新教材2024年高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布列7.1條件概率與全概率公式7.1.1條件概率素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊

第七章7.17.1.1A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．(多選)下列說法不正確的是(ACD)A．P(B|A)<P(A∩B) B．P(B|A)＝eq\f(PB,PA)是可能的C．0<P(B|A)<1 D．P(A|A)＝0[解析]由條件概率公式P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(A∩B)，故A選項錯誤；當事務A包含事務B時，有P(A∩B)＝P(B)，此時P(B|A)＝eq\f(PB,PA)，故B選項正確；由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D選項錯誤．故選ACD．2．(2024·山東臨沂高二期末)氣象資料表明，某地區(qū)每年七月份刮臺風的概率為eq\f(3,5)，在刮臺風的條件下，下大雨的概率為eq\f(9,10)，則該地區(qū)七月份既刮臺風又下大雨的概率為(B)A．eq\f(2,3) B．eq\f(27,50)C．eq\f(9,10) D．eq\f(3,10)[解析]設“某地區(qū)每年七月份刮臺風”為事務A，設“某地區(qū)每年七月份下大雨”為事務B，則“該地區(qū)七月份既刮臺風又下大雨”為事務AB．由題得P(A)＝eq\f(3,5)，P(B|A)＝eq\f(9,10)，由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝eq\f(9,10)×eq\f(3,5)＝eq\f(27,50).3．一個家庭中有兩個小孩，已知其中有一個是女孩，則另一個也是女孩的概率為(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)[解析]有一個是女孩記為事務A，另一個是女孩記為事務B，Ω表示基本領件空間，而Ω＝{(男，男)(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A∩B＝{(女，女)}，則P(A)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝P(A∩B)＝eq\f(1,4)，則所求概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,3).4．在5道題中有3道數(shù)學題和2道物理題．假如不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到數(shù)學題的條件下，第2次抽到數(shù)學題的概率是(C)A．eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)[解析]設第一次抽到數(shù)學題為事務A，其次次抽到數(shù)學題為事務B，由已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,2).5．已知甲、乙兩人獨立出行，各租用共享單車一次(假定費用只可能為1，2，3元)．甲、乙租車費用為1元的概率分別是0.5，0.2，甲、乙租車費用為2元的概率分別是0.2，0.4，則甲、乙兩人租車費用相同的概率為(B)A．0.18 B．0.3C．0.24 D．0.36[解析]由題意知，甲、乙租車費用為3元的概率分別是0.3，0.4.所以甲、乙兩人租車費用相同的概率P＝0.5×0.2＋0.2×0.4＋0.3×0.4＝0.3.二、填空題6．100件產品中有5件次品，不放回地抽取兩次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，則第2次抽出正品的概率為_eq\f(95,99)__.[解析]設“第一次抽到次品”為事務A，“其次次抽到正品”為事務B，則P(A)＝eq\f(5,100)＝eq\f(1,20)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,95),A\o\al(2,100))＝eq\f(19,396)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(95,99).7．投擲兩顆勻稱骰子，已知點數(shù)不同，設兩顆骰子點數(shù)之和為ξ，則ξ≤6的概率為_eq\f(2,5)__.[解析]解法一：投擲兩顆骰子，其點數(shù)不同的全部可能結果共30種，其中點數(shù)之和ξ≤6的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，共12種，∴所求概率P＝eq\f(2,5).解法二：設A＝“投擲兩顆骰子，其點數(shù)不同”，B＝“ξ≤6”，則P(A)＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6)，P(AB)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(2,5).8．某班級的學生在寒假中是否有參與滑雪運動準備的狀況如下表所示.男生女生有參與滑雪運動準備810無參與滑雪運動準備1012從這個班級中隨機抽取一名學生，則“抽到的人是男生且有參與滑雪運動準備”的概率為_eq\f(1,5)__；若已知抽到的人是男生，則他有參與滑雪運動準備的概率為_eq\f(4,9)__.[解析]該班級共有學生8＋10＋10＋12＝40(人)．記“抽到的是男生”為事務A，“有參與滑雪運動準備”為事務B，則由題意得n(Ω)＝40，n(A)＝18，n(AB)＝8，∴P(AB)＝eq\f(8,40)＝eq\f(1,5)，P(A)＝eq\f(18,40)＝eq\f(9,20)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,5),\f(9,20))＝eq\f(4,9).三、解答題9．(2024·廣西南寧)袋子中放有大小、形態(tài)均相同的小球若干．其中標號為0的小球有1個，標號為1的小球有2個，標號為2的小球有n個．從袋子中任取兩個小球，取到的標號都是2的概率是eq\f(1,10).(1)求n的值；(2)從袋子中任取兩個小球，若其中一個小球的標號是1，求另一個小球的標號也是1的概率．[解析](1)由題意得eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,n＋3))＝eq\f(nn－1,n＋3n＋2)＝eq\f(1,10)，解得n＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝－\f(1,3)舍去)).(2)記“其中一個小球的標號是1”為事務A，“另一個小球的標號是1”為事務B，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5)－C\o\al(2,3))＝eq\f(1,7).10．