2024秋高中數(shù)學(xué)第七章隨機變量及其分布7.2離散型隨機變量及其分布列第2課時離散型隨機變量的分布列及兩點分布課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第三冊

PAGEPAGE1第7章7.2第2課時A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(多選)下列問題中的隨機變量聽從兩點分布的是()A．拋擲一枚骰子，所得點數(shù)為隨機變量XB．某射手射擊一次，擊中目標的次數(shù)為隨機變量XC．從裝有5個紅球，3個白球的袋中取1個球，令隨機變量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，取出白球，,0，取出紅球))D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)勝利的次數(shù)為隨機變量X【答案】BCD【解析】A中隨機變量X的取值有6個，不聽從兩點分布．2．(多選)已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))：X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結(jié)果正確的是()A．a(chǎn)＝0.1B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.3【答案】ABD【解析】易得a＝0.1，則P(X≥3)＝0.3，故C錯誤．3．某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為()A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51【答案】C【解析】P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.4．下列表中能成為隨機變量X的分布列的是()A．X－101P0.30.40.4B．X123P0.40.7－0.1C．X－101P0.30.40.3D．X123P0.30.40.5【答案】C【解析】選項A，D不滿意分布列的概率和為1，選項B不滿意分布列的概率為非負數(shù)．5．若離散型隨機變量X的分布列如下表所示，則a的值為()X－11P4a－13a2＋aA．eq\f(1,3) B．－2C．eq\f(1,3)或－2 D．eq\f(1,2)【答案】A【解析】由分布列的性質(zhì)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a－1＋3a2＋a＝1，,0≤4a－1≤1，,0≤3a2＋a≤1，))解得a＝eq\f(1,3).6．隨機變量Y的分布列如下：Y123456P0.2x0.350.10.10.2則x＝________，P(Y≤3)＝________.【答案】0.050.6【解析】由分布列的性質(zhì)得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.1＋0.2＝1，解得x＝0.05.故P(Y≤3)＝P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝0.2＋0.05＋0.35＝0.6.7．設(shè)ξ是一個離散型隨機變量，其分布列為ξ－101Peq\f(1,2)1－2qq2則P(ξ≤0)＝________.【答案】eq\r(2)－eq\f(1,2)【解析】由分布列的性質(zhì)，得1－2q≥0，q2≥0，eq\f(1,2)＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1－eq\f(\r(2),2)，q＝1＋eq\f(\r(2),2)(舍去)．P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝eq\f(1,2)＋1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)))＝eq\r(2)－eq\f(1,2).8．一批產(chǎn)品分為四級，其中一級產(chǎn)品是二級產(chǎn)品的兩倍，三級產(chǎn)品是二級產(chǎn)品的一半，四級產(chǎn)品與三級產(chǎn)品相等，從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗質(zhì)量，其級別為隨機變量X，則P(X＞1)＝________.【答案】eq\f(1,2)【解析】依題意，P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝4)，由分布列性質(zhì)得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，則4P(X＝2)＝1，即P(X＝2)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝P(X＝4)＝eq\f(1,8).∴P(X＞1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,2).9．從含有2名女生的10名高校畢業(yè)生中任選3人進行某項調(diào)研活動，記女生入選的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列．解：ξ的全部可能取值為0,1,2，“ξ＝0”表示入選3人全是男生，則P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，“ξ＝1”表示入選3人中恰有1名女生，則P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，“ξ＝2”表示入選3人中有2名女生，則P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).因此ξ的分布列為ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)10.若隨機變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1求當P(x<a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍．解：由隨機變量X的分布列知P(x<－1)＝0.1，P(x<0)＝0.3，P(x<1)＝0.5，P(x<2)＝0.8，則當P(x<a)＝0.8時，實數(shù)a取值范圍是(1,2]．B級——實力提升練11．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中m<n，則P(m≤X≤n)＝()A．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)【答案】C【解析】P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X≤m)＝1－a－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．12．隨機變量X的分布列為X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3).∴P(|X|＝1)＝a＋c＝2b＝eq\f(2,3).13．已知隨機變量ξ只能取三個值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))C．[－3,3] D．[0,1]【答案】B【解析】設(shè)隨機變量ξ取x1，x2，x3的概率分別為a－d，a，a＋d，則由分布列的性質(zhì)得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))解得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).14．有一個公用電話亭，視察運用過電話的人的流量時，設(shè)在某一時刻，有n個人正在運用電話或等待運用電話的概率為P(n)，且P(n)與時刻t無關(guān)，統(tǒng)計得到P(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n·P01≤n≤5，,0n≥6，))那么P(0)的值是()A．0 B．1C．eq\f(32,63) D．eq\f(1,2)【答案】C【解析】由題意得P(1)＝eq\f(1,2)P(0)，P(2)＝eq\f(1,4)P(0)，P(3)＝eq\f(1,8)P(0)，P(4)＝eq\f(1,16)P(0)，P(5)＝eq\f(1,32)P(0)，P(n≥6)＝0，所以1＝P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(n≥6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,8)＋\f(1,16)＋\f(1,32)))P(0)＝eq\f(63,32)P(0)，所以P(0)＝eq\f(32,63).15．設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝ak(k＝1,2，…，n)，則常數(shù)a＝________.【答案】eq\f(2,nn＋1)【解析】由分布列的性質(zhì)可得，a(1＋2＋…＋n)＝1，所以a＝eq\f(2,nn＋1).16．若隨機變量X的分布列如下表所示，X0123Peq\f(1,4)aeq\f(1,4)b則a2＋b2的最小值為________．【答案】eq\f(1,8)【解析】由分布列的性質(zhì)，知a＋b＝eq\f(1,2)，而a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)＝eq\f(1,8)(當且僅當a＝b＝eq\f(1,4)時等號成立)．17．同時擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，視察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)，求兩枚骰子中出現(xiàn)的最大點數(shù)X的分布列．解：同時擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)有36種等可能的狀況，X的可能取值為1,2,3,4,5,6，記(a，b)為兩枚骰子朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)，其中a為第一枚骰子擲出的點數(shù)，b為其次枚骰子擲出的點數(shù)，則可得出下表.X出現(xiàn)的點數(shù)狀況數(shù)1(1,1)12(2,2)，(2,1)，(1,2)33(3,3)，(3,2)，(3,1)，(2,3)，(1,3)54(4,4)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,4)，(2,4)，(1,4)75(5,5)，(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(4,5)，(3,5)，(2,5)，(1,5)96(6,6)，(6,5)，(6,4)，(6,3)，(6,2)，(6,1)，(5,6)，(4,6)，(3,6)，(2,6)，(1,6)11由古典概型可知X的分布列為X123456Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(5,36)eq\f(7,36)eq\f(1,4)eq\f(11,36)C級——探究創(chuàng)新練18．設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S.(1)設(shè)“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事務(wù)A，試列舉A包含的基本領(lǐng)件；(2)設(shè)ξ＝m2，求ξ的分布列．解：(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本領(lǐng)件為(－2,2)，(2，－2