哈工大理論力學(xué)04

理論力學(xué)11理論力學(xué)2

前幾章我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實(shí)上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。[例]

平衡必計(jì)摩擦按接觸面的運(yùn)動情況看摩擦分為：

滑動摩擦，滾動摩擦

2

f

FFmax

S

N

（f

S—

靜滑動摩擦因數(shù)）理論力學(xué)3一、靜滑動摩擦力

1、定義：兩接觸物體，產(chǎn)生相對滑動趨勢時(shí)，其接觸面

產(chǎn)生阻止物體相對運(yùn)動趨勢的力叫靜(滑動)摩擦力。

（

就是接觸面對物體作用的切向約束力）§4-1滑動摩擦2、狀態(tài)：

FN

PFS

①靜止：

FS=F

；

FS隨F的增加而增加，

但有一臨界值。

②臨界：（將滑未滑）最大靜摩擦力F

所以增大摩擦力：

①加大法向壓力FN；

的途徑為

②加大靜摩擦因數(shù)fS

。3理論力學(xué)43、

特征：0大?。?/p>

F

S

Fmax（平衡范圍）滿足

Fx

0

靜摩擦力特征：方向：與物體相對滑動趨勢方向相反

定律：

Fmax

fS

FN

（

f

s只與材料和表面情況有關(guān)，與接觸面積大小無關(guān)。）二、動滑動摩擦力

（與靜滑動摩擦力不同的是產(chǎn)生了滑動）（無平衡范圍）大?。?/p>

Fd

f

FN動摩擦力特征：方向：與物體運(yùn)動方向相反

定律：

Fd

f

FN

（f

只與材料和表面情況有關(guān)，與接觸面積大小無關(guān)。）4tanjf

s

f

§4-2摩擦角與自鎖現(xiàn)象FNFRjFNjFR

一、摩擦角

①全約束力

即FR=

FN

+

FS

，它與接觸面的公法線成一偏角j

，當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)，即靜摩擦力達(dá)到最大值Fmax時(shí),偏角j達(dá)到最大值jf，全約束力與法線夾角的最大值jf叫做摩擦角。

j

f

②計(jì)算理論力學(xué)s

FmaxFs

Fmax

fFN

FN

FN

摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)。

55理論力學(xué)6

當(dāng)物塊的滑動趨勢方向改變時(shí)，全約束力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)R的作用線將畫出一個(gè)以接觸點(diǎn)A為頂點(diǎn)的錐面，稱為摩擦錐。設(shè)物塊與支承面間沿任何方向的摩擦因數(shù)都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個(gè)頂角為2jf的圓錐。

③摩擦錐：頂角為2j

f

的錐體。

jf

FR6理論力學(xué)7④測定摩擦因數(shù)的一種簡易方法7理論力學(xué)8FNFR

Fmaxj二、自鎖現(xiàn)象

物塊平衡時(shí)，靜摩擦力不一定達(dá)到最大值，可在零與

最大值Fmax之間變化，所以全約束力與法線間的夾角j也

jf

0

j

jf由于靜摩擦力不可能超過最大值，因此全約束力的作用線也不可能超出摩擦角以外，即全約束力必在摩擦角之內(nèi)。

將摩擦錐反向，判斷主動力是否

在反向摩擦錐內(nèi)來確定是否平衡。8理論力學(xué)9

jf

FRqAjf

j

FRAjf1、如果作用于物塊的全部主動力的合力FR的作用線在摩擦角jf之內(nèi)，則無論這個(gè)力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。因?yàn)樵谶@種情況下，主動力的合力FR與法線間的夾角q<jf，因此，F(xiàn)R和全約束力FRA必能滿足二力平衡條件，且q

j

<

jf

。因?yàn)樵诠ň€上有

Fy

0

FN

FR

cosq而

F

Rx

F

R

sinq

F

R

cosq

tanq

FN

tanq

FN

tanjf

F

max

所以在切線上必然平衡。9理論力學(xué)10qjfjfjfFRFRAAj2、如果全部主動力的合力FR的作用線在摩擦角jf之外，則無論這個(gè)力怎樣小，物塊一定會滑動。因?yàn)樵谶@種情況下，q

