必修5-20屆人教版高中數(shù)學(xué)專題1

1.2應(yīng)用舉例

k知識

i.解三角形應(yīng)用題的基本思想

解三角形應(yīng)用題時，通常都要根據(jù)題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解三角形，

得到實際問題的解，求解的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為問題.

2.運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟

(1)分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖(一個或幾個三角形)；

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個解三

角形的數(shù)學(xué)模型；

(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；

(4)檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解.

3.三角形面積公式

(1)三角形的高的公式：hA=bsinC=cs\nBf〃產(chǎn)csinA=〃sinC,〃c=〃sin5二加irtA.

(2)三角形的面積公式：5=-6zZ?sinC,5=___________,S=___________.

2

K知識參考答案：

1.解三角形3.—hcsinA—casinB

22

重占

從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解三角形，得到實際問題

K-重點

的解；利用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的問題

測量距離、高度、角度問題中數(shù)學(xué)模型的建立，利用正弦定理、余弦定理求

K一難點

證簡單的證明題

K一易錯解題時應(yīng)由題意準(zhǔn)確畫出示意圖，容易忽略圖形的多種畫法從而導(dǎo)致錯誤

-留鼠盤&測量距離問題

當(dāng)?shù)拈L度不可直接測量時，求A,8之間的距離有以下三種類型.

(1)如圖1,A,8之間不可達(dá)也不可視

計算方法：測量AC,3C及角C,由余弦定理可得AB=JAC?+_2ACBCcosC?

(2)如圖2,B,C與點A可視但不可達(dá)

計算方法：測量8C,角B，角C,則4=?！?-C,由正弦定理可得AB="型C.

(3)如圖3,C,。與點A,B均可視不可達(dá)，

計算方法：測量C2NB￡>C,NAC2N3CD,NA。。，在以。。中由正弦定理求AC,

在ABCD中由正弦定理求BC,在△ABC?中由余弦定理求AB.

如下圖，為,了測量河對岸A，8兩點間的距離，在河的這邊測得CD=Ylkm,NADB=N88=30。,

ZACD=60°,/ACB=45。，則A,B兩點間的距離為

【答案】亞

4

【解析】因為乙4。。=乙徹-/?！?gt;5=60',Z.4CZ)=60o,所以ND.4O60。，AC=DC=B,

2

BCDC巫

因為在△3CO中，ZD5C=45C>所以=二飛,所以BC=3.

sin300sm45°4

在△J5c中，由余弦定理得.43：=.=*-5?-"CBCcoJ5：=三+之一2x立x包x立=-

428

所以.43=述，所以/,5兩點間的距離為述km.

44

【名師點睛】在解含有兩個或兩個以上的三角形的問題時，首先應(yīng)根據(jù)條件應(yīng)用正、余弦定理或三角形內(nèi)

角和定理在一個三角形中求解邊和角，然后在此基礎(chǔ)上求解另一個三角形，依此類推.首選哪一個三角形

至關(guān)重要，原則是首選的三角形應(yīng)與其他三角形有一定聯(lián)系，旦方便求解

二鼠鼠彘&測量高度問題

當(dāng)A8的高度不可直接測量時，求A，8之間的距離有以下三種類型.

（1）如圖1.底部可達(dá)

計算方法：測量及角C,則AB=8CtanC.

（2）如圖2,底部不可達(dá)，但點8與C,。共線

計算方法：測量CD,角C,/ADB，由正弦定理求AC或AO,再解直角三角形求AB.

（3）如圖3,底部不可達(dá)，且點8與C,。不共線

計算方法：測量C2N5CZ）,N8OC,NACB,在△BCD中由正弦定理求BC,再解直角三角形求

AB.

,如下圖，在地,平面上有一旗桿0P,為了測量它的高度兒在地面上選一基線A8,測得A8=20m,

在A點處測得P點的仰角NQ4P=30。，在B點處測得P點的仰角NOBP=45。，又測得NAOB=60。，則旗桿

的高度人。m.（結(jié)果保留整數(shù)）

【解析】因為在RtA4OP中，ZOAP=30°,OP=h,所以。4==舟.

tan30°

OP

在RtZSBOP中，ZOBP=45°,所以。B=---------=h.

tan45°

在△AO8中，AB=20,ZAOB=60°,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2XO4XOB-COS60。,

2LL1400

BP20=（V3^）W-2xA/3/jx/zx-,解得〃2=彳q276.4,所以/?=13.故旗桿的高度約為13m.

