2021屆高三數(shù)學(xué)“小題速練”含答案解析21

2021屆高三數(shù)學(xué)“小題速練”21

答案解析

一、單項選擇題：本題共8小題.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={0,1,2},B={X|X2-3X+2<0},則()

A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{152}

【答案】D

【解析】

分析:先化簡集合B,再求APB得解.

詳解：由題得5={x|14xM2},所以ACB={1,2}.故答案為D

點睛：本題主要考查集合和集合的交集運算，意在考查學(xué)生集合基礎(chǔ)知識的掌握能力.要注

意集合A和集合B的交集是有限集，不要寫成了不等式.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（1+山=2+小i為虛數(shù)單位，貝心等于（）

C.1-1/

A.1-ZB.1+zD.—+—z

2222

【答案】A

【解析】

因為z所以應(yīng)選答案A.

1+/(1+0(1-0

3.若向量癡滿足：同=1,（萬+5），萬,（2萬+b）_L反則M=

V2

A.2B.V2C.1

2

【答案】B

【解析】

產(chǎn)+B)?萬=ol+h-a=O

試題分析：由題意易知:即｛b2=—2ab=2，即同=6'-

(2a+byb=02b-a+b2=0

故選B.

考點：向量的數(shù)量積的應(yīng)用.

4.已知拋物線及尸二2內(nèi)加>o）的焦點為尸，O為坐標(biāo)原點，OF為菱形O8FC的一條對角線，另一條對角

線BC的長為2,且點8,C在拋物線E上，則夕=（）

A.1B.72C.2D.272

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意，（￡,1）在拋物線上，代入拋物線方程可得1=2，即可求出，的值.

42

【詳解】解：由題意，（f,1）在拋物線上，代入拋物線方程可得1=2，

42

；〃>0,:.p=血,

故選：B.

【點睛】本題考查拋物線的方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知S”是等差數(shù)列｛“〃｝的前"項和，貝『5,>〃即對佗2恒成立”是“43>"4”的（)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,利用等差數(shù)列的通項公式和前〃項和公式將>nan（〃之2）等價轉(zhuǎn)化為d<0,

將生〉%等價轉(zhuǎn)化為d<0，由此可得答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

當(dāng)〃22時，因為S“〉〃可等價于>nan等價于q>a?等價于（〃—l）d<0等價于d<0,

色>。4等價于4一/<。等價于。<0，

所以S“>nan(n>2)等價于a3>a4,

所以“S”>〃可（”22）”是“4>%”的充分必要條件?

故選：C.

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前〃項和公式，考查了充分必要條件的概念，屬于基礎(chǔ)題.

6.函數(shù)/(x)=cosx（一4〈不且尤。（））的圖象可能為（）

【答案】D

【解析】

因為/(-X)=(-x+1)cosx=-(x-L)cosx=-/(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A,B;取x=%，則

xx

/(乃)=(萬一■^-)cos乃=一(乃一■-)<0,故選D.

7t71

考點：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.

7.已知函數(shù),“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(—8,0]時，f(x)^-x2+2x,若實數(shù)加滿足

/(log2m)<3,則m的取值范圍是()

A.(0,2]B.已,2]C.(0,8]D.[1,8]

2o

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)“X)是R上的奇函數(shù)，求出“X)的解析式，畫出“X)的圖象易得“X)在R上單調(diào)遞增，最

后根據(jù)/(%)的單調(diào)性求解不等式即可.

【詳解】解：當(dāng)xe(0,”)時，-xe(e,0),/(—x)=—(—x)?+2(—x)=—f—2x,

因為〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(—x)=—/(x)2-2x,

-x2+2x,x<0,

即/'(x)=%2+2x.因止匕，/(%)='

x2+2x,x>0.

作出“X）的圖象如下:

“X）在R上單調(diào)遞增，又/（1）=3,

由/(log2〃z)W3=/(l)得：log2，〃<l,解得：0<7W42.

故選：A.