>

j

f，而j

≤j

f，支承面的全約束力FRA和主動力的合力FR不能滿足二力平衡條件。應(yīng)用這個(gè)道理，可以設(shè)法避免發(fā)生自鎖現(xiàn)象。10理論力學(xué)113、自鎖應(yīng)用舉例

斜面的自鎖條件是斜面的傾角小于或

等于摩擦角。

斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖條件。

因?yàn)槁菁y可以看成為繞在一圓柱體上的斜

面，螺紋升角

就是斜面的傾角。螺母相

當(dāng)于斜面上的滑塊A，加于螺母的軸向載

荷P，相當(dāng)物塊A的重力，要使螺紋自鎖，

必須使螺紋的升角

小于或等于摩擦角jf。

因此螺紋的自鎖條件是

jf

自鎖應(yīng)

用實(shí)列11jf理論力學(xué)12②作A，B點(diǎn)的摩擦角jf交E，G兩點(diǎn)③E，G兩點(diǎn)間的水平距

離CD為人的

活

動范圍[例]

水平梯子放在直角V形槽內(nèi)，略去梯重，梯子與兩個(gè)斜面間的摩擦因數(shù)（摩擦角均為j

f），如人在梯子上走動，試分析不使梯子滑動，人的活動應(yīng)限制在什么范圍內(nèi)？

解：①作法線AH和BH300600AlHEGjfCD

B

jfjf12jf理論力學(xué)13AC

AEcos(300

jf

)

ABsin(600

jf

)cos(300

jf

)BD

BGcos(600

jf

)

ABsin(300

jf

)cos(600

jf

)所以人在AC和BD段活動都不能滿足三力平衡匯交的原理，只有在CD段活動時(shí)，才能滿足三力平衡匯交原理。

AEB

AGB

900證明：由幾何關(guān)系300600AlHEGjfCD

B

jfjf13理論力學(xué)14ⅠⅡⅢⅣq[例]在隧道施工中，廣泛采用各種利用摩擦鎖緊裝置—楔聯(lián)結(jié)。隧道支柱中的聯(lián)結(jié)結(jié)構(gòu)裝置如圖所示。它包括頂梁I，楔塊II，用于調(diào)節(jié)高度的螺桿III及底座IV。螺旋桿給楔塊以向上的推力FN1。已知楔塊與上下支柱間的靜摩擦因數(shù)均為fs（摩擦角jf）。求楔塊不致滑出所需頂角的大小。

解：研究楔塊，受力如圖

二力平衡條件

F

R1

F

R2

且兩力必在同一直線上qFR1j1j2q

FR2q

j2

j1

q

j1

j2

2jf各處摩擦相同，求能自鎖的角q。Fq

2

q

jfcotq

fs14b

(alim

)tanjf

(alim

)tanjf理論力學(xué)15[例]圖示為凸輪機(jī)構(gòu)。已知推桿和滑道間的摩擦因數(shù)為fs，滑道寬度為b。設(shè)凸輪與推桿接觸處的摩擦忽略不計(jì)。問a為多大，推桿才不致被卡住。aeBMdAAaO

bCbF

a

極限

FRA

φf

φfB

FRB解：A、B處的全約束力只能在摩擦角以內(nèi)，即兩力作用線的交點(diǎn)只能在C或C的右側(cè)。由三力平衡匯交定理可知，三力在C點(diǎn)右側(cè)匯交時(shí)，摩擦力未達(dá)到臨界狀態(tài)，可以平衡。因此a<a極限時(shí)，推桿不會被卡住。

d

d

2

2

2alim

tanjf

2alin

fs

b2fs

alim

b2

fsa

挺桿不被卡住。15理論力學(xué)16考慮摩擦?xí)r的平衡問題判斷物體是否平衡問題求平衡范圍問題

臨界平衡問題一、判斷物體是否平衡問題①假定物體平衡，將摩擦力FS作為未知力，指向可假設(shè)；②由平衡方程求FS和FN。若FS為負(fù)值則與假設(shè)指向相反；③計(jì)算Fmax=fSFN，根據(jù)不等式|FS|≤

Fmax是否滿足來判

斷物體是否平衡。滿足不等式則平衡，否則不平衡?！?-3考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題16理論力學(xué)17二、求平衡范圍問題（包括力與幾何范圍）①設(shè)物體處于某種臨界平衡，摩擦力達(dá)到最大值Fmax，其方

