2024年高考數(shù)學一輪復習素養(yǎng)訓練六數(shù)學建模含解析文

PAGEPAGE8素養(yǎng)訓練(六)數(shù)學建模1．某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是()A．[4，8]B．[6，10]C．[4%，8%]D．[6%，10%]2．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有如下問題“今有北鄉(xiāng)算八千七百五十八，西鄉(xiāng)算七千二百三十六，南鄉(xiāng)算八千三百五十六，凡三鄉(xiāng)，發(fā)傜三百七十八人，欲以算數(shù)多少衰出之，問各幾何？”意思是：北鄉(xiāng)有8758人，西鄉(xiāng)有7236人，南鄉(xiāng)有8356人，現(xiàn)要按人數(shù)多少從三鄉(xiāng)共征集378人，問從各鄉(xiāng)征集多少人？在上述問題中，需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是()A．102B．112C．130D．1363．如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一排水小孔，當小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完所用時間為T.若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t，則函數(shù)h＝f(t)的圖象大致是()4．中國古代名著《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”即“有數(shù)被三除余二，被五除余三，被七除余二，問該數(shù)為多少？”為解決此問題，現(xiàn)有同學設(shè)計如圖所示的程序框圖，則框圖中的“

”處應(yīng)填入()A．eq\f(a－2,21)∈ZB．eq\f(a－2,15)∈ZC．eq\f(a－2,7)∈ZD．eq\f(a－2,3)∈Z5．中國古代著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公細致算相還，”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從其次天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問最終一天走了()A．6里B．12里C．24里D．96里6.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min.若此人步行的速度為50m/min，則該扇形的半徑為()A．50eq\r(5)mB．50eq\r(7)mC．50eq\r(11)mD．50eq\r(19)m7．由國家公安部提出，國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局發(fā)布的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗標準》(GB/T19522～2010)于2011年7月1日正式實施．車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見表．經(jīng)過反復試驗，一般狀況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的改變規(guī)律的“散點圖”如圖，且該圖表示的函數(shù)模型為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x))＋13，0≤x<2，,90e－0.5x＋14，x≥2，))則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過多長時間才可以駕車(時間以整小時計算)？(參考數(shù)據(jù)：ln15≈2.71，ln30≈3.40)()車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值駕駛行為類型閾值(mg/100mL)飲酒后駕車≥20，<80醉酒后駕車≥80A．5hB．6hC．7hD．8h8．已知m，n，l是不同的直線，α，β是不同的平面，在下列命題中：①若m⊥n，l⊥n，則m∥l②若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥β③若m∥l，m⊥α，l?β，則α⊥β④若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，則m⊥β.其中正確命題的序號為()A．①③B．③④C．②④D．①③④9．位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準線的距離為()A．eq\f(25,12)mB．eq\f(25,6)mC．eq\f(9,5)mD．eq\f(18,5)m10．計算機內(nèi)部運算通常運用的是二進制，用1和0兩個數(shù)字與電路的通和斷兩種狀態(tài)相對應(yīng)．現(xiàn)有一個2024位的二進制數(shù)，其第一個數(shù)字為1，其次個數(shù)字為0，且在第k個0和第(k＋1)個0之間有(2k＋1)個1(k∈N*)，即101110111110……2024個，則該數(shù)的全部數(shù)字之和為()A．1973B．1974C．1975D．197611．某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲種產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙種產(chǎn)品的利潤是400元，公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的支配中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克．通過合理支配生產(chǎn)支配，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司可獲得的最大利潤是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元12．已知某服裝廠生產(chǎn)某種品牌的衣服，銷售量q(x)(單位：百件)關(guān)于每件衣服的利潤x(單位：元)的函數(shù)解析式為q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1260,x＋1)，0<x≤20，,90－3\r(5)·\r(x)，20<x≤180，))則當該服裝廠所獲效益最大時，x＝()A．20B．60C．80D．4013．洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源．在古代傳聞中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖案，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)，其各行各列及對角線點數(shù)之和皆為15.如圖，若從四個陰數(shù)中隨機抽取2數(shù)．則能使這兩數(shù)與居中陽數(shù)之和等于15的概率是________．14．“九天攬月”是中華民族的宏大幻想，我國探月工程的進展與實力舉世矚目．“嫦娥四號”探測器實現(xiàn)歷史上的首次月背著陸，月球上“嫦娥四號”的著陸點，被命名為天河基地，如圖是“嫦娥四號”運行軌道示意圖，圓形軌道距月球表面100千米，橢圓形軌道的一個焦點是月球球心，一個長軸頂點位于兩軌道相切的變軌處，另一個長軸頂點距月球表面15千米，則橢圓形軌道的焦距為________千米．15．網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在將來一段時期內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2017年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式．依據(jù)幾個月運營發(fā)覺，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿意函數(shù)關(guān)系式x＝3－eq\f(2,t＋1).已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是________萬元．16．傳聞中孫悟空的“如意金箍棒”是由“定海神針”變形得來的，這定海神針在變形時恒久保持為圓柱體，其底面半徑原為12cm且以每秒1cm等速率縮短，而長度以每秒20cm等速率增長．已知神針的底面半徑只能從12cm縮到4cm，且知在這段變形過程中，當?shù)酌姘霃綖?0cm時其體積最大．假設(shè)孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒，則此時金箍棒的底面半徑為________cm.素養(yǎng)訓練（六）數(shù)學建模1．答案：A解析：依據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].2．答案：B解析：由題意得，三鄉(xiāng)總?cè)藬?shù)為8758＋7236＋8356＝24350.∵共征集378人，∴需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是eq\f(7236,24350)×378≈112，故選B.3．答案：B解析：函數(shù)h＝f（t）是關(guān)于t的減函數(shù)，故解除C，D，一起先，h隨著時間的改變，改變緩慢，水排出超過一半時，h隨著時間的改變，改變加快，故對應(yīng)的圖象為B，故選B.4．答案：A解析：依據(jù)題意可知，此程序框圖的功能是找一個滿意下列條件的數(shù)a：a＝3k＋2，a＝5n＋3，a＝7m＋2，k，n，m∈Z.依據(jù)程序框圖可知，數(shù)a已經(jīng)滿意a＝5n＋3，n∈Z，所以還要滿意a＝3k＋2，k∈Z和a＝7m＋2，m∈Z，并且還要用一個條件給出，即a－2既能被3整除又能被7整除，所以a－2能被21整除，故在“