【點睛】本題考查解不等式，關(guān)鍵是判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

8.如圖，在三棱錐A—8C。中，AB=AC=BD=CD=3,AL>=BC=2,點、M,N分別為A。，8C的中點，則異面

直線AN,CM所成的角的余弦值是（）

5B小7

A.-c.一D￡

8888

【答案】c

【解析】

【分析】

連接8M，取郵的中點。，連接ON,根據(jù)異面直線所成角的定義，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、

余弦定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖，連接8M，取弧的中點。，連接QV,

因為N是6c中點，則ON//CM,

所以NANO(或其補角)就是異面直線AN,CM所成角，

因為AB=AC=BO=C￡>=3,AD=BC=2,點M,N分別為A。，BC的中點，

所以AN_L8C,AM，AD,8W，AD,

因此有AN=JAC?—(；8C)2=5/32-12=2血,

同理CM=j32-f=20，BM=2及

A。=JWA。8+€BM了=J"+訴2=6,NO=gcM=◎,

AN2+ON1-AO1(2&y+(0)2-(6)27

cosZANO=---------------=----——、l'二_—=—.

2AN-NO2x2V2xV28

故選：c

【點睛】本題考查了求異面直線所成的角，關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角，即平移其中一條直線

與另一條相交，通過解三角形求出相交直線的夾角，可得異面直線所成角，要注意異面直線所成角的范圍

71

是（OR.

二、多項選擇題

9.隨著我國經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整和方式轉(zhuǎn)變,社會對高質(zhì)量人才的需求越來越大，因此考研現(xiàn)象在我國不斷升溫.某

大學(xué)一學(xué)院甲、乙兩個本科專業(yè)，研究生的報考和錄取情況如下表，則

性別甲專業(yè)報考人數(shù)乙專業(yè)報考人數(shù)性別甲專業(yè)錄取率乙專業(yè)錄取率

男100400男25%45%

女300100女30%50%

A.甲專業(yè)比乙專業(yè)的錄取率高B.乙專業(yè)比甲專業(yè)的錄取率高

C.男生比女生的錄取率高D.女生比男生的錄取率高

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，甲專業(yè)錄取了男生25人，女生90人；乙專業(yè)錄取了男生180人，女生50人；結(jié)合選

項可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得甲專業(yè)錄取了男生25人，女生90人；乙專業(yè)錄取了男生180人，女生50人;

甲專業(yè)的錄取率為25+90=28.75%,乙專業(yè)的錄取率為幽土迎=46%,所以乙專業(yè)比甲專業(yè)的錄

100+300400+100

取率高.

男生的錄取率為25+180=4%,女生的錄取率為空現(xiàn)=35%,所以男生比女生的錄取率高.

100+400300+100

故選：BC.

【點睛】本題主要考查頻數(shù)分布表的理解，題目較為簡單，明確錄取率的計算方式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考

查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

10.已知函數(shù)f（x）=sin（azx+（p）（co＞0,0＜。＜乃），將丁=/（%）的圖像上所有點向左平移六個單位，然后

6

1zJI

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的得到函數(shù)y=g（x）的圖像.若g（x）為偶函數(shù)，且最小正周期為不，

則（）

Jr57r

A.y=/（x）圖像關(guān)于點（一三,0）對稱B.Ax）在（0,考）單調(diào)遞增

x57rITSir

c./（x）=g（G）在（0,?。┯星覂H有3個解D.g（x）在（丁,二）有且僅有3個極大值點

24124

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)題意求得0=2,°=進(jìn)而求得8（%）=854%,/（幻=5山（2*+9）,然后對選項逐一判斷即可

66

【詳解】解：將y=/（x）的圖像上所有點向左平移弓個單位后變?yōu)椋簊inLyx+—+

然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的g1后變?yōu)椋簊in2@x+等+。,

2

.(C8冗I

所以g(x)=sinI2cox+-+夕J.

TTJT27r

因為g（x）的最小正周期為不，所以不=丁，解得：8=2.