向不能假設(shè)，要根據(jù)物體運(yùn)動趨勢來判斷；②補(bǔ)充方程Fmax=fSFN，由平衡方程求未知量；③根據(jù)求得的某種臨界平衡條件，分析其平衡范圍。

三、臨界平衡問題

①設(shè)物體處于臨界平衡，摩擦力達(dá)到最大值Fmax，其方

向不能假設(shè)，要根據(jù)物體運(yùn)動趨勢來判斷；

②補(bǔ)充方程Fmax=fSFN，由平衡方程求未知量。17理論力學(xué)18[例]在傾角

大于摩擦角jf

的固定斜面上放有重G的物塊，為了維持這物塊在斜面上靜止不動，在物塊上作用了水平力F1。試求該水平力的大小。

解：取物塊為研究對象

1.求F1的最大值F1max，受力分析如圖。列平衡方程11F

cos

Fmax

Gsin

0

Fx

0F

1max

G

Gtan(

jf

)

tan

tanjf1

tanjf

tan

Fy

0

FN

Gcos

F

sin

0

補(bǔ)充方程

Fmax=fs

FN

聯(lián)立求解得yxFNF1Fmax

18tan

tanjf1

tanjf

tan

理論力學(xué)192.求F1的最小值F1min，受力分析如圖。

Gtan(

jf

)同理求解得

F

1min

G1平衡時(shí)，F(xiàn)1的大小滿足

Gtan

jf

F

Gtan

jf

yxF1

FmaxFN

19理論力學(xué)20jf

FR2F

1minG

G

jf

FR2F

1maxjfFR1

FR1F

1maxG

F

1minG

jf解2：（幾何法）

當(dāng)物體處于向上滑動的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，可得力三角形如圖。由力三角形可得：

F

1max

Gtan(

jf)

當(dāng)物體處于向下滑動的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，可得力三角形如圖。由力三角形可得：1

F

1min

Gtan(

jf)故力F1

應(yīng)滿足的條件為：

Gtan(

jf)

F

Gtan(

jf)20

MA

0

P

cos

min

FB

lcos

min

N

B

lsin

min

0

F理論力學(xué)21

[例]

梯子長AB=l，重為P，若梯子與墻和地面的靜摩

擦因數(shù)

f

s=0.5，求

多大時(shí)，梯子能處于平衡？解：考慮到梯子在臨界平衡狀

態(tài)有下滑趨勢，做受力圖。

(1)(2)FNB

FA

0FN

A

FB

P

0

Fx

0

Fy

0FA

fs

FNAFB

fs

FNB(3)l221fs

s

f

PPP1

fs

s

s

f

2，F(xiàn)NB

，F(xiàn)B

1

f

1

ctg2jf

f

)1

fs2

1

tan2jf

min

2jf

36

87'理論力學(xué)2222

2FNA

解得代入（3）tan

min

tan(

2j2

fs

2tanjf

2

注意，由于

不可能大于90

，

所以梯子平衡傾角

應(yīng)滿足

36087'

900

02得22

min

jf

CAD

jf

f

ACD

2j

2jf

理論力學(xué)23解2：（幾何法）

當(dāng)梯子處于向下滑動的顯然

F

RA

F

RB

，于是

2

2

2故

應(yīng)滿足的條件是：

2

2PCjf臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，

FRBD

minjf

A

FRAjffB

j23

(1)+(2)

×fs得(1

fs2)sin

(1

fs

)sin

理論力學(xué)24A[例]

均質(zhì)桿AB長為2b，重為P，放在半徑為R的固定半圓柱上，設(shè)各處摩擦因數(shù)均為f

s,

求桿處于平衡時(shí)

的最大值。

B

DR

max衡狀態(tài)，摩擦力為最大靜摩擦力。畫AB的受力圖，列平衡方程。FNAPAFND

CDb

maxFAmax

Fx

0

FNDsin

FDmax

cos

FAmax

0

（1）

Fy

0

FND

cos

FDmax

sin

FNA

P

0

(2)s

s

MA(F)

0

FNDRcot

Pbcos

0

(3)

