中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難點(diǎn)07 三角形的6種模型（A字、8字、飛鏢、老鷹抓小雞、雙角平分線模型、三角形折疊）（原卷版）

重難點(diǎn)突破07三角形的6種模型（A字、8字、飛鏢、老鷹抓小雞、雙角平分線模型、三角形折疊）目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01A字模型題型028字模型題型03飛鏢模型題型04老鷹抓小雞模型題型05雙角平分線模型題型06三角形折疊模型題型01A字模型【模型介紹】圖形像“A”字，故曰“A”字模型.已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）已知△ABC，延長(zhǎng)AB至D，延長(zhǎng)AC至E∠1+∠2=∠A+180°1．（2023·陜西西安·西安高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式放置，若∠1=125°，則∠2的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．45° D．55°2．（2020·四川廣安·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個(gè)30°的角后得到一個(gè)六邊形BCDEMN，則∠l+∠2的度數(shù)為（）A．210° B．110° C．150° D．100°3．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考二模）如圖，將四邊形ABCD剪掉一個(gè)角得到五邊形．下列判斷正確的是（

）結(jié)論①：變成五邊形后外角和不發(fā)生變化；結(jié)論②：變成五邊形后內(nèi)角和增加了360°；結(jié)論③：通過圖中條件可以得到∠1+∠2=240°；

A．只有①對(duì) B．①和③對(duì) C．①、②、③都對(duì) D．①、②、③都不對(duì)4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個(gè)定值．則∠1+∠2=度．5．（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片中，∠D＝50°，若沿圖中虛線剪去∠D，則∠1

6．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點(diǎn)B,C，連接BC，求證∠DBC+∠ECB=180°+∠A．題型028字模型【模型介紹】圖形像“8”字，故曰“8”字模型.已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）已知AD，BC相交于O∠A+∠B=∠C+∠D已知線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD∠P=12(∠B+∠7．（2023下·北京海淀·七年級(jí)北京市十一學(xué)校?？计谥校┤鐖D，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD．下列結(jié)論正確的是（

）A．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠DC．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C8．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，∠CAD和∠CBD的平分線相交于點(diǎn)P，若∠C=28°，∠D=22°，則∠P的度數(shù)為（）

A．22° B．25° C．28° D．30°9．（2023·河北邢臺(tái)·邢臺(tái)三中?？家荒＃┤鐖D，AD與BC交于點(diǎn)O，甲、乙兩人要證明∠A+∠B=∠D+∠C，做法如下：甲：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角，∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C，故得證．乙：作一圓通過A，B，C，D四點(diǎn)，∵∠A與∠C對(duì)同弧BD，∠B與∠D對(duì)同弧AC．∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=∠D+∠C．對(duì)于甲、乙兩人的做法，以下結(jié)論正確的是（

）A．甲、乙兩人的做法都是正確的 B．甲的做法正確，乙的做法錯(cuò)誤C．乙的做法正確，甲的做法錯(cuò)誤 D．甲、乙兩人的做法都是錯(cuò)誤的10．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）我們將內(nèi)角互為對(duì)頂角的兩個(gè)三角形稱為“對(duì)頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD互為對(duì)頂角，則△AOB與△COD為“對(duì)頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對(duì)頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A十∠B=∠C十∠D．(1)如圖1，在“對(duì)頂三角形”△AOB與△OOD中，∠AOB=70°，則∠C十∠D=°．(2)如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度數(shù)．11．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點(diǎn)O，我們把△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形．結(jié)論：若△AOD和△BOC是對(duì)頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結(jié)論應(yīng)用舉例：如圖2：求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對(duì)頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請(qǐng)你從圖③或圖④中任選一個(gè)，寫出你的計(jì)算過程．12．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個(gè)角的和．13．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．14．（2021下·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州市第十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如圖②，AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD，若∠ABC=36°,∠ADC=16°，求∠P的度數(shù)．（3）如圖③，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=α,∠ADC=β，則∠P=________用α、β的代數(shù)式表示）15．（2019下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時(shí)，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．題型03飛鏢模型【模型介紹】圖形像“飛鏢”，故曰飛鏢模型.已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）已知四邊形ABCD∠C=∠A+∠B+∠D已知四邊形ABCD，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC∠O=12(∠A+∠16．（2013·湖北鄂州·中考真題）一副三角板有兩個(gè)直角三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數(shù)是（

）A．165° B．120° C．150° D．135°17．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)F是△ABC的內(nèi)心，連接BF，CF，若∠BFC=112°，則∠A=（

）A．44° B．45° C．50° D．55°18．（2023上·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用鐵絲折成一個(gè)四邊形ABCD（點(diǎn)C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD（填“增大”或“減小”）°．19．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）嘉嘉在作業(yè)本上畫了一個(gè)四邊形，并標(biāo)出部分?jǐn)?shù)據(jù)（如圖），淇淇說，這四個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)是標(biāo)錯(cuò)的；嘉嘉經(jīng)過認(rèn)真思考后，進(jìn)行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不變，則將圖中∠D20．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度數(shù)是（