(2024·北京順義)已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，從100個男人和100個女人中任選一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)假如此人是色盲，求此人是男人的概率．[解析]設“任選一人是男人”為事務A，“任選一人是女人”為事務B，“任選一人是色盲”為事務C．(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(100,200)×eq\f(5,100)＋eq\f(100,200)×eq\f(0.25,100)＝eq\f(21,800).(2)由題可得所求概率為P(A|C)＝eq\f(PAC,PC)＝eq\f(\f(5,200),\f(21,800))＝eq\f(20,21).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(2024·湖南)袋中有大小、形態(tài)完全相同的2個紅球和3個黑球，不放回地依次摸出兩球，設“第一次摸出紅球”為事務A，“摸出的兩球同色”為事務B，則P(B|A)為(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,4)[解析]由題可得P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(1,10)，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4)，故選A．2．(2024·廣東惠州)甲、乙、丙、丁、戊5名同學報名參與社區(qū)服務活動，社區(qū)服務活動共有關愛老人、環(huán)境監(jiān)測、教化詢問、交通宣揚、文娛活動五個項目，每人限報其中一項，記事務A為“5名同學所報項目各不相同”，事務B為“只有甲同學一人報關愛老人項目”，則P(A|B)＝(A)A．eq\f(3,32) B．eq\f(5,32)C．eq\f(2,9) D．eq\f(5,9)[解析]由已知得，事務B的基本領件個數(shù)為44，事務AB的基本領件個數(shù)為Aeq\o\al(4,4)，所以P(A|B)＝eq\f(A\o\al(4,4),44)＝eq\f(3,32).故選A．3．(多選)已知P(B)>0，A1A2＝?，則下列式子肯定成立的是(AB)A．P(A1|B)≥0B．P((A1∪A2)|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)C．P((A1eq\x\to(A2))|B)≠0D．P((eq\x\to(A1)eq\x\to(A2))|B)＝1[解析]由概率的性質可知P(A1|B)≥0，故選項A正確；由條件概率的性質可知P((A1∪A2)|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)，故選項B正確；P((A1eq\x\to(A2))|B)≥0，故選項C錯誤；0≤P((eq\x\to(A1)eq\x\to(A2))|B)≤1，故選項D錯誤．故選AB．4．(2024·江西南昌)吸煙有害健康，遠離煙草，珍惜生命．據(jù)統(tǒng)計，一小時內吸煙5支誘發(fā)腦血管病的概率為0.02，一小時內吸煙10支誘發(fā)腦血管病的概率為0.16.已知某公司職員在某一小時內吸煙5支未誘發(fā)腦血管病，則他在這一小時內還能接著吸煙5支不誘發(fā)腦血管病的概率為(A)A．eq\f(6,7) B．eq\f(21,25)C．eq\f(49,50) D．不確定[解析]記事務A：某公司職員一小時內吸煙5支未誘發(fā)腦血管病，記事務B：某公司職員一小時內吸煙10支未誘發(fā)腦血管病，則由已知可得P(A)＝1－0.02＝0.98，P(B)＝1－0.16＝0.84，因此，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.84,0.98)＝eq\f(6,7)，故選A．二、填空題5.7名同學站成一排，已知甲站在中間，則乙站在末尾的概率是_eq\f(1,6)__.[解析]記“甲站在中間”為事務A，“乙站在末尾”為事務B，則n(A)＝Aeq\o\al(6,6)，n(AB)＝Aeq\o\al(5,5)，P(B|A)＝eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,6).6．一批同型號產品由甲、乙兩廠生產，產品結構如表：廠別數(shù)量等級甲廠乙廠合計合格品4756441119次品255681合計5007001200從這批產品中隨意地取一件，則這件產品恰好是次品的概率是_eq\f(27,400)__；已知取出的產品是甲廠生產的，則這件產品恰好是次品的概率是_eq\f(1,20)__.從這批產品中隨意地取一件，則這件產品恰好是次品的概率是eq\f(81,1200)＝eq\f(27,400).方法一：已知取出的產品是甲廠生產的，則這件產品恰好是次品的概率是eq\f(25,500)＝eq\f(1,20).方法二：設A：“取出的產品是甲廠生產的”，B：“取出的產品為次品”，則P(A)＝eq\f(500,1200)，P(A∩B)＝eq\f(25,1200)，所以這件產品恰好是甲廠生產的次品的概率是P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,20).三、解答題7．某校高三(1)班有學生40人，其中共青團員15人．全班平均分成4個小組，其中第一組有共青團員4人．從該班任選一人作學生代表．(1)求選到的是第一組的學生的概率；(2)已知選到的是共青團員，求他是第一組學生的概率．[解析]設事務A表示“選到第一組學生”，事務B表示“選到共青團員”．(1)由題意，P(A)＝eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).(2)解法一：要求的是在事務B發(fā)生的條件下，事務A發(fā)生的條件概率P(A|B)．不難理解，在事務B發(fā)生的條件下(即以所選到的學生是共青團員為前提)，有15種不同的選擇，其中屬于第一組的有4種選擇．因此，P(A|B)＝eq\f(4,15).解法二：P(B)＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)，P(AB)＝eq\f(4,40)＝eq\f(1,10)，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(4,15).8．(2024·新高考Ⅱ)在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總人口的16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)．[解析](1)平均年齡eq\o(x,\s\up6(－))＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(歲)．(2)設A＝{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20，70)}，所以P(A)＝