix-2y+l=0|y=2

將A（3,2）的坐標代入目標函數(shù)z=2x+y,

得z=2X3+2=8.即z=2x+y的最大值為8.

故答案為：8.

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，結合目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結

合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法.

15.（3分）已知雙曲線過點（4,近）且漸近線方程為y=±Lx,則該雙曲線的標

2

準方程是lx2-y2=l.

-4

【考點】KB：雙曲線的標準方程.

【專題】11：計算題；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程.

【分析】設雙曲線方程為丫2-42=入，代入點（4,我），求出入，即可求出雙曲

4

線的標準方程.

【解答】解：設雙曲線方程為丫2-匕＜2=入，

4

代入點（4,、⑶，可得3-Lxi6=L

?,?入=-1,

雙曲線的標準方程是Lx?-y2=l.

4

故答案為：—x2-y2=l.

4

【點評】本題考查雙曲線的標準方程，考查學生的計算能力，正確設出雙曲線的

方程是關鍵.

16.(3分)已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax?+(a+2)x+1相

切，則a=8.

【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】26：開放型；53：導數(shù)的綜合應用.

【分析】求出y=x+lnx的導數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與

曲線y=ax2+(a+2)x+1相切，有且只有一切點，進而可聯(lián)立切線與曲線方程,

根據(jù)△=()得到a的值.

【解答】解：y=x+lnx的導數(shù)為y'=l+L,

x

曲線y=x+lnx在x=l處的切線斜率為k=2,

則曲線y=x+lnx在x=l處的切線方程為y-l=2x-2,即y=2x-1.

由于切線與曲線y=ax?+(a+2)x+1相切,

故y=ax?+(a+2)x+1可聯(lián)立y=2x-1,

得ax2+ax+2=0,

又aWO,兩線相切有一切點，

所以有4=2?-8a=0,

解得a=8.

故答案為：8.

【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，主要考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在

某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的導數(shù)，設出切線方程運用兩線相切的性質

是解題的關鍵.

三.解答題

17.ZXABC中，D是BC上的點，AD平分NBAC,BD=2DC

(I)求sin/B.

sin/C

(II)若NBAC=60。，求NB.

【考點】HP：正弦定理.

【專題】58：解三角形.

【分析】（［）由題意畫出圖形，再由正弦定理結合內(nèi)角平分線定理得答案；

（口）由NC=180。-（NBAC+NB）,兩邊取正弦后展開兩角和的正弦，再結合（I）

中的結論得答案.

【解答】解：（［）如圖，

由正弦定理得：

AD二BDAD二DC,

sin/Bsin/BAD'sinNCsin/CAD

「AD平分NBAC,BD=2DC,

?sin/BJ”.

??sin/C=BD方

（II）VZC=180°-（ZBAC+ZB）,ZBAC=60°,

,,sin/CusinlNBAC+Z^^^cosNB+'sinNB，

由（I）知2sinNB=sinNC,

，tanNB=Ya,即NB=30°.

3

【點評】本題考查了內(nèi)角平分線的性質，考查了正弦定理的應用，是中檔題.

18.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機調查了40

個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率

分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表

A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖3地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖

滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2814106

（1）做出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)

滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）

（口）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由.

【考點】B8：頻率分布直方圖；CB：古典概型及其概率計算公式.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】（I）根據(jù)分布表的數(shù)據(jù)，畫出頻率直方圖，求解即可.

（II）計算得出CA表示事件："A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意"，CB表示事件:

"B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意"，

P（CA）,P（CB）,即可判斷不滿意的情況.

【解答】解：（I）

通過兩個地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評

分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值，

B地區(qū)的用戶滿意度評分的比較集中，而A地區(qū)的用戶滿意度評分的比較分散.

(II)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.

記CA表示事件："A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意〃，CB表示事件："B地區(qū)用

戶的滿意度等級為不滿意”，

由直方圖得

P(CA)=(0.01+0.02+0.03)X10=0.6

得

P(CB)=(0.005+0.02)X10=0.25

，A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.

【點評】本題考查了頻率直方圖，頻率表達運用，考查了閱讀能力，屬于中檔題.

19.(12分)如圖，長方體ABCD-AiBiJDi中,AB=16,BC=10,AAi=8,點E,F

分別在AiBi，DiCi上，AiE=DiF=4.過E,F的平面a與此長方體的面相交，

交線圍成一個正方形

(I)在圖中畫出這個正方形(不必說出畫法和理由)

(II)求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值.

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；U：平面的基本性質及推論.

【專題】15：綜合題；5F：空間位置關系與距離.

【分析】(I)利用平面與平面平行的性質，可在圖中畫出這個正方形；

(II)求出MH={EH2一EM2=6,AH=10,HB=6,即可求平面a把該長方體分成的

兩部分體積的比值.

【解答】解：(I)交線圍成的正方形EFGH如圖所示；

(II)作EM_LAB,垂足為M,則AM=AiE=4,EBi=12,EM=AAi=8.

因為EFGH為正方形，所以EH=EF=BC=10,

于是MH=VEH2-EM2=6,AH=IO,HB=6.

因為長方體被平面a分成兩個高為10的直棱柱，

所以其體積的比值為旦.