補(bǔ)充方程

FDmax

fFND

FAmax

fFNA

FDmax

fsP

FND

(4)(4)代入(3)得fsP

2Rcot

Pbcos

24sin

max

2

fs

R1

fs2

b

sin(

j)

sin

cos

sinjcosj理論力學(xué)25ABDR

max

最后求得幾何法：因?yàn)锳、D兩點(diǎn)同時(shí)達(dá)到臨界狀態(tài)，所以兩點(diǎn)處的全約束力與法線的夾角均為摩擦角j，畫受力圖如圖所示。FRA

AjBCDbEPjjFRD

j

j900-

j

-j?ACE

CE

b

sin[900

(

j)]

sinj

cos(

j)

CE

b

sinj?CDE

CD

CEsin(

j)

sin(90

j)b

CEcosjsin(

j)cos(

j)

sinjcosj

CD

b

b25

sin

sinjcosj

tanjcos2jtanj

R1

tan2j

b理論力學(xué)26ABD

maxFRA

jjABCDbR

EPFRDjj

j900-

j

-jbsin

cos

sinjcosjCD

b

AD

Rcot

2RRb

b

fs

R1

fs2

b26

sin(135

j)

sinj

sin(

45

)

sin(90

)sin(

45

)

sin(135

j)cos

sinj

2

理論力學(xué)27[例]均質(zhì)桿放在粗糙的水平面上，桿與地面的摩擦因數(shù)為f

s,

桿與水平面上的夾角為450。桿端用繩子拉住，試求繩子對水平線的傾角為多大時(shí)，A450

FB

j桿開始向右滑動。

解：因?yàn)锳處達(dá)到臨界狀態(tài)，其全約束力與法線的夾角為

摩擦角j，畫受力圖如圖。

三力平衡匯交如圖所示。PCD

450900

FRA

j?ACDCD

AC

0?BCDCD

BC

0

0

0

0

BC=AC展開得

1

1tanj

fstan

2

解析法自己考慮求解27hF

cosq

P

FNd

0理論力學(xué)28[例]圖示均質(zhì)木箱重P=5kN，它與地面間的靜摩擦因數(shù)fs=0.4。圖中h=2a=2m，q

=300。求（1）當(dāng)D處的拉力F

=1kN時(shí)，木箱是否平衡？（2）能保持木箱平衡的最大拉力。haqADPF解：取木箱為研究對象，受力分析如圖。

欲保持木箱平衡，必須

不發(fā)生滑動，即Fs≤Fmax=

fsFN

。

不繞點(diǎn)A翻倒，即d

>

0

。FsdFN(1)判斷是否平衡問題，假設(shè)木箱平衡，

列平衡方程a2

Fs

F

cosq

0FN

P

Fsinq

0

Fx

0

Fy

0

M

A

F

0d

0.171m

Fs

0.866kN解方程得

FN

4.5kN28F滑

1.876kN理論力學(xué)29s木箱與地面之間的最大摩擦力為

Fmax

fFN

1.8kNaqADPF

dFNFs

0.866kNFN

4.5kNd

0.171m因?yàn)?/p>

Fs<Fmax

，所以木箱不滑動。

h又因?yàn)閐

>

0

，所以木箱不會翻倒。

Fs(2)求平衡時(shí)最大拉力，即求滑動臨界與翻倒臨界中的最小力F。木箱發(fā)生滑動的條件為Fs=Fmax=

fsFN聯(lián)立平衡方程，求得

fsPcosq

fs

sinq

Fs

F

cosq

0FN

P

Fsinq

0

Fx

0

Fy

0平衡方程29hF

cosq

P

FNd

0F翻

1.443kN理論力學(xué)30木箱繞

A點(diǎn)翻倒的條件為

d=0，代入下列平衡方程，得haqADPFFsdFNa2

M

A

F

0

Pa2hcosq由于F翻<F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力為

F

=

F翻=1.

