新教材2024年秋高中數(shù)學(xué)第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念第1課時函數(shù)的概念一學(xué)生用書無答案新人教A版必修第一冊

3.1.1函數(shù)的概念第1課時函數(shù)的概念(一)1．在初中用變量之間的依靠關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．(數(shù)學(xué)抽象)3．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡潔函數(shù)的定義域．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)假如將2005年某國創(chuàng)新指數(shù)記為100，近些年來該國創(chuàng)新指數(shù)的狀況如下表所示．年度201220132014201520162017202420242024某國創(chuàng)新指數(shù)148.2152.6158.2171.5189.5196.3212.0228.3242.6以y表示年度值，i表示該國創(chuàng)新指數(shù)的取值，則i是y的函數(shù)嗎？假如是，這個函數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以怎樣表示？學(xué)問點(diǎn)函數(shù)的概念定義一般地，設(shè)A，B是非空的______，假如對于集合A中的__________，依據(jù)某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有________的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域________的取值范圍值域與x的值相對應(yīng)的y的函數(shù)值的集合____________理解函數(shù)的概念抓住以下4點(diǎn)：(1)“y＝f(x)”是函數(shù)符號，可以用隨意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以．(2)“A，B”是非空的數(shù)集，定義域為空集的函數(shù)是不存在的．(3)函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：隨意性、存在性、唯一性．(4)定義域、值域的結(jié)果應(yīng)當(dāng)寫成集合的形式．1．在函數(shù)的定義中，符號y＝f(x)是表示f與x的乘積嗎？2．f(x)與f(a)的區(qū)分與聯(lián)系是什么？思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)依據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的隨意一個x可以對應(yīng)著值域中不同的y． ()(2)任何兩個集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系． ()(3)函數(shù)的定義域必需是數(shù)集，值域可以為其他集合． ()(4)在函數(shù)的定義中，集合B是函數(shù)的值域． ()類型1函數(shù)關(guān)系的推斷【例1】(1)(2024·四川省德陽市第三中學(xué)月考)設(shè)集合M＝x0≤x≤2，N＝{y|0≤yA．1B．2C．3D．4(2)(多選)下列對應(yīng)關(guān)系是實數(shù)集R上的函數(shù)的是()A．f：把x對應(yīng)到3x＋1B．g：把x對應(yīng)到|x|＋1C．h：把x對應(yīng)到1D．r：把x對應(yīng)到x[嘗試解答]推斷一個對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．推斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)．(1)A＝N，B＝N*，對應(yīng)法則f：對集合A中的元素取肯定值與B中元素對應(yīng)；(2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，對應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；(3)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，對應(yīng)法則f：對A中的元素開方與B中的元素對應(yīng)；(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對應(yīng)法則f：對A中元素求面積與B中元素對應(yīng)．類型2求函數(shù)值【例2】(源自湘教版教材)已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝x＋1和g(x)＝x2，計算下列各式：(1)f(2)＋g(3)；(2)f(a2)－g(a)；(3)f(f(f(0)))．[嘗試解答]函數(shù)求值的方法(1)已知f(x)的表達(dá)式時，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知函數(shù)f(x)＝3-x21+x2，(1)求f(3)，f(4)，f(g(3))；(2)求f(g(x))．類型3求函數(shù)的定義域【例3】求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝2＋3x(2)f(x)＝(x－1)0＋2x(3)f(x)＝3-x·(4)f(x)＝x+12x思路導(dǎo)引：從f(x)由幾部分組成，是否含有分母、開偶次方根、x0等角度思索使f(x)有意義的條件，進(jìn)而進(jìn)行解答．[嘗試解答]求函數(shù)定義域的常用方法(1)若f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母________．(2)若f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)__________．(3)若f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實數(shù)集合．(4)若f(x)是由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的________．(5)若f(x)是實際問題的解析式，則應(yīng)________________，使實際問題有意義．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．求函數(shù)y＝2x2-1．函數(shù)f(x)＝x+3A．{x|x≥－3} B．{x|x>－3}C．{x|x≥－3，且x≠1} D．{x|x>－3，且x≠1}2．(多選)下列四個圖象中，是函數(shù)圖象的是()ABCD3．下列對應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是()A．A∈R，B∈R，y＝±1B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，對應(yīng)關(guān)系如圖：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝1D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝24．若f(x)＝11-x2，則f(3)＝____________，回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．推斷一個對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的條件是什么？2．f(x)與f(a)相同嗎？兩者存在怎樣的聯(lián)系？3．求函數(shù)y＝f(x)的定義域常留意哪些問題？函數(shù)定義的演化過程簡介在現(xiàn)代數(shù)學(xué)以及其他相關(guān)學(xué)科中，函數(shù)都是特別重要甚至是不行或缺的．與其他重要數(shù)學(xué)概念一樣，函數(shù)定義的發(fā)展與完善也經(jīng)驗了比較長的一段時間．“函數(shù)”一詞是萊布尼茨創(chuàng)建的，他用這個詞表示與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的線段長度，并運(yùn)用這個詞表示變量之間的依靠關(guān)系．歐拉于1734年首先運(yùn)用字母f表示函數(shù)，歐拉在他的著作《微分學(xué)》中給出的函數(shù)定義是：假如某變量，以如下的方式依靠于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量改變時，前者也隨之改變，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù)．1851年，德國數(shù)學(xué)家黎曼給出的函數(shù)定義是：假定z是一個變量，它可以逐次取全部可能的實數(shù)值．假如對它的每一個值，都有未知量w的唯一的一個值與之對應(yīng)，則w稱為z的函數(shù)．人們通常稱這樣的定義為函數(shù)的“對應(yīng)說”，因為定義中采納了“唯一的一個值與之對應(yīng)”的說法．1939年，法國布爾巴基學(xué)派在集合論的基礎(chǔ)上給出了如下函數(shù)的定義：設(shè)E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同．E中的變元x和F中的變元y之間的一個關(guān)系稱為一個函數(shù)關(guān)系，假如對于每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿意與x給定的關(guān)系，稱這樣的運(yùn)算為函數(shù)．它以上述方式將與x有給定關(guān)系的元素y∈F與每一個元素x∈E相聯(lián)系．稱y是函數(shù)在元素x處的值，函數(shù)值由給定的關(guān)系所確定．兩個等價的函數(shù)關(guān)系確定同一個函數(shù)．人們通常稱這樣的定義為“關(guān)系說”．后來，有些學(xué)者把布爾巴基學(xué)派的定義進(jìn)一步符號化：設(shè)F是定義在集合X和Y上的一個二元關(guān)系，稱這個關(guān)系為函數(shù)，假如對于每一個x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得