第5章 函數(shù)概念與性質(zhì) 章末題型歸納總結(jié) -蘇教版高一《數(shù)學(xué)》同步學(xué)與練

第第頁第5章函數(shù)概念與性質(zhì)章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求具體函數(shù)與抽象函數(shù)的定義域經(jīng)典題型二：求函數(shù)的解析式經(jīng)典題型三：求函數(shù)的值域經(jīng)典題型四：函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)典題型五：函數(shù)的奇偶性經(jīng)典題型六：函數(shù)的圖像經(jīng)典題型七：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求具體函數(shù)與抽象函數(shù)的定義域例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.例2．（2023·浙江臺(tái)州·高一路橋中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域滿足：，解得且.故選：D例3．（2023·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)椋傻煤瘮?shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，可得解得，所以函數(shù)定義域?yàn)椋蔬x：D．例4．（2023·遼寧鞍山·高一鞍山一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，解得，所以的定義域?yàn)?故選：C.例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以的定義域?yàn)椋?，得，所以的定義域?yàn)?，故選：D例6．（2023·吉林長春·高一長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，可得，令，解得．所以函?shù)的定義域?yàn)椋蔬x：C.例7．（2023·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】中，，則，所以函數(shù)中，解得，故選：A．例8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）等腰三角形的周長為20cm，底邊長ycm是腰長xcm的函數(shù)，則此函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．(0，10) B．(0，5)C．(5，10) D．[5，10)【答案】C【解析】利用兩邊之和大于第三邊及邊長為正數(shù)可得函數(shù)的定義域.由題設(shè)有，由得，故選:C.經(jīng)典題型二：求函數(shù)的解析式例9．（2023·山東德州·高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知是一次函數(shù)，，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知，求的解析式．【解析】（1）由題意，設(shè)函數(shù)為，，即，由恒等式性質(zhì)，得，所求函數(shù)解析式為（2），①，②②①得：，．（3）令，則，因?yàn)?，所以，所以．?0．（2023·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（2）已知，求的解析式．【解析】（1）由是二次函數(shù)，設(shè)，由，得，由，得，化簡(jiǎn)并整理得，因此，解得，所以.（2）用替換中的x，得，由，解得，所以.例11．（2023·江西宜春·高一江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下列條件，求的解析式.(1)已知(2)已知是二次函數(shù)，且滿足【解析】（1）令，則，，所以由，得，所以；（2）由題意設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，所以，得，所?例12．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考階段練習(xí)）分別求滿足下列條件的的解析式：(1)已知，求；(2)已知函數(shù)是一次函數(shù)，若，求；(3)已知，求.【解析】（1）方法一（配湊法）：，.方法二（換元法）：令，則，，即.（2）函數(shù)是一次函數(shù)，設(shè)，則.又，，解得，或或.（3），令，，即函數(shù)的解析式為：例13．（2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知為二次函數(shù)，且，求函數(shù)的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式．【解析】（1）設(shè)，則有：，所以，所以，所以.（2）令.則，所以，所以的解析式為.例14．（2023·湖南永州·高一永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式；（2）已知，求的解析式；【解析】（1）由題意，設(shè)函數(shù)為，，，即，由恒等式性質(zhì)，得，，，所求函數(shù)解析式為（2）令，則，，因?yàn)?，所以，所?例15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）回答下面問題(1)已知，求；(2)已知函數(shù)是一次函數(shù)，若，求.(3)已知，求的解析式；(4)已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式.【解析】（1）方法一（配湊法）：∵，∴．方法二（換元法）：令，則，∴，即．（2）設(shè)，則．又，∴，，解得或，∴或．（3）令，則，，因?yàn)?，所以，所以；?）由題可設(shè)，則，，所以，所以，所以，所以.例16．（2023·廣東東莞·高一東莞市常平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求解析式；（2）已知，求的解析式.（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有，求的解析式.【解析】（1）令，因?yàn)?，所以，則．由題意可知：，得，所以．所以.（2）法一：配湊法根據(jù)．可以得到．法二：換元法令，則，．.（3）因?yàn)棰?，所以②，由①②得：，解得?例17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知一次函數(shù)滿足，求的解析式．（2）已知二次函數(shù)滿足，，，求的解析式．【解析】設(shè)，則，于是有解得或所以或．（2）設(shè)，由題意得解得故．經(jīng)典題型三：求函數(shù)的值域例18．（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2).【解析】（1）由題意，在中，，，，，，，∴這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)?（2）由題意，在中，，∵，∴這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)?例19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.【解析】由題意可知，所以可得，即函數(shù)定義域?yàn)?，令，可得；則，當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)值域?yàn)?例20．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象，并寫出其值域．(1)；(2).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)圖象過點(diǎn).圖象如下圖所示．由圖可知，函數(shù)的值域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.圖象如下圖所示．由圖可知，函數(shù)的值域?yàn)?例21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3).【解析】（1）由于，且；所以可得，因此函數(shù)的值域是．（2）令，所以，即，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的值域?yàn)?（3）易知需滿足，即，即函數(shù)定義域?yàn)?；，由二次函?shù)性質(zhì)可得，所以的值域?yàn)椋?2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?（2）由，可得其對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最大值為，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?（3）由函數(shù)，可得其定義域?yàn)椋瑒t，即，所以函數(shù)的值域?yàn)榍?（4）令，則，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?例23．（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【解析】（1）（觀察法）由，分別代入求值，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）（配方法），由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）（分離常數(shù)法）