）．A．72° B．70° C．65° D．60°21．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．22．（2019·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，ΔABC(1)若∠ABC、∠ACB的三等分線交于點(diǎn)O1、O2，請(qǐng)用∠A表示∠BO(2)若∠ABC、∠ACB的n等分線交于點(diǎn)O1、O2??????On?1（O1、O223．（2020下·七年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A=50°，直接寫出②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2、?24．（2021下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)D，則∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因?yàn)榘妓倪呅蜛BOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，則∠BOC=__________°；②如圖3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，∠ABO、∠ACO的2等分線（即角平分線）BO1、CO1交于點(diǎn)O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如圖5，BO、CO分別為∠ABO、∠ACO的10等分線(i=1,2,3,…,8,9)．它們的交點(diǎn)從上到下依次為O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，則③如圖6，∠ABO、∠BAC的角平分線BD、AD交于點(diǎn)D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，則∠ADB=__________°；④如圖7，∠BAC、∠BOC的角平分線AD、OD交于點(diǎn)D，則∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為__________．題型04老鷹抓小雞模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）∠A+∠O=∠1+∠2口訣：腋下兩角之和等于上下兩角之和∠A+∠O=∠2-∠125．（2019上·廣東珠?！ぐ四昙?jí)珠海市文園中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°26．（2022上·湖北恩施·八年級(jí)期末）如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，折疊后的圖形如圖所示，∠A=60°，∠1=96°，則∠2的度數(shù)為（

）A．30° B．24° C．25° D．26°27．（2020下·江蘇常州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A’，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1+∠2等于(

)A．40° B．60° C．80° D．140°28．（2022下·河南南陽(yáng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，將紙片折疊，使點(diǎn)C，D落在AB邊上的點(diǎn)C'，D'處，折痕為EF，則∠1+∠2=（

A．40° B．50° C．60° D．70°29．（2023下·河南鄭州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）折紙是我國(guó)一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國(guó)特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請(qǐng)根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1?∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．

(1)如圖①，若∠A＝60°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝．(2)如圖②，翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C(3)如圖③，△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，若∠1=80°，∠2=28°，則∠A的度數(shù)為30．（2022下·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）折紙是我國(guó)一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國(guó)特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請(qǐng)根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．31．（2019下·江蘇宿遷·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)C落在四邊形ABDE內(nèi)點(diǎn)C’的位置，（1）①若∠1=200,∠2=50②若∠C=420，則∠1+∠2=③探索∠C、∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）直接按照所得結(jié)論，填空：①如圖中，將△ABC紙片再沿FG、MN折疊，使點(diǎn)A、B分別落在△ABC內(nèi)點(diǎn)A’、B’的位置，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=；②如圖中，將四邊形ABCD按照上面方式折疊，則∠1+∠2+?+∠8=；③若將n邊形A1A2A（3）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)C落在△ABC邊AC上方點(diǎn)C'的位置，探索∠C、∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.題型05雙角平分線模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）已知BD、DC分別平分∠ABC、∠ACB∠D=90°+12∠已知BD、DC分別平分∠EBC、∠FCB∠D=90°-12∠已知BE、EC分別平分∠ABC、∠ACD∠E=12∠32．（2023·青?！そy(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACM的平分線，BE與CE相交于點(diǎn)E，若∠A=60°，則∠BEC的度數(shù)是．33．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）【閱讀理解】三角形內(nèi)角和定理告訴我們：如圖①，三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°．如圖②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，點(diǎn)D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．由平角的定義可得∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【初步應(yīng)用】如圖③，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠ACB=______（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠CBD+∠BCE=______（3）若∠A=m°，則∠CBD+∠BCE=______°．【拓展延伸】如圖④，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，（4）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC=______°；（5）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的三等分線交于點(diǎn)O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13（6）若∠A=m°，分別作∠CBD和∠BCE的n等分線交于點(diǎn)O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n34．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B=58°，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC=．35．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的平分線，CA2是∠A1CD36．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖所示，在△ABC中，BO,CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，證明：∠BOC=90°+1（2）如圖所示，△ABC的外角平分線BD和CD相交于點(diǎn)D，證明：∠BDC=90°?1（3）如圖所示，△ABC的內(nèi)角平分線BD和外角平分線CD相交于點(diǎn)D，證明：∠D=137．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.①當(dāng)∠A=60°時(shí)，求②猜想∠A與∠D有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.（2）如圖（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請(qǐng)你直接寫出正確的結(jié)論（不用寫出證明過程）.

題型06三角形折疊模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在線段AC上時(shí)∠2=2∠C將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠2將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)2∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2-∠38．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠A=20°，D為AB的中點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，將△ADE沿著DE翻折，得到△A'DE，連接A'B．當(dāng)A39．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，將△ABC沿PD折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的A'處，若A'P∥AC，則40．（2023上·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有