高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 7.1空間立體幾何體的機(jī)構(gòu)及其三視圖和直觀圖講解與練習(xí) 理 新人教A版

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖[備考方向要明了]考什么怎么考1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖．3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．4.會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等沒有嚴(yán)格要求)．1.對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的考查，很少單獨(dú)命題，多與命題真假判斷相結(jié)合，在考查線面位置關(guān)系時(shí)，常以幾何體為載體．2.對三視圖的考查一直是高考的考查重點(diǎn)，且有以下特點(diǎn)：(1)多以選擇題或填空題的形式考查．(2)單獨(dú)考查三視圖問題，如年福建T4，湖南T3等．(3)與空間幾何體的體積、表面積的求法相結(jié)合，考查三視圖的還原問題，如年新課標(biāo)全國T7，安徽T12，廣東T6，天津T10，遼寧T13等．3.直觀圖的畫法作為一種圖技畫法融合于三視圖的還原問題中，高考幾乎不單獨(dú)命題.[歸納·知識整合]1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征多面體①棱柱的側(cè)棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多邊形②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形③棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相互平行且相似的多邊形旋轉(zhuǎn)體①圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到②圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到③圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到④球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到[探究]1.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？提示：不一定．如圖所示，盡管幾何體滿足了兩個(gè)平面平行且其余各面都是平行四邊形，但不能保證每相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊互相平行．2．中心投影與平行投影平行投影的投影線是平行的，而中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．在平行投影中投影線垂直于投影面的投影稱為正投影．3．三視圖與直觀圖三視圖空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，它包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，其畫法規(guī)則是：長對正，高平齊，寬相等直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法規(guī)則來畫，基本步驟是：①畫幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，已知圖形中平行x軸、y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸的線段．已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄诋嫀缀误w的高在已知圖形中過O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應(yīng)的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長度不變[探究]2.正方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖一定相同嗎？提示：由于正視圖的方向沒確定，因此正視圖、側(cè)視圖、俯視圖不一定相同．[自測·牛刀小試]1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()A．圓柱B．圓錐C．球體D．圓柱，圓錐，球體的組合體解析：選C由球的性質(zhì)可知，用平面截球所得的截面都是圓面．2．(教材習(xí)題改編)如圖所示的幾何體是棱柱的有()A．②③⑤ B．③④⑤C．③⑤ D．①③解析：選C根據(jù)棱柱結(jié)構(gòu)特征可知③⑤是棱柱．3．(教材習(xí)題改編)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，分析此幾何體的組成為()A．上面為棱臺，下面為棱柱B．上面為圓臺，下面為棱柱C．上面為圓臺，下面為圓柱D．上面為棱臺，下面為圓柱解析：選C由三視圖可知，此幾何體由上面的圓臺和下面的圓柱組合而成的．4．關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法正確的是()A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形B．梯形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是菱形D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形解析：選D由斜二測畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長度減半，直角坐標(biāo)系變成了斜坐標(biāo)系，而平行性沒有改變，因此，只有D正確．5．一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的________(填入所有可能的幾何體前的編號)．①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱解析：只要判斷正視圖是不是三角形就行了，畫出圖形容易知道三棱錐、四棱錐、圓錐一定可以，對于三棱柱，只需要放倒就可以了，所以①②③⑤均符合題目要求．答案：①②③⑤空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征[例1]下列結(jié)論中正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線[自主解答]A錯(cuò)誤．如圖，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．B錯(cuò)誤．如下圖，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐。C錯(cuò)誤．