，因?yàn)?，所以，所以故函?shù)的值域?yàn)椋?）（換元法）

設(shè)，則，且，所以，由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故函數(shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，，故函數(shù)的值域?yàn)椋?）由知，整理得．當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，，即．故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）試求下列函數(shù)的定義域與值域．(1)，；(2)；(3)；(4).【解析】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑒t，同理可得，，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)?（4）要使函數(shù)有意義，需滿足，即，故函數(shù)的定義域是.設(shè)，則，于是，又，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?例25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）試求下列函數(shù)的定義域與值域.(1)，(2)(3)(4)【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，同理可得，，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)?（4）要使函數(shù)有意義，需滿足，即，故函數(shù)的定義域是.設(shè)，則，于是，又，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?經(jīng)典題型四：函數(shù)的單調(diào)性例26．（2023·山東德州·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)滿足對(duì)任意，且，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以需滿足，解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A例27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對(duì)實(shí)數(shù)，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，由增函數(shù)的定義可知，當(dāng)時(shí)，有，充分性成立；當(dāng)時(shí)，若，由函數(shù)定義可知矛盾，若，由函數(shù)單調(diào)性的定義可知矛盾，則，必要性成立.即對(duì)實(shí)數(shù)，“”是“”的充要條件.故選：C例28．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意，且，都有，則下列說法正確的是（

）A．是增函數(shù) B．是減函數(shù)C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)【答案】A【解析】不妨令，，令，，又，∴是增函數(shù)．故選:A.例29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【解析】，則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故的單調(diào)遞減區(qū)間是和.故選：B例30．（2023·廣東深圳·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的對(duì)稱軸為，要想函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則，解得，故選：D例31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C例32．（2023·浙江寧波·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，設(shè)，則為減函數(shù)，且在區(qū)間上大于零恒成立.所以.故選：A例33．（2023·黑龍江哈爾濱·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．定義域、值域分別是， B．單調(diào)減區(qū)間是C．定義域、值域分別是， D．單調(diào)減區(qū)間是【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故BD錯(cuò)誤；，因，故，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤，C正確；故選：C例34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1.求證：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù).【解析】設(shè)，則，從而，即，又，即，故f（x）在R上是增函數(shù).例35．（2023·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)證明：在區(qū)間上單調(diào)遞減；(2)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【解析】（1），解得，所以，任取，則，又，所以，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，，故二次函數(shù)必與x軸存在兩個(gè)交點(diǎn)，，只需要滿足即可，解出，因此實(shí)數(shù)t的取值范圍為.例36．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減；理由如下：取，規(guī)定，則，因?yàn)?，，所以，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減.例37．（2023·浙江寧波·高一余姚中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且.(1)求，的值，并判斷的單調(diào)性并證明；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）令，得，得令，得，得設(shè)是任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且，所以，所以因?yàn)?，所以，所以，因此即在上為增函?shù)（2）因?yàn)?，，即又，所以又因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上恒成立得在上恒成立即在上恒成立因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取最小值，所以，即時(shí)滿足題意.例38．（2023·浙江寧波·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中為常數(shù)．(1)若，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義法證明；(2)設(shè)，則在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，證明如下：由函數(shù)，設(shè)，則，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，可得，，所以，即，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).（2）由函數(shù)，且，則不等式，即為，即，所以不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式即為，顯然恒成立；當(dāng)時(shí)，即為在上恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．例39．（2023·廣東東莞·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明.【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，以下根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明：①設(shè)，則，，即，在內(nèi)是減函數(shù).②設(shè)由①知，即，在內(nèi)是增函數(shù).經(jīng)典題型五：函數(shù)的奇偶性例40．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故答案為：例41．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）（2）；（3）；（4）．這幾個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，你能在圖中分別標(biāo)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)嗎？

