高中數(shù)學講義100微專題080排列組合中的常見模型

1-微專題80排列組合的常見模型一、基礎(chǔ)學問：（一）處理排列組合問題的常用思路：1、特別優(yōu)先：對于題目中有特別要求的元素，在考慮步驟時優(yōu)先支配，然后再去處理無要求的元素。例如：用組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，共有多少種排法？解：五位數(shù)意味著首位不能是0，所以先處理首位，共有4種選擇，而其余數(shù)位沒有要求，只需將剩下的元素全排列即可，所以排法總數(shù)為種2、找尋對立事務(wù)：假如一件事從正面入手，考慮的狀況較多，則可以考慮該事的對立面，再用全部可能的總數(shù)減去對立面的個數(shù)即可。例如：在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品。從這10件產(chǎn)品中隨意抽出3件，至少有一件次品的狀況有多少種解：假如從正面考慮，則“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的狀況，須要進行分類探討，但假如從對立面想，則只需用全部抽取狀況減去全是正品的狀況即可，列式較為簡潔。（種）3、先取再排（先分組再排列）：排列數(shù)是指從個元素中取出個元素，再將這個元素進行排列。但有時會出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素，所以此時就要將過程拆分成兩個階段，可先將所需元素取出，然后再進行排列。例如：從4名男生和3名女生中選3人，分別從事3項不同的工作，若這3人中只有一名女生，則選派方案有多少種。解：本題由于須要先確定人數(shù)的選取，再能進行安排（排列），所以將方案分為兩步，第一步：確定選哪些學生，共有種可能，然后將選出的三個人進行排列：。所以共有種方案（二）排列組合的常見模型1、捆綁法（整體法）：當題目中有“相鄰元素”時，則可將相鄰元素視為一個整體，與其他元素進行排列，然后再考慮相鄰元素之間的依次即可。例如：5個人排隊，其中甲乙相鄰，共有多少種不同的排法解：考慮第一步將甲乙視為一個整體，與其余3個元素排列，則共有種位置，其次步考慮甲乙自身依次，有種位置，所以排法的總數(shù)為種2、插空法：當題目中有“不相鄰元素”時，則可考慮用剩余元素“搭臺”，不相鄰元素進行“插空”，然后再進行各自的排序注：（1）要留意在插空的過程中是否可以插在兩邊（2）要從題目中推斷是否須要各自排序例如：有6名同學排隊，其中甲乙不相鄰，則共有多少種不同的排法解：考慮剩下四名同學“搭臺”，甲乙不相鄰，則須要從5個空中選擇2個插入進去，即有種選擇，然后四名同學排序，甲乙排序。所以種3、錯位排列：排列好的個元素，經(jīng)過一次再排序后，每個元素都不在原先的位置上，則稱為這個元素的一個錯位排列。例如對于，則是其中一個錯位排列。3個元素的錯位排列有2種，4個元素的錯位排列有9種，5個元素的錯位排列有44種。以上三種狀況可作為結(jié)論記住例如：支配6個班的班主任監(jiān)考這六個班，則其中恰好有兩個班主任監(jiān)考自己班的支配總數(shù)有多少種？解：第一步先確定那兩個班班主任監(jiān)考自己班，共有種選法，然后剩下4個班主任均不監(jiān)考自己班，則為4個元素的錯位排列，共9種。所以支配總數(shù)為4、依次插空：假如在個元素的排列中有個元素保持相對位置不變，則可以考慮先將這個元素排好位置，再將個元素一個個插入到隊伍當中（留意每插入一個元素，下一個元素可選擇的空）例如：已知6個人排隊，其中相對位置不變，則不同的排法有多少種解：考慮先將排好，則有4個空可以選擇，進入隊伍后，有5個空可以選擇，以此類推，有6種選擇，所以方法的總數(shù)為種5、不同元素分組：將個不同元素放入個不同的盒中6、相同元素分組：將個相同元素放入個不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“擋板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數(shù)，則可將這個元素排成一列，共有個空，運用個“擋板”進入空檔處，則可將這個元素劃分為個區(qū)域，剛好對應(yīng)那個盒子。例如：將6個相同的小球放入到4個不同的盒子里，那么6個小球5個空檔，選擇3個位置放“擋板”，共有種可能7、涂色問題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可依據(jù)選擇顏色的總數(shù)進行分類探討，每削減一種顏色的運用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要留意兩兩不相鄰的狀況），先列舉出全部不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進行涂色即可。例如：最多運用四種顏色涂圖中四個區(qū)域，不同的涂色方案有多少種？解：可依據(jù)運用顏色的種數(shù)進行分類探討（1）運用4種顏色，則每個區(qū)域涂一種顏色即可：（2）運用3種顏色，則有一對不相鄰的區(qū)域涂同一種顏色，首先要選擇不相鄰的區(qū)域：用列舉法可得：不相鄰所以涂色方案有：（3）運用2種顏色，則無法找到符合條件的狀況，所以探討終止總計種二、典型例題：例1：某電視臺邀請了6位同學的父母共12人，請12位家長中的4位介紹對子女的教化狀況，假如這4位中恰有一對是夫妻，則不同選擇的方法種數(shù)有多少思路：本題解決的方案可以是：先選擇出一對夫妻，然后在選擇出兩個不是夫妻的即可。