若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六形．但由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長．[答案]D———————————————————求解空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法，即嚴(yán)格按照空間幾何體的有關(guān)定義判斷．(2)反例法，即通過舉反例來說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的．1．下列命題中，正確的是()A．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B．側(cè)面都是等腰三角形的棱柱是正棱錐C．側(cè)面都是矩形的四棱柱是長方體D．底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱解析：選D對于A，兩個(gè)側(cè)面是矩形并不能保證側(cè)棱與底面垂直，故A錯(cuò)誤；對于B，側(cè)面都是等腰三角形，不能確保此棱錐頂點(diǎn)在底面在底面的射影在底面正多邊形的中心上，且也不能保證底面是正多邊形，故B錯(cuò)誤；對于C，側(cè)面是矩形不能保證底面也是矩形，因而C錯(cuò)誤．空間幾何體的三視圖[例2](1)(·湖南高考)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()(2)(·廈門質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是()A．三棱錐 B．四棱錐C．四棱臺 D．三棱臺[自主解答](1)A圖是兩個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；B圖是一個(gè)四棱柱與一個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；C圖是一個(gè)底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個(gè)四棱柱的組合體的俯視圖，采用排除法，故選D.(2)由三視圖可知，該幾何體是四棱錐(如圖所示)，且其中一條棱與底面垂直．[答案](1)D(2)B———————————————————由三視圖還原實(shí)物圖應(yīng)明確的兩個(gè)方面(1)首先要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，較復(fù)雜的幾何體也是由這些簡單幾何體組合而成的．(2)要明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖．2．已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中AB＝AC，四邊形BCDE為矩形)，則該組合體的俯視圖可以是________(把你認(rèn)為正確的圖的序號都填上)．解析：幾何體是四棱錐與四棱柱組成時(shí)，得①正確．幾何體由四棱錐與圓柱組成時(shí)，得②正確．幾何體由圓錐與圓柱組成時(shí)，得③正確．幾何體由圓錐與四棱柱組成時(shí)，得④正確．故填①②③④.答案：①②③④空間幾何體的直觀圖[例3]如圖所示，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，且△A′B′C′是邊長為a的正三角形，求△ABC的面積．[自主解答]建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy′，△A′B′C′的頂點(diǎn)C′在y′軸上，A′B′邊在x軸上，把y′軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得y軸，在y軸上取點(diǎn)C使OC＝2OC′，A、B點(diǎn)即為A′、B′點(diǎn)，長度不變．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得eq\f(OC′,sin∠OA′C′)＝eq\f(A′C′,sin45°)，所以O(shè)C′＝eq\f(sin120°,sin45°)a＝eq\f(\r(6),2)a，所以原三角形ABC的高OC＝eq\r(6)a，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.本例若改為“已知△ABC是邊長為a的正三角形，求其直觀圖△A′B′C′的面積，”應(yīng)如何求？解：由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖△A′B′C′一底邊上的高為eq\f(\r(3),2)a×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),8)a，故其面積S△A′B′C′＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.———————————————————平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個(gè)關(guān)系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．記住上述關(guān)系，解題時(shí)能起到事半功倍的作用．3．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形解析：選C將直觀圖還原得?OABC，則∵O′D′＝eq\r(2)O′C′＝2eq\r(2)(cm)，OD＝2O′D′＝4eq\r(2)(cm)，C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，OC＝eq\r(CD2＋OD2)＝eq\r(22＋4\r(2)2)＝6(cm)，OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，故原圖形為菱形．1種數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決棱臺、圓臺的有關(guān)問題由棱臺和圓臺的定義可知棱臺和圓臺是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺和圓臺的相關(guān)問題時(shí)，?！斑€臺為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．1個(gè)疑難點(diǎn)——三視圖的還原問題由三視圖還原幾何體是解答三視圖問題的重要手段和方法，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決：3個(gè)注意事項(xiàng)——畫三視圖應(yīng)注意的三個(gè)問題(1)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法．(2)確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同．(3)觀察簡單組合體是由哪幾個(gè)簡單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置．