【解析】（1），定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)；（2），定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)；（3），定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)；（4），定義域?yàn)镽，由于，即，故為非奇非偶函數(shù)；各函數(shù)對(duì)應(yīng)圖像標(biāo)示如圖：例42．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，滿足(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；(3)若，求x的取值范圍.【解析】（1）依題意，，，令，則，所以.（2）函數(shù)是奇函數(shù).函數(shù)的定義域?yàn)镽，，令，，即，所以函數(shù)為奇函數(shù).（3）由，得，又，因此不等式，而函數(shù)是R上的增函數(shù)，則有，解得，所以x的取值范圍是.例43．（2023·全國·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)；（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以函?shù)是非奇非偶函數(shù)；（4）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù).例44．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）根據(jù)定義證明：函數(shù)在定義域R上是偶函數(shù)．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù).例45．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并加以證明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【解析】（1）為奇函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù).（2）為非奇非偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，且，所以，為非奇非偶函數(shù).（3）為非奇非偶函數(shù)，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，為非奇非偶函數(shù).（4）為奇函數(shù)，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù).（5）為偶函數(shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為偶函數(shù).（6）為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù).（7）為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.對(duì)于，都有，且.對(duì)于，，有，.同理可推得，，.綜上所述，，都有，所以為偶函數(shù).（8）為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.對(duì)于，都有，且.對(duì)于，，有，.同理可推得，，.綜上所述，，都有，所以為奇函數(shù).經(jīng)典題型六：函數(shù)的圖像例46．（2023·甘肅武威·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）將函數(shù)向左、向下分別平移2個(gè)、3個(gè)單位長度，所得圖像為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】因?yàn)椋傻煤瘮?shù)的大致圖像如圖所示，將其向左、向下分別平移2個(gè)、3個(gè)單位長度，所得函數(shù)圖像為C選項(xiàng)中的圖像.故選：C例47．（2023·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋涠x域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，即函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故AC錯(cuò)誤；由選項(xiàng)圖可知，都是討論的情況，當(dāng)時(shí)，，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可知，.函數(shù)在和上單調(diào)遞增，若，在和上單調(diào)遞減，若，在和上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；故選：B例48．（2023·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則其圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故函數(shù)為奇函數(shù)，因此A,B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值1，所以C錯(cuò)誤，故選：D.例49．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足：是偶函數(shù)，且函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像共有n個(gè)交點(diǎn)：，，…，，則（

）A．0 B．n C．2n D．4n【答案】C【解析】是偶函數(shù)，則，則關(guān)于軸對(duì)稱，又也關(guān)于軸對(duì)稱，則兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)兩兩關(guān)于軸對(duì)稱，則,故選：C.例50．（2023·吉林·高一吉林毓文中學(xué)校考期中）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若?dāng)時(shí)，f(x)的圖像如圖，則不等式的解是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，由圖像可得：的解集為；當(dāng)時(shí)，則.因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以.所以可化為：，即，對(duì)照?qǐng)D像可得：，解得：綜上所述：的解集為.故選：D．例51．（2023·河南洛陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若與的圖像有交點(diǎn)，，，則（