第一步：先挑出一對夫妻：其次步：在剩下的10個人中選出兩個不是夫妻的，運用間接法：所以選擇的方法總數(shù)為（種）答案：種例2：某老師一天上3個班級的課，每班上1節(jié)，假如一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié)，并且老師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位老師一天的課表的全部不同排法有（）A.種B.種C.種D.種思路：本題假如用干脆法考慮，則在支配的過程中還要考慮兩節(jié)連堂，并且會受到第5,6節(jié)課連堂的影響，分類探討的情形較多，不易求解。假如運用間接法則更為簡潔。首先在無任何特別要求下，支配的總數(shù)為。不符合要求的狀況為上午連上3節(jié)：和下午連上三節(jié)：，所以不同排法的總數(shù)為：（種）答案：A例3：2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A.B.C.D.思路：首先考慮從3位女生中先選中相鄰的兩位女生，從而相鄰的女生要與另一女生不相鄰，則可插空，讓男生搭架子，因為男生甲不站兩端，所以在插空的過程中需有人站在甲的邊上，再從剩下的兩個空中選一個空插入即可。第一步：從三位女生中選出要相鄰的兩位女生：其次步：兩位男生搭出三個空，其中甲的邊上要進入女生，另外兩個空中要選一個空進女生，所以共有種選法。第三步：排列男生甲，乙的位置：，排列相鄰女生和單個女生的位置：，排列相鄰女生相互的位置：所以共有種答案：B例4：某班班會打算從甲，乙等7名學生中選派4名學生發(fā)言，要求甲，乙兩名同學至少有一人參與，且若甲乙同時參與，則他們發(fā)言時不能相鄰，那么不同的發(fā)言依次種數(shù)為（）A.360B.520C.600D.720思路：因為選人的結(jié)果不同會導致支配依次的不同，所以考慮“先取再排”，分為“甲乙”同時選中和“甲乙只有一人選中”兩種狀況探討：若甲乙同時被選中，則只需再從剩下5人中選取2人即可：，在支配依次時，甲乙不相鄰則“插空”，所以支配的方式有：，從而第一種狀況的總數(shù)為：（種），若甲乙只有一人選中，則首先先從甲乙中選一人，有，再從剩下5人中選取三人，有，支配依次時則無要求，所以其次種狀況的總數(shù)為：（種），從而總計600種答案：C例5：從單詞“equation”中選取5個不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相連且依次不變）的不同排列共有________種思路：從題意上看，解決的策略要分為兩步：第一步要先取出元素，因為“qu”必需取出，所以另外3個元素需從剩下的6個元素中取出，即種，然后在排列時，因為要求“qu”相連，所以采納“捆綁法”，將qu視為一個元素與其它三個元素進行排列：，因為“qu”依次不變，所以不須要再對qu進行排列。綜上，共有：種答案：例6：設(shè)有編號的五個茶杯和編號為的五個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有（）A.30種B.31種C.32種D.36種思路：本題可依據(jù)相同編號的個數(shù)進行分類探討，有兩個相同時，要先從5個里選出哪兩個相同，有種選法，則剩下三個為錯位排列，有2種狀況，所以，有三個相同時，同理，剩下兩個錯位排列只有一種狀況（交換位置），所以，有四個相同時則最終一個也只能相同，所以，從而（種）答案：B例7：某人上10級臺階，他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步；最多能跨3級臺階，稱為三階步，若他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則此人全部可能的不同過程的種數(shù)為（）A.6B.8C.10D.12答案：A思路：首先要確定在這6步中，一階步，二階步，三階步各有幾步，分別設(shè)為，則有，解得：，因為相鄰兩步不同階，所以符合要求的只有，下面起先支配依次，可以讓一階步搭架子，則二階步與三階步必需插入一階步里面的兩個空中，所以共有2種插法，二階步與三階步的前后支配共有3種（三二二，三二三，二三三），所以過程總數(shù)為答案：A例8：某旅行社有導游9人，其中3人只會英語，2人只會日語，其余4人既會英語又會日語，現(xiàn)要從中選6人，其中3人負責英語導游，另外三人負責日語導游，則不同的選擇方法有_______種思路：在步驟上可以考慮先選定英語導游，再選定日語導游。英語導游的組成可按只會英語的和會雙語的人數(shù)組成進行分類探討，然后再在剩下的人里選出日語導游即可。第一種狀況：沒有會雙語的人加入英語導游隊伍，則英語導游選擇數(shù)為，日語導游從剩下6個人中選擇，有中，從而，其次種狀況：有一個會雙語的人加入英語導游隊伍，從而可得，依次類推，第三種狀況。兩個會雙語的加入英語導游隊伍，則，第四種狀況，英語導游均為會雙語的。則，綜上所述，不同的選擇方法總數(shù)為(種)答案：216種例9：如圖，用四種不同顏色給圖中六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）A.種B.種C.種D.種思路：假如用四種顏色涂六個點，則須要有兩對不相鄰的點涂相同的顏色。所以考慮列舉出不相鄰的兩對點。列舉的狀況如下：，，，，，，，，共九組，所以涂色方法共有假如用三種顏色涂六個點，則須要有三對不相鄰的點涂相同的顏色，列舉狀況如下：，共兩組，所以涂色方法共有綜上所述，總計種答案：B例10：有8張卡片分別標有數(shù)字，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有（）A.1344種B.1248種C.1056種D.960種思路：中間行數(shù)字和為5只有兩種狀況，即和，但這兩組不能同時占據(jù)兩行，若按題意思索，以占中間行為例，則在支配時既要考慮另一組是否同時被選中，還要考慮同時被選中時不能呆在同一