7

【點評】本題考查平面與平面平行的性質，考查學生的計算能力，比較基礎.

20.橢圓C：式+d=1,(a>b>0)的離心率返，點(2,72)在C上.

2,29

ab"

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線I不過原點。且不平行于坐標軸，|與C有兩個交點A,B,線段AB的

中點為M.證明：直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值.

【考點】K3：橢圓的標準方程；KH：直線與圓錐曲線的綜合.

【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程.

【分析】(1)利用橢圓的離心率，以及橢圓經(jīng)過的點，求解橢圓的幾何量，然后

得到橢圓的方程.

(2)設直線I：y=kx+b,(kWO,bWO),A(xi，yi),B(x2,y2),M(XM，

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理求解K°M,然后推出直線OM的斜率

與I的斜率的乘積為定值.

【解答】解：（1）橢圓C：m+《=1，（a>b>o）的離心率返，點（2,V2）

”b?2

在C上，可得la2-b2二返,32=1，解得a2=8,b2=4,所求橢圓C方程

a202b21

22

為:Ah

（2）設直線I：y=kx+b,（kWO,bWO）,A（xi，yi）,B（xz?丫2），M（XM，yivi），

22

把直線y=kx+b代入可得（2k2+l）x2+4kbx+2b2-8=0,

故XM=X1+X2=一」:byM=|<XM+b=————，

22k2+12k2+1

于是在OM的斜率為：KOM=^-=——?即KoM?k=」.

xH2k2

...直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值.

【點評】本題考查橢圓方程的綜合應用，橢圓的方程的求法，考查分析問題解決

問題的能力.

21.設函數(shù)f（x）=lnx+a（1-x）.

（I）討論：f（x）的單調性；

（II）當f（x）有最大值，且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍.

【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6E：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值.

【專題】26：開放型；53：導數(shù)的綜合應用.

【分析】（I）先求導，再分類討論，根據(jù)導數(shù)即可判斷函數(shù)的單調性；

（2）先求出函數(shù)的最大值，再構造函數(shù)（a）=lna+a-l,根據(jù)函數(shù)的單調性即

可求出a的范圍.

【解答】解：（I）f（x）=lnx+a（1-x）的定義域為（0,+-）,

fz（x）=--a=^—a-,

若aWO,則F(x)>0,.?.函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調遞增,

若a>0,則當xW(0,-1)時，f(x)>0,當xC(1,+8)時，f(x)<0,

aa

所以f(x)在(0,1)上單調遞增，在(!，+8)上單調遞減，

aa

(口)，由(工)知，當aWO時，f(x)在(0,+8)上無最大值；當a>0時,

f(x)在x=L取得最大值，最大值為f(工)=-lna+a-1,

aa

Vf(1)>2a-2,

a

.".lna+a-l<0,

令g(a)=lna+a-1>

Vg(a)在(0,+°°)單調遞增，g(1)=0,

.,.當OVaVl時，g(a)<0,

當a>l時，g(a)>0,

Aa的取值范圍為(0,1).

【點評】本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調性最值的關系，以及參數(shù)的取值范圍，屬

于中檔題.

四、選修4-1：幾何證明選講

22.(10分)如圖，0為等腰三角形ABC內(nèi)一點，與4ABC的底邊BC交于

M,N兩點，與底邊上的高AD交于點G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點.

(1)證明:EF〃BC；

(2)若AG等于。。的半徑，且AE=MN=2?,求四邊形EBCF的面積.

【考點】N4：相似三角形的判定.

【專題】26：開放型；5F：空間位置關系與距離.

【分析】（1）通過AD是NCAB的角平分線及圓。分別與AB、AC相切于點E、F,

利用相似的性質即得結論；

（2）通過（1）知AD是EF的垂直平分線，連結OE、0M,則OE_LAE,利用

ABC-SAAEF計算即可.

【解答】（1）證明：???△ABC為等腰三角形，AD1BC,

.?.AD是NCAB的角平分線，

又?.?圓。分別與AB、AC相切于點E、F,

，AE=AF,AADlEF,

，EF〃BC；

（2）解:由（1）知AE=AF,ADLEF,，AD是EF的垂直平分線，

又..它為圓0的弦，二。在AD上，

連結OE、0M,則OE_LAE,

由AG等于圓。的半徑可得A0=20E,

二NOAE=30°,：.△ABC與△AEF都是等邊三角形，

；AE=2?，，A0=4,0E=2,

V0M=0E=2,DM=LMN=”存，.*.OD=1,

2

，AD=5,AB=10^,

3__

四邊形EBCF的面積為Lx（1閃后）2*返-Lx&a）2X，1=竺返.

232223

【點評】本題考查空間中線與線之間的位置關系，考查四邊形面積的計算，注意

解題方法的積累，屬于中檔題.

五、選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

23.（10分）在直角坐標系xOy中，曲線Ci：產(chǎn)tcosa4為參數(shù)，two）,其

（y=tsinCl

中OWaWn,在以。為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：p=2sin0,

C3：p=2j5cose.

(l)求C2與C3交點的直角坐標；

(2)若Ci與C2相交于點A,Ci與C3相交于點B,求|AB|的最大值.

【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程.

【專題】5S：坐