）A． B．0 C．3 D．6【答案】C【解析】由可得，函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，即點(diǎn)，由也滿足函數(shù)解析式，可得函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的圖像可以由奇函數(shù)的圖像向上平移1個(gè)單位得到，所以函數(shù)的圖像也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若與的圖像有交點(diǎn)，，，不妨設(shè)，由對(duì)稱性可得，，，，所以.故選：C例52．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，其部分圖像如圖所示．(1)求的值；(2)補(bǔ)全的圖像，并寫出不等式的解集．【解析】（1）由圖可知，，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以；（2）的圖像如上圖，不等式的解集為；綜上，，的解集為.例53．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知．(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的大致圖像．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，所以是偶函?shù)；（2）任取，且，則，，因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）由（2）同理可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，由（1）知是偶函數(shù)，則在和上單調(diào)遞減，所以其圖象如圖所示：例54．（2023·河南駐馬店·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．現(xiàn)已畫出函數(shù)在y軸左側(cè)的圖像，如圖所示，并根據(jù)圖像，完成以下問題．(1)畫出函數(shù)在y軸右側(cè)的圖像，并根據(jù)圖像寫出的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的解析式；(3)若函數(shù)，，求函數(shù)的最小值．【解析】（1）如圖，根據(jù)偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，可作出的圖像；由圖可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，.（2）令，則，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，解析式為（3），對(duì)稱軸為，開口朝上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；經(jīng)典題型七：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例55．（2023·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)．(1)求b的值；(2)若在上單調(diào)遞增，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，且，即是定義在上的奇函數(shù)，符合題意，所以.（2）若在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，且在處連續(xù)不斷，所以在上是增函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，可得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.例56．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，若滿足且．(1)求的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)求使成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，將代入可得，即，所以，即，因?yàn)?，所以，代入可得，解得，故；?）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：由（1）知，任取，所以因?yàn)?，所以，，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增；（3）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，即，根據(jù)單調(diào)性及定義域可得：，解得：，即.例57．（2023·四川南充·高一統(tǒng)考期末）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).(1)若.①求此函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；②求的值；(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論（寫出結(jié)論即可，不需證明）.【解析】（1）①，，而滿足，即為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.②，由①得，即，所以.（2）“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”，類比已知條件可得，一個(gè)一個(gè)推廣結(jié)論為：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).（答案不唯一）例58．（2023·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┤艉瘮?shù)，且．(1)求實(shí)數(shù)的值，并寫出函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；(3)若已知在上單調(diào)遞增，不需證明直接判斷函數(shù)的奇偶性并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】（1）由已知，解得；故，定義域?yàn)榍?（2）由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明：任意取，且，則，，又因?yàn)?，所以，所以，即：，，所以函?shù)在上單調(diào)遞減.（3）因?yàn)?，定義域?yàn)榍?，所以，所以為奇函?shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上也單調(diào)遞增，又由（2）知，在上單調(diào)遞減，所以在上也單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和．例59．（2023·云南紅河·高一?？茧A段練習(xí)）我們知道，函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．依據(jù)推廣結(jié)論，已知關(guān)于中心對(duì)稱；(1)求的解析式；(2)求的值．【解析】（1）設(shè)，則為奇函數(shù)，依題可知且，故，整理得，故則所以函數(shù)（2）知函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為，故，所以且，記,則，兩式相加得,故例60．（2023·廣東廣州·高一廣州市天河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最小值記為.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)求的最小值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其圖象對(duì)稱軸為，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,則，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋唬?）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故；當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故；當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故；故.例61．（2023·湖南株洲·高一株洲市南方中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)，都有成立，且．(1)求的值；(2)求的解析式；(3)已知，設(shè)：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；：在上單調(diào)．如果使成立的a的集合記為，使成立的a的集合記為，求．【解析】（1）∵對(duì)一切實(shí)數(shù)，都有，，∴令、，得，解得：.（2）∵對(duì)一切實(shí)數(shù)，都有，∴令，得，又∵由（1）知，∴，.（3）（i）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，令，對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則，∴由可得，即.（ii），對(duì)稱軸為，∵在上單調(diào)，∴或，解得：或，即，∴，∴.例62．（多選題）（2023·安徽亳州·高三蒙城縣第六中學(xué)校考階段練習(xí)）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的值可以是（

）A． B． C．1 D．3【答案】AC【解析】因?yàn)槎x在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，可得，，在單調(diào)遞減，對(duì)于不等式，則有：當(dāng)時(shí)，，不滿足不等式；當(dāng)時(shí)，可得，且在單調(diào)遞減，解得；當(dāng)時(shí)，可得，且在單調(diào)遞減，解得；綜上所述：不等式的解集為.顯然，，故A、C正確，B、D錯(cuò)誤.故選：AC.例63．（多選題）（2023·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，是偶函數(shù)，故，而對(duì)應(yīng)的是，即為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是偶函數(shù)，等價(jià)于是偶函數(shù)，即，函數(shù)，則，即為奇函數(shù)，故的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上也單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，由以上分析可知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，但無法判斷的單調(diào)性，故由無法判斷的大小關(guān)系，則也無法判斷的大小關(guān)系，而的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而無法判斷的大小關(guān)系，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，故，且由以上分析可知在R上單調(diào)遞增，故由可得，即，所以，即，D正確，故選：BD例64．（多選題）（2023·遼寧鞍山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)與的圖象關(guān)于對(duì)稱B．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．若為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．若為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為【答案】CD【解析】令函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，故A錯(cuò)誤；函數(shù)為奇函數(shù)，則，即恒成立，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；為奇函數(shù)，則，即，所以，即圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，所以關(guān)于成中心對(duì)稱，故C正確；為偶函數(shù)，則，即，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又在上為增函數(shù)，，所以，平方可得，解得，故D正確.故選：CD模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類討論思想例65．設(shè)函數(shù)，用表示，中的較大者，記為，則的最小值是（

）A．1 B．3 C．0 D．【答案】A

【解析】令，解得或，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有最小值，綜上：函數(shù)的最小值為1，故選：例66．已知冪函數(shù)滿足，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】由冪函數(shù)的概念可知，，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，則，滿足題意，則，其定義域?yàn)榱睿瑒t，所以，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x例67．若定義在R的奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C

【解析】定義在R的奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以在上也是單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以