【名師點睛】高度的測量主要是一些底部不能到達(dá)或者無法直接測量的物體的高度問題.常用正弦定理或

余弦定理計算出物體的頂部或底部到一個可到達(dá)的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.這類

物體高度的測量是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間構(gòu)造,三棱錐，再依據(jù)條件利用正、余

弦定理解其中的一個或者幾個三角形，從而求出所需測量物體的高度.

O留鼠鹿臼測量角度問題

測量角度問題主要涉及海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、

山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.

J如圖，某船在A處看燈塔S在北偏東30。方向，它以每小時30海里的速度向正北方向航行，經(jīng)過

40分鐘航行到B處，看燈塔S在北偏東75。方向，則此時該船到燈塔5的距離約為海里.（精

確到0.01海里）

【答案】14.14

【解析】由題圖可知，在△且SS中，Z.45S=180°-75e=105°,ZB.4S=30°,

40BSAB

所以4ss=45。，/3=30、￡；=20（海里），由正弦定理，得—

60sin30sm45

故55=也嗒=100a14.14,故該船到燈塔S的距離約為14.14海里.

【名師點睛】解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角

形中已知哪些量，■需要求哪些量.解題時應(yīng)認(rèn)真審題，結(jié)合圖形去選擇正、余弦定理，這是最重要的一步.

四'里篁邕&三角形的面積計算問題

在求三角形的面積時，若存在三角形邊長平方和的情況，一般聯(lián)想到用余弦定理解決；若存在邊長乘積時,

一般聯(lián)想到用公式5=—abs\nC=—^csinA=—casinB解決.

222

，在△ABC中，角A,B,C對應(yīng)的三邊分別是a,h,c,已知。=2有，Z>=2,AA3C的面積S=6,

則，=

A.2B.77C.2幣D.2或2不

【答案】D

【解析】由S=；而sinC=、2smC=+得sinC=1,所以C=30°或150°.

①當(dāng)030。時，由余弦定理得八^一尼一2abeosC=(2有)2+2-2x］也x2cos300=4,所以c=2.

②當(dāng)C=15(T時，由余弦定理得d-a2-抗一2而cosC=C有x2cosl5(T=28,所以c=25.

綜上，c=2或2s.故選D.

【名師點睛】在解三角形面積的問題中，要注意三角形面枳公式與余弦定理的結(jié)合.

五留思點&三角形中邊角關(guān)系恒等式的證明

，在△ABC中，求證:a2+b~_sin2A+sin2B

c2sin2C

【解析】根據(jù)正弦定理，可設(shè)3=/一=1J=Z，顯然k和,

sinAsinBsine

2+b2k2sm2A+k2sm2Bsin2A+sin2B

所以，左邊=@=右邊,

-)2

c氏2sin2csinC

a1+h2sin2A+sin2B

所以

C2sin2C

【名師點睛】有關(guān)三角形的證明問題，主要涉及三角形的邊和角的三角函數(shù)關(guān)系.從某種意義上看，這類

問題就是有目標(biāo)地對含邊和角的式子進(jìn)行化簡的問題，所以解題思路與判斷三角形的形狀類似：將邊化為

角或者將角化為邊

■好題

基砒

1.已知4,8兩地的距離為5km,B,C兩地的距離為10km,經(jīng)測量可知，ZABC=120°,則A,C兩地

的距離為

A.5kmB.5石kmC.7A/5kmD.5V7km

2.如圖，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定的一點C，測出AC的

距離為50五m,NACB=45。，NC45=105°后，就可以計算出A，8兩點的距離為

A.100mB.500mC.10072mD.200m

3.如圖，一艘輪船以每小時60海里的速度自A沿南偏東35°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C

處有一座燈塔，輪船在A處觀察燈塔，其方向是南偏東65°,在B處觀察燈塔，其方向是北偏東70°,

那么B,C間的距離是

A.15夜海里B.156海里C.306海里D.30及海里

4.若銳角三角?形ABC的面積為66,且AB=4，AC=6,則3C=

A.4B.2亞C.2"D.2X/7

5.一架直升飛機(jī)在600m的高空中，測得地面上一座塔的塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°,則塔高為

A.400mB.40()73mC.20()百mD.200m

6.在△ABC中，若A=60°,Z?=4,%15c=4百，則。=.

7.江岸邊有一炮臺高3()m,江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得兩船的俯角

分別為45。和60。，而且兩條船與炮臺底部連線成30。角，則兩條船相距m.

8.如圖所示，在山頂上有一座塔，在山底測得塔頂?shù)难鼋荖CA8=45。，沿傾斜角為30。的斜坡走1000米

至S點，又測得塔頂?shù)难鼋?￡>SB=75。，求塔高BZ).