222G

所以g(x)=sin(4x+y+^91,

又因為g（x）為偶函數(shù)，所以%+8=￡+而,攵wZ,所以°=工+攵肛ZEZ.

326

兀

因為0<0〈乃，所以9=2

6

所以g(x)=sin14x+三卜cos4x,/(x)=sin(2x+令.

6

JT7n17171JT

對于選項A，因為/(—6)=sin2(--)+-=sin0=0,所以y=/(x)圖像關(guān)于點(一7二1,0)對稱,

1212612o1212

故A正確.

對于選項3,因為xe(0,紅)時，2x+￡e[[7,1;r],

126<6)

n

設(shè)/=2x4——,

6

\

因為/⑺在（2,兀I不是單調(diào)遞增，所以/（X）在（0,工5兀）不單調(diào)遞增，故3錯誤.

712

cos2x,/(x)=sin(2x+-),畫出〃x),g仔]在。嗎圖像如圖所示:

對于選項c,

64

從圖中可以看出：/（x）,g圖在（。,小圖像有三個交點，所以〃x）=gg在＜。,學(xué)有且僅有3個解,

故C正確.

IT5TT

對于選項O,g（x）=cos4x在（行,彳）的圖像如圖所示:

從圖中可以看出g（九）在（看TT，寧5TC）有且僅有2個極大值點，故。選項錯誤.

故選：AC

【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)的周期、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性等，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)

合的能力，計算能力等，屬于中檔題.

11.已知拋物線y2=2px（p＞0）上三點4（%/）,5（1,2）,C（%,必），尸為拋物線的焦點，則（）

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1

B.FA+FB+FC=6＞則同，網(wǎng)，同成等差數(shù)列

C.若A，F(xiàn)，。三點共線，則）|%=一1

D.若［4。=6,則AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

把點6(1,2)代入拋物線V=2px即可得到本題答案；根據(jù)拋物線的定義，以及西+麗+斤=6,可得

芯+工2=2,從而可證得網(wǎng)+四=2閥；由A,F,C三點共線，得=結(jié)合

事=；弘262=；%2,化簡即可得到本題答案；設(shè)AC的中點為Mix。,%)，由|A目+|C同習(xí)AC|,結(jié)合

1

[Af|+|(7目=玉+1+/+1=2%0+2,即可得到本題答案.

【詳解】把點8(1,2)代入拋物線；/=2力，得p=2,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為％=-1,故A正確；

因為4%,乂),8(1,2),。*2，%)，/(1，0)，所以麗=(%-1,%)，麗=(0,2),FC=(x2-l,y2),又由

FA+FB+FC=0>得再+/=2,

所以同+|罔"+1+々+1=4=2閥，即網(wǎng)，|叫阿成等差數(shù)列，故B正確；

M%一=%

因為A,F,C三點共線，所以直線斜率軟F=%CF，即7T=-7,所以12I12]，化簡得,

X\~lX2~l一14y2

^>2=-4-故C不正確；

設(shè)AC的中點為“(%%),因為|AF|+|CF|N|AC|,|AF|+|CF|=jq+1+%+1=2%+2,所以

2x0+2>6,得"2,

即AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2,故D正確.

故選：ABD

【點睛】本題主要考查拋物線定義的應(yīng)用以及拋物線與直線的相關(guān)問題，考查學(xué)生的分析問題能力和轉(zhuǎn)化

能力.

12.已知函數(shù)/(%)的定義域為(0,+紇)，導(dǎo)函數(shù)為了'(X),獷(x)-/(x)=xlnx,且則()

A.廣(力=0B./(力在x=；處取得極大值

c.0</(1)<1D./（%）在（0,+力）單調(diào)遞增

【答案】ACD

【解析】

分析】

根據(jù)題意可設(shè)了（力=5只1?工+笈，根據(jù)，求"再求r（x）判斷單調(diào)性求極值即可.