443kN30約束力必通過B點(diǎn)。D

d

2

D

d

2C

j理論力學(xué)31P130習(xí)題4-18

大圓能越過小圓的條件是：大圓A點(diǎn)無約束力；小圓B點(diǎn)的

全約束力與法線的夾角不大于摩擦角。根據(jù)三力平衡匯交定理：大圓重力W1和拉力F交于E點(diǎn)，則C點(diǎn)處的全約束力必通過E點(diǎn)。

W2jB

FR

對于小圓而言，小圓重力W2和B

W1

點(diǎn)全約束力FR交于B點(diǎn)，根據(jù)三

力平衡匯交定理，則C點(diǎn)處的全

A由圖示三角形得：AB

(

)

(

)

Dd

2

2jCE

jC

CBF

幾個(gè)角度關(guān)系A(chǔ)B

Dd

dAE

D

D

小球平衡時(shí)力三角形自行封閉！31理論力學(xué)32[例]

P131、4-22:已知A塊重500N，輪B重1000N，D輪無摩擦，

E點(diǎn)的靜摩擦因數(shù)

fSE=0.2，A點(diǎn)的靜摩擦因數(shù)

fSA=0.5。

求：使物體平衡時(shí)塊C的重量。

解：①

A不動（即i點(diǎn)不產(chǎn)

生移動）求P1FA'

F

fsA

F

N1

0.5

500

250N由于32理論力學(xué)33由

ME(F)

0得分析輪有

FA

FA

0.5

500

250N

FA

15

(P

10

Pcos

10)

0

P對E點(diǎn)取矩用力線平移定理和合力矩定理15FA

15

250

10

(1

)

5

教材為20.8333P(10

5

)

3000P

384.6(N)理論力學(xué)3435P)P(10

5cos

)

F2

15

3(1000

49

5

5

3000

7.8②

E

點(diǎn)不產(chǎn)生水平移動

3

5

由

Mi(F)

0可得P

F2

15

P

10

Pcos

5

034

FN2

GB

Psin

1000

P

0理論力學(xué)35③

B輪不向上運(yùn)動，即FN2≥0

Fy

0

FN2

GB

Psin

0;351000

0.6

P

1666.7(N)顯然，如果i，E兩點(diǎn)均不產(chǎn)生運(yùn)動，P必須小于208.3N，即

P

max

208.3(N)35理論力學(xué)36[例]長為2l的均質(zhì)桿AB擱在半徑r為的均質(zhì)圓柱體上，桿軸與圓柱軸互相垂直，桿軸與圓柱重心在同一豎直平面內(nèi)。A點(diǎn)為光滑鉸支，其余接觸處的摩擦因數(shù)均為

fs。求平衡時(shí)桿與水平面夾角q

的最大值。AqD

OB解：多點(diǎn)接觸問題，以圓柱為研究對象

M

O(F)

FDr

F

Cr

0

FD

FCcosq

fs

sinq

1

q

0

（不合題意）q

2arctan

fs

M

A(F)

FNC

AC

FND

AD

W

AC

0

FNC

W

FND

FNDD點(diǎn)首先達(dá)到臨界狀態(tài)。

FD=

fsFND=

FC<

fsFNCFND

OWFNCFCAC

CFD

Dq

Fy

0

FND

cosq

FD

sinq

W

FNCFNC

W

FND

:

FD

fsFND

代入上式得36理論力學(xué)37§4-4滾動摩阻的概念

當(dāng)搬運(yùn)重物時(shí)，若在重物底下墊上輥軸，則比直接將重物放在地面上

推或拉要省力得多，這說明用輥軸的滾動來代替箱底的滑動，所受到的阻力要小。車輛用輪子“行走”，機(jī)器重用滾動軸承，都是為了減少摩擦阻力。37理論力學(xué)38r

由實(shí)踐可知，使?jié)L子滾動比使它滑動省力，下圖的受力分析看出一個(gè)問題，即若此物體平衡，但不能完全滿足平衡方程。F

F

S

0

Fx

0

Fy

0

FN

P

0

M

A(F)

0F

r

0(不成立)F與FS形成主動力偶使輪滾動，但輪卻可以平衡。

出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實(shí)際接觸面并不是剛體，它們在力的作用下都會發(fā)生一些變形，如圖：PO

FFNFSA38理論力學(xué)39此力系向A點(diǎn)簡化滾動摩阻

滾動摩阻力偶Mf與主動力偶（F,FS）相平衡①滾阻力偶Mf隨主動力偶（F

,

FS）的增大而增大；②0≦Mf≦

M

max

，有個(gè)平衡范