”處應(yīng)填入eq\f(a－2,21)∈Z，故選A.5．答案：A解析：由題意可得，每天行走的路程構(gòu)成等比數(shù)列，記作數(shù)列{an}，設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則q＝eq\f(1,2)，依題意有eq\f(a1（1－q6）,1－q)＝378，解得a1＝192，則a6＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)＝6，最終一天走了6里，故選A.6．答案：B解析：設(shè)該扇形的半徑為rm，連接CO.由題意，得CD＝150（m），OD＝100（m），∠CDO＝60°，△CDO中，依據(jù)余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos60°＝OC2，即1502＋1002－2×150×100×eq\f(1,2)＝r2，解得r＝50eq\r(7)m．7．答案：B解析：由題意可知當酒精含量閾值低于20時才可以開車，結(jié)合分段函數(shù)建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整數(shù)故為6個小時，故選B.8．答案：B解析：如正方體同一個頂點的三條棱，滿意①的條件，但三條棱相交，故①錯；如圖，α∥β，故②錯；因為m∥l，m⊥α，則l⊥α，l?β，所以α⊥β，故③正確；由面面垂直的性質(zhì)知，④正確．故正確的命題為③④.故選B.9．答案：D解析：建立如圖所示的平面直角坐標系．設(shè)拋物線的解析式為x2＝－2py，p>0，∵拋物線過點（6，－5），∴36＝10p，可得p＝eq\f(18,5)，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準線的距離為eq\f(18,5)m．故選D.10．答案：C解析：將數(shù)字從左往右只有以0為分界進行分組，第一組為10，數(shù)字之和為1；其次組為1110，數(shù)字之和為3；第三組為111110，數(shù)字之和為5；以此類推，故第n組的數(shù)字之和是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，即第n組數(shù)字之和為2n－1.由題知共2024個數(shù)字，則前44組共有44×2＋eq\f(44×43,2)×2＝1980個數(shù)字，則前1980個數(shù)字之和為44×1＋eq\f(44×43,2)×2＝1936，剩余數(shù)字個數(shù)為2024－1980＝39，則全部數(shù)字之和為1936＋39＝1975，故選C.11．答案：C解析：設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，相應(yīng)的利潤為z元，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，z＝300x＋400y.,x，y∈N，))作出可行域，如圖中陰影部分所示．由圖可知，當z＝300x＋400y經(jīng)過點A時，z取得最大值．解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝12，,2x＋y＝12))得A點坐標為（4，4），所以zmax＝300×4＋400×4＝2800.故每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品4桶、乙種產(chǎn)品4桶時，公司可獲得最大利潤，為2800元．12．答案：C解析：設(shè)該服裝廠所獲效益為f（x）元，則f（x）＝100xq（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(126000x,x＋1)，0<x≤20，,100x（90－3\r(5)·\r(x)），20<x≤180.))當0<x≤20時，f（x）＝eq\f(126000x,x＋1)＝126000－eq\f(126000,x＋1)，f（x）在區(qū)間（0，20]上單調(diào)遞增，所以當x＝20時，f（x）有最大值120000.當20<x≤180時，f（x）＝9000x－300eq\r(5)·xeq\r(x)，則f′（x）＝9000－450eq\r(5)·eq\r(x)，令f′（x）＝0，∴x＝80.當20<x<80時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增，當80≤x≤180時，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，所以當x＝80時，f（x）有極大值，也是最大值240000.故選C.13．答案：eq\f(1,3)解析：從四個陰數(shù)中隨機抽取2個數(shù)，共有6種取法，其中滿意題意的取法有兩種：4，6和2，8，∴能使這兩數(shù)與居中陽數(shù)之和等于15的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).14．答案：85解析：設(shè)橢圓的長半軸長為a千米，半焦距為c千米，月球半徑為r千米．由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝100＋r，,a－c＝15＋r，))解得2c＝85.即橢圓形軌道的焦距為85千米．15．答案：37.5解析：由題意知t＝eq\f(2,3－x)－1（1<x<3），設(shè)該公司的月利潤為y萬元，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(48＋\f(t,2x)))x－32x－3－t＝16x－eq\f(t,2)－3＝16x－eq\f(1,3－x)＋eq\f(1,2)－3＝45.5－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(16（3－x）＋\f(1,3－x)))≤45.5－2eq\r(16)＝37.5，當且僅當x＝eq\f(11,4)時取等號，即最大月利潤為37.5萬元．16．答案：4解析：設(shè)神針原來的長度為acm，t秒時神針的體積為V（t）cm3，則V（t）＝