人教版高中數(shù)學(xué)全冊(cè)教案-08-圓錐曲線方程-08

雙曲線的幾何性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出這些性

質(zhì)，并能具體估計(jì)雙曲線的形狀特征.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方

程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題.

二、教材分析

1.重點(diǎn)：雙曲線的兒何性質(zhì)及初步運(yùn)用.

（解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓的幾何性質(zhì)得出，至于漸近線引導(dǎo)學(xué)生證明.）

2.難點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證.

（解決辦法：先引導(dǎo)學(xué)生觀察以原點(diǎn)為中心，2a、2b長(zhǎng)為鄰邊的矩形的兩條

對(duì)角線，再論證這兩條對(duì)角線即為雙曲線的漸近線.）

3.疑點(diǎn)：雙曲線的漸近線的證明.

（解決辦法：通過詳細(xì)講解.）

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問、類比、重點(diǎn)講解、演板、講解并歸納、小結(jié).

四、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問引入新課

1.橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？

請(qǐng)一同學(xué)回答.應(yīng)為：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率，是從標(biāo)準(zhǔn)方程探討的.

2.雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

再請(qǐng)一同學(xué)回答.應(yīng)為：中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)

灌為$

=11中心【點(diǎn)，育誠(chéng)布箱上的雙曲線的標(biāo)溫方程為

下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來(lái)研究它的幾何性質(zhì).

（二）類比聯(lián)想得出性質(zhì)（性質(zhì)1?3）

引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格（讓學(xué)生回答，教師引導(dǎo)、啟發(fā)、

訂正并板書）.〈見下頁(yè)》

（三）問題之中導(dǎo)出漸近線（性質(zhì)4）

在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對(duì)于估計(jì)

琳卻*慚=1阻蝌羽ua畤-昌=1,

仍以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形（板書圖形），那么雙曲線和這個(gè)矩

形有什么關(guān)系？這個(gè)矩形對(duì)于估計(jì)和畫出雙曲線簡(jiǎn)圖（圖2-26）有什么指導(dǎo)意

義？這些問題不要求學(xué)生回答，只引起學(xué)生類比聯(lián)想.

接著再提出問題：當(dāng)a、b為已知時(shí)，這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線的方程是什么？

奢相學(xué)回蓍，度涉=1a邢咄兩的角緣進(jìn)一則恃學(xué)

生從IE存出結(jié)論:雙曲號(hào)尋臉支向性眄，衰麗m

下面，我們來(lái)證明它:

■a

3+g-Ui>b>0?3/

----^>0,b>0)

.、b.C%KZ4>*>b>0)cS^H>V>0>b>0)

不

n?fialpTjr

Ju\rz

f7

皿M<(>N>?>yGR

期■:i*FMttt：r?F

4Mtt*?

MM>O：K￡WM>：flUL

(-?fQi(t?Q(-?>Qf(tiQ

9,孫8,3

雙曲線在第像限的部分可寫成:

y=--aa(￡>a)

A

圖2-26

設(shè)徵處力是它上面的點(diǎn).題*,7)是宜野=2工上與1雨相同

a

的腱標(biāo)的點(diǎn)??=-?.

a

|MN|=y-y■一a')"-

aa

(X-。T)(X+Jj-ab

K+W-a'

ab

i+Vxa-aa

設(shè)|MQ是點(diǎn)MS］直線7=2曲距離，M|MQ<|MN|.

&

當(dāng)X逐漸增大時(shí)，|MN|逐漸減小，X無(wú)限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近

于零，就是說(shuō)，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON.

在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況.

我們把四條直線3=4'鵬雙曲線廝頤省.

a

現(xiàn)在來(lái)看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)在y軸上

的雙曲線方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字

母對(duì)調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字

則謂硼所必承曲線$-g=l慚麻維方程是…:刑=

定義,一=±2鵬颯娼旦=所像1*=上\

aa.ba

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精

碉修出雙曲線.例如，西雙曲線專馬=1,先制施％=土卜

40LO3

再描幾個(gè)點(diǎn)，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線.

（四）順其自然介紹離心率（性質(zhì)5）

由于正確認(rèn)識(shí)了漸近線的概念，對(duì)于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹

一下雙曲線的離心率以及它對(duì)雙曲線的形狀的影響：

1.雙01線的疑與實(shí)軸的比e=E叫做雙前線的￥B率，且￡>1.

a

2.由于2=代子?后二?斤7,痢㈤大，色也越大，BP

撕近焉=12岫制窣維對(duì)值越大.這時(shí)承曲線的腳事山輟酬

&

變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊.

這時(shí)，教師指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的兒何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的

幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變.

（五）練習(xí)與例題

1.求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸

近線方程.

請(qǐng)一學(xué)生演板，其他同學(xué)練習(xí)，教師巡視，練習(xí)畢予以訂正.

解,紀(jì)峰tt為何防fig號(hào)=1.

由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a=4,虛半軸長(zhǎng)b=3.

c=+b'=J#+向=5.

焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-5）,（0,5）.

雷6^為e=.

a4

新硅訪程為x=士，Wy=4

q5

2.點(diǎn)M（x,y）到定點(diǎn)F（c,的距離和它物定直線Lx==的

C

距離的比是常數(shù)（S（c＞a＞。），求點(diǎn)軌施（S2-27）.

a

本題實(shí)質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點(diǎn)講解并加以歸納小結(jié).

解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線1的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合：

由此將------―

I1-1

化簡(jiǎn)得：（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）.

設(shè)1=已就可化為今皆=1.

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

由此例不難歸納出雙曲線的第二定義.

（六）雙曲線的第二定義

1.定義（由學(xué)生歸納給出）

平面內(nèi)點(diǎn)M與一定點(diǎn)的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=

&e＞。時(shí)，這個(gè)點(diǎn)M的翱跣雙曲線.定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn),定直線

a

叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.

2.說(shuō)明

(I*礴/。I,棚用時(shí)F(c,=

abc

淵庭岫維領(lǐng)性,相吁儂F，(，6的喊灌—

c

于K峭4-旨=1,相應(yīng)于索點(diǎn)F8,。)的淮綠方程是y二金，

at>c

c

(七)小結(jié)(由學(xué)生課后完成)

將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式列表小結(jié).

五、布置作業(yè)

1.已知雙曲線方程如下，求它們的兩個(gè)焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程.

(I)16x2-9y2=144；

(2)16x2-9y2=-144.

2.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴實(shí)軸的長(zhǎng)是10,虛軸長(zhǎng)是8,焦點(diǎn)在x軸上；

⑵焦距是10,虛軸長(zhǎng)是8,焦點(diǎn)在y軸上；

經(jīng)過點(diǎn)螞-5,3)j

!S±aM(1.-1).

J4

3.帆*+<=峋球?yàn)榉d砌fiflftWi巡曬R

o3

曲線的方程.

4.已知雙曲線1-《=1上的P點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離等于3,料

4J

點(diǎn)到兩準(zhǔn)線及布焦點(diǎn)的距離.

作業(yè)答案：