2\e)e

【詳解】,??函數(shù)/(X)的定義域為(0,+。)，導(dǎo)函數(shù)為y(x),#'(x)-/(x)=xlnx

即滿足皿±23=如

x2X

...y/'(力一/⑺

.../叫_Inx

[x)x

可設(shè)/H=_L]n2x+8(b為常數(shù))

x2

/./(x)=^xln2x+/?x

121b11

V/-=---ln-+-=-,解得b=一

\e)2eeee2

/.f(x]=-x\n2x+—x

v722

.-./(l)=p滿足O</(1)<1

AC正確

ii19

*//r(x)=—In2x4-lnx+-=—(lnx+1)">0,且僅有=o

，B錯誤，A、D正確

故選：ACD

【點睛】本題主要考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點，屬于中檔題.

三、填空題

13.(x+2y)(x—的展開式中x2y4的系數(shù)為.

【答案】-15

【解析】

【分析】

把y)5按照二項式定理展開，可得(x+2y)(x-y)5的展開式中fy’的系數(shù).

【詳解】(x+2y)(x-?=(x+2y)-(U-C；+?-x2y3+C^-x'y4-Cf-y5),

故它的展開式中x2/的系數(shù)為C；-2C；=-15,

故答案為：-15.

【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知/是平面a,4外的直線，給出下列三個論斷，①///a；②。_L，：③以其中兩個論斷

為條件，余下的論斷為結(jié)論，寫出一個正確命題：.(用序號表示)

【答案】若①③，則②或若②③，則①(填寫一個即可)；

【解析】

【分析】

利用空間直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷，///a,?4時，/與夕可能平行或者相交.

【詳解】因為///a,時，/與￡可能平行或者相交，所以①②作為條件，不能得出③;

因為///a,所以a內(nèi)存在一條直線〃z與/平行，又所以加_L￡,所以可得。_1,，即①③作為

條件，可以得出②；

因為4，所以///a或者/ua,因為/是平面a外的直線，所以〃/a，即即②③作為條件,

可以得出①；

故答案為：若①③，則②或若②③，則①（填寫一個即可）；

【點睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的判斷，稍微具有開放性，熟悉空間的相關(guān)定理及模型是求解的關(guān)鍵,

側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).

15.已知雙曲線「一旦=1（“>0,。>0）過左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于p,Q兩點，以尸，Q

ab"

為圓心的兩圓與雙曲線的同一條漸近線相切，若兩圓的半徑之和為氐，則雙曲線的離心率為.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】

首先求P,Q兩點的坐標(biāo)，代人圓心到直線的距離，由已知條件建立等式求得2=Y5,最后再求雙曲線的

a2

離心率.

【詳解】設(shè)E（-G。），當(dāng)彳=一。，代人雙曲線方程0J

二1，

不

T2（L2、（r2、

解得：y=±—,設(shè)尸-3一,Q-c,---

a

a\）I。J

根據(jù)對稱性，可設(shè)與兩圓相切的漸近線是y=&x,

a

則P,。兩點到漸近線的距離卜",-"I+卜〃。+"I=島,

-c>b,上式去掉絕對值為"土生+也比=百。,

CC

3

雙曲線的離心率6=—.

2

3

故答案為：一

2

【點睛】本題考查雙曲線的離心率，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.

16.我國的西氣東輸工程把西部的資源優(yōu)勢變?yōu)榻?jīng)濟(jì)優(yōu)勢，實現(xiàn)了氣能源需求與供給的東西部銜接，工程建

設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展輸氣管道工程建設(shè)中，某段管道鋪設(shè)要經(jīng)過一處峽谷，峽谷內(nèi)恰好

有一處直角拐角，水平橫向移動輸氣管經(jīng)過此拐角，從寬為27米峽谷拐入寬為8米的峽谷.如圖所示，位

于峽谷懸崖壁上兩點E、尸的連線恰好經(jīng)過拐角內(nèi)側(cè)頂點。（點￡、。、P在同一水平面內(nèi)），設(shè)EF與

較寬側(cè)峽谷懸崖壁所成角為則EF的長為（用8表示）米.要使輸氣管順利通過拐角，其長度

不能低于米.

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