B

9.銳角三角形ABC中，角A，B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cos2C=—'.

4

(1)求sinC的值;

(2)當(dāng)〃=2,2sinA=sinC時;求b的長及△ABC的面積.

犍力

10.已知"BC的周長為20,面積為106，A=60。，則8c的長等于

A.5B.6C.7D.8

11.如圖所示，在一條水平直線上選取三點A,B,C進(jìn)行測量，測得A8=25m,BC=60m,水深4￡>=40m,

BE=100m,CF=55m,則NZ)E廠的余弦值為

12.為了測量一建筑物的高度，某人在地面上選取共線的三點A,B,C,分別測得此建筑物的仰角為30。,

45°,60°,且A8=BC=30m,如圖所示，則建筑物的高度為

c

A.5#mB.105/6mC.15cmD.20#m

13.兩船同時從A港出發(fā)，甲船以每小時20海里的速度向北偏東80°的方向航行，乙船以每小時12海里

的速度向北偏西40°方向航行，一小時后兩船相距海里.

14.如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點A到墻面的距離為AB，

某目標(biāo)點P沿墻面上的射線CN移動，此人為了瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P，需計算由點A觀察點P的仰角6的大

小.若A8=12m,AC=20m,ZBCM=45°，則tan0的最大值為.(仰角。為AP

與平面ABC所成角)

15.某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口的。北

偏西30。且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)

該小艇沿直線方向以u海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過“、時與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；

(3)是否存在也使得小艇以u海里〃卜時的航行速度。行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？

若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請說明理由.

真M

16.（2017浙江）已知△”（?，AB=AC=4,BC=2.點。為A3延長線上一點，BD=2,-連結(jié)CD則

的面積是，cosZBDC=.

17.（2017山東文）在/XABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知43,ABAC=-6>^5C=3,

求A和a.

18.（2017新課標(biāo)全國I理）"5。的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知八45。的面積為一一

3sinA

(1)求sinBsinC；

(2)若6cos3cosc=1,a=3,求△ABC的周長.

B

19.(2017新課標(biāo)全國II理)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8si9M-.

2

(1)求cos8;

(2)若。+c=6,ZvlBC的面積為2,求b.

1.D【解析】在八48。中，AB=5km,BC=10km,NA5C=120。，根據(jù)余弦定理得,

AC2=52+102-2x5xl0xcos120°nAC=5不km.故選D.

2.A【解析】在中，乙4cB=45。，NC.W5=105。，所以N43C=30。，又,4C=500tn,所

以由正弦定理，可得，傷=———xsmZ.4Cg=^^-xsin45°=10072x=100(m).故選

sinAABCsin30°2

3.A【解析】易知在ZXABC中，AB=30海里，ZC4B=30°,ZABC=35°+70°=105°,/.ZACB=45°,

BCAB

根據(jù)正弦定理得貳而=訴，解得BC=15c（海里）?故選A.

66,sinA=走,由于△ABC為銳

4.D【解析】三角形面積S=LAB-AC-sinA=』x4x6sinA

222

角三角形，所以cosA=；，由余弦定理可求得BC=JAB?+4c2一2AB.ACcosA=2J7，故選D.

CD

5.A【解析】如下圖所示，在Rt△AC。中，可得tan30。=——

AC

CP=AC-tan30°=600x=20073在AWE中，由正弦定理，可得

3

ABBE

=AB=200,所以。E=50=600—200=400(m).故選A.

sin300sin60°

，解得，又。,

6.4【解析】S^BC=—/?csinA=—x4xcxsin60°46c=4.;2=c=4A=60

22

所以△ABC為等邊三角形，所以。=4.

7.1073【解析】如下圖，O,A分別為炮臺底部和頂部，M,N為兩艘船，假設(shè)由炮臺頂部測得M船的

俯角為60°,測得N船的俯角為45。，可求得ON=Q4=30m,0M=—OA=lQy/3>n,又

3

ZMON=30°,所以可根據(jù)余弦定理求得MN=106(m).故兩條船相距106m.

8.500米

【解析】?/ZS18=ZC18-ZC4S=450-30o=15°,NS3/=Z^BC-NS5C=450-15°=30°,

BSASAS-sin150.五k、

??.在△月5s中，一=「而，：.BS=?=50°AA（/#-4（米）,

sin15sin30sin30

：.BD=BSsm75°=500（痣-0）x?=500（米）.故塔高BD為500米.

9.（1）sinC=—;（2）b=2庭,5=715.

4

【解析】（1）因為cos2c=1—2sin2c=-Lo<C<3,所以sinC=亞.