3個(gè)“變”與“不變”——斜二測畫法的要求“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形改變.))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改變，,與x、z軸平行的線段的長度不改變，,相對位置不改變.))易誤警示——三視圖識圖中的易誤辨析[典例](·陜西高考)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()[解析]側(cè)視圖中能夠看到線段AD1，應(yīng)為實(shí)線，而看不到B1C，應(yīng)畫為虛線．由于AD1與B1C不平行，投影為相交線，故應(yīng)選B.[答案]Beq\a\vs4\al([易誤辨析])1．因?qū)θ晥D的原理認(rèn)識不到位，區(qū)分不清選項(xiàng)A和B，而易誤選A.2．因?qū)θ晥D的畫法要求不明而誤選C或D.在畫三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫，被遮住的部分的輪廓線為虛線．3．解答此類問題時(shí)，還易出現(xiàn)畫三視圖時(shí)對個(gè)別視圖表達(dá)不準(zhǔn)而不能畫出所要求的視圖．在復(fù)習(xí)時(shí)要明確三視圖的含義，掌握“長對正、高平齊、寬相等”的要求．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練])若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()解析：選B由正視圖與俯視圖可以將選項(xiàng)A、C排除；根據(jù)側(cè)視圖，可以將D排除，注意正視圖與俯視圖中的實(shí)線．一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(·福建高考)一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是()A．球 B．三棱錐C．正方體 D．圓柱解析：選D圓柱的三視圖，分別是矩形，圓，不可能三個(gè)視圖都一樣，而球的三視圖可以都是圓，三棱錐的三視圖可以都是三角形，正方體的三視圖可以都是正方形．2．(·西城模擬)有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)()A．棱臺 B．棱錐C．棱柱 D．都不對解析：選A從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，但大小不一樣，可以判斷是棱臺．3．一梯形的直觀圖是一個(gè)如右圖所示的等腰梯形，且該梯形的面積為eq\r(2)，則原梯形的面積為()A．2 B.eq\r(2)C．2eq\r(2) D．4解析：選D直觀圖為等腰梯形，若上底設(shè)為x，高設(shè)為y，則S直觀圖＝eq\f(1,2)y(x＋2y＋x)＝eq\r(2)，而原梯形為直角梯形，其面積S＝eq\f(1,2)·2eq\r(2)y(x＋2y＋x)＝2eq\r(2)×eq\r(2)＝4.4．一個(gè)長方體去掉一個(gè)小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為()解析：選C由正視圖和側(cè)視圖可知，該長方體挖掉一個(gè)小長方體后，相應(yīng)位置在俯視圖中應(yīng)為左下角位置，且可看見輪廓線，故選C.5．一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是()解析：選C若俯視圖是等邊三角形且為圖中的位置，則正視圖是等腰三角形，且高線是實(shí)線，故選C.6．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖的面積等于8，俯視圖是一個(gè)面積為4eq\r(3)的正三角形，則其側(cè)視圖的面積為()A．4eq\r(3) B．8eq\r(3)C．8eq\r(2) D．4解析：選A由三視圖知該幾何體是正三棱柱，設(shè)其底面邊長為a，高為h，則其正視圖為矩形，矩形的面積S1＝ah＝8，俯視圖為邊長為a的正三角形，三角形的面積S2＝eq\f(\r(3),4)a2＝4eq\r(3)，則a＝4，h＝2，而側(cè)視圖為矩形，底邊為eq\f(\r(3),2)a，高為h，故側(cè)視圖的面積為S＝eq\f(\r(3),2)ah＝4eq\r(3).二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．以下四個(gè)命題：①正棱錐的所有側(cè)棱相等；②直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形；③圓柱的母線垂直于底面；④用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命題的序號為________．解析：①③④均正確，對②，直棱柱的側(cè)面都是矩形而不一定全等，②錯(cuò)誤．答案：①③④8．一個(gè)幾何體是由若干個(gè)相同的小正方體組成的，其正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體最多可由________個(gè)這樣的小正方體組成．解析：依題意可知這個(gè)幾何體最多可由9＋2＋2＝13個(gè)這樣的小正方體組成．答案：139．正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長均為eq\r(3)，其正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則正視圖的周長為________．解析：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面PEF，其中E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接AO，易得AO＝eq\r(2)，而PA＝eq\r(3)，于是解得PO＝1，所以PE＝eq\r(2)，故其正視圖的周長為2＋2eq\r(2).答案：2＋2eq\r(2)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長．解：抓住軸截面，利用相似比，由底面積之比為1∶16，設(shè)半徑分別為r、4r.設(shè)圓臺的母線長為l，截得圓臺的上、下底面半徑分別為r、4r.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)，解得l＝9.所以，圓臺的母線長為9cm.11．已知：圖①是截去一個(gè)角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖②是某幾何體的三視圖，試說明該幾何體的構(gòu)成．解：圖①幾何體的三視圖為：圖②所示的幾何體是上面為正六棱柱、下面為倒立的正六棱錐的組合體．12．如圖所示的三幅圖中，圖(1)所示的是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖如圖(2)(3)所示(單位：cm)．(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的數(shù)據(jù)，求該多面體的體積．解：(1)如圖．(2)所求多面體的體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3