424

（2）當(dāng)a=2,2sinA=sinC時，由‘一解得c=4.

sinAsinC

由cos2c=2cos2（?—1=-4及0<C<無，可得cosC=仄，

424

由c2=a2+62-2"cosC，可得廿一廂,一口=0,解得b=2"（負(fù)值舍去），

所以SAABC=^^sinC=\Z15.

10.C【解析】設(shè)角A，B,，。所對的邊分別為。，匕，c,由題意得a+/?+c=20?,-Z7csin60°=1073

2

②，由①②得。+c=20-a,〃c=40,所以/=〃+c、2一〃c=3+c）2-3bc=（20-〃）2一3x40,

解得a=7.故選C.

H.A【解析】如下圖所示，作DM〃AC交BE千N，交CE于則

DF=y/MF2+DM2=7152+852=5^98(m)-

DE=y/DN2+EN2=A/252+602=65(m)-

EF=?BE-FC):+BC?="52+602=75(m),

在△￡)石尸中，由余弦定理的推論可得，

cos/阻JE"尸一次=652+75-52x2985

2DExEF2x65x7565

故選A.

12.C【解析】設(shè)建筑物的高度為2由題圖知，尸―，PB=6m,PC=W〃m,

302+2/I2-4^2

所以在△PBA和中△EBC中，分別由余弦定理的推論，得cosZPBA=

2x30x@①,

302,21,2_g"

cosZPBC=_________一§②，因為NP3/+NP8C=180。，所以COSZPBK+COSNPBC

__2x30x@

=0③.由①②③，解得力=15《或”=一15褥（舍去），即建筑物的高度為15&m.故選C.

13.28【解析】如圖，在ZXABC中，AB^20,AC=12,NC45=40°+80°=120。，由余弦定理得

BC2=202+122-2x20x12-cos120°=784,二BC=28(海里).故一小時后兩船相距28海里.

c

北I

'B

40c!

西i-4東

14.-【解析】如圖，過P作于點。，連接AO,則NP4O=e，設(shè)OC=x，則OP=x,

3

4

在直角A45C中，由勾股定理，可得BC=16,所以cosNBCA=《.

在“。。中,，由余弦定理，可得AO=^400+--2x20xx￡=J%?-32x+400,

tan人”X_1

從而AO32尤+400J(20_4,+2>

2045

易知當(dāng)一二一,即x=25時，tan。取得最大值，最大值為一.

x53

15.(1)30海里/小時；(2)lOg海里/小時；(3)存在，u的取值范圍為(15百,30).

【解析】(D設(shè)相遇時小艇的航行距離為S海里，

則由余弦定理，可得S=^900r:+400-2x30rx20cos(90°-30°)

=，900產(chǎn)-6001+400

2

=^900(r-1)+300s

故當(dāng)”:時，%n=10W，此時v=30道，

即小艇以30檔海里小時的速度航行，相遇時小能的航行距禽最小.

(2)如圖，設(shè)小艇與輪船在一處相遇，

由題意可知(⑺2=2()2+(30t)2-2?20-30Jcos(900-30。),

化簡得聲=理—竺2+900=400(---)2+675,

ttt4

由于所以！22,

2t

所以當(dāng)1=2時，v取得最小值10萬，即小艇航行速度的最小值為10/海里/小時.

t

(3)存在.由(2)知丫2=型一%+900,

tt

設(shè)1=〃(〃>0),于是400M2-6(X)M+900-V2=().

t

小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于方程有兩個不等正根，

22

600-1600(900-v)>0「r-

即j002>0，解得156<”30,所?以v的取值范圍是(156,30).

16.半呼【解析】取5c中點E,由題意可知在人4班中，cosZ^BC=^1=l,所以

24期4

cosZDBC=-l,sinZDBC=,所以S.==：xBDx5CxsinZD5C=半.因為

NABC=2ZBDC,所以8SZABC=8s2Z3Z）C=28s：ZBDC-l=[,解得8sZBDC=典或

44

esNBDC=T（舍去）.綜上可得，△38的面積為羋，8sZBDC=吧.

424

43兀I—

17.A=――,a=>/29.

4

3ccosA=-6

【思路分析】先由數(shù)量積公式及三角形面積公式得1一..一，由此求A,再利用余弦定理求公

一x3csinA=3

12

【解析】因為礪.*=一6，所以匕ccosA=-6,

又S4ABe=3,所以hcsinA=6,因此tanA=—l,

37r

又0<A<7i,所以A=q-,又b=3,所以C=2Q.

萬

由余弦定理〃=〃+C2-27?CCOSA，可得/=