第05講 角平分線的性質(zhì)（6大知識(shí)點(diǎn)+5大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)）人教版2024年暑假七升八《數(shù)學(xué)》銜接講義（解析版）

第第頁第05講角平分線的性質(zhì)（6大知識(shí)點(diǎn)+5大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)）題型一角平分線性質(zhì)定理及證明題型二角平分線的性質(zhì)定理題型三角平分線的判定定理題型四角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用題型五作角平分線(尺規(guī)作圖)知識(shí)點(diǎn)01尺規(guī)作角平分線1）作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要熟練掌握.2）尺規(guī)作角平分線方法（重要）：已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.（2）分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.知識(shí)點(diǎn)02角平分線的性質(zhì)1）角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。2）證明角平分線的性質(zhì)（利用三角形全等證明即可）知識(shí)點(diǎn)03角平分線的性質(zhì)定理應(yīng)用1）理解角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.角平分線的性質(zhì)定理的作用是證明線段相等.2）一般情況下，我們要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即：（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.知識(shí)點(diǎn)04角平分線的判定定理1）定理語言表述：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。2）定理的幾何表述：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.3）應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.4）定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上。知識(shí)點(diǎn)05三角形的內(nèi)角平分線結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.已知如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.(4)角平分線性質(zhì)定理的逆定理：①在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.②定理的作用：用于證明兩個(gè)角相等或證明一條射線是一個(gè)角的角平分線注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系.，(5)關(guān)于三角形三條角平分線的定理：①三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.②定理的作用：a:用于證明三角形內(nèi)的線段相等；b:用于實(shí)際中的幾何作圖問題.(6)三角形三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.知識(shí)點(diǎn)06常見角平分線的相關(guān)輔助線1）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．2）過邊上的點(diǎn)向角平分線作垂線（角平分線+內(nèi)垂直）：取被平分角邊上一點(diǎn)，向角平分線作垂線，并延長(zhǎng)至與另一個(gè)邊相交；目的：構(gòu)造一組關(guān)于角平分線對(duì)稱的全等直角三角形；適用條件：往往題干中已有線段與角平分線垂直，只需延長(zhǎng)垂線段即可。3）過平分線上的點(diǎn)作一條邊平行線構(gòu)造等腰三角形（角平分線+平行線）：=1\*GB3①有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。=2\*GB3②通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。4）利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長(zhǎng)補(bǔ)短（角平分線+截線段等）：在角的兩邊上實(shí)施截長(zhǎng)或補(bǔ)短；目的：構(gòu)造出已角平分線為對(duì)稱軸的全等三角形。因?yàn)榻瞧椒志€已經(jīng)具備了全等三角形的兩個(gè)條件（角相等和公共邊），所以在處理角的平分線的問題時(shí)，常作出全等三角形的第三個(gè)條件，截兩邊相等（SAS）或向兩邊作垂線段（AAS）或延長(zhǎng)線段等來構(gòu)造全等三角形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件?！镜湫屠}一角平分線性質(zhì)定理及證明】1．（22-23八年級(jí)上·河北邯鄲·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．三角形三條角平分線的交點(diǎn)是三角形的重心B．三角形的中線、角平分線、高都是線段C．三角形的一條角平分線把該三角形分成面積相等的兩部分D．三角形的三條高都在三角形內(nèi)部【答案】B【分析】根據(jù)三角形重心概念、三角形的中線、角平分線、高性質(zhì)判斷求解即可．【詳解】解：三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形的重心，故A錯(cuò)誤，不符合題意；三角形的中線、角平分線、高都是線段，故B正確，符合題意；三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分，故C錯(cuò)誤，不符合題意；銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，故D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形重心，熟練掌握三角形重心概念、三角形的中線、角平分線、高性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級(jí)上·北京西城·期末）如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在（

）A．在、兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處C．在、兩邊中線的交點(diǎn)處 D．在、兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處【答案】B【分析】根據(jù)三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等即可選擇．【詳解】根據(jù)三角形的角平分線性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線性質(zhì)，掌握三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．3．（22-23七年級(jí)上·河北保定·期末）如圖，已知，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為①平分；②平分；③平分；④平分．【答案】2個(gè)【分析】根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】AD不一定平分∠BAF，①錯(cuò)誤；AF不一定平分∠DAC，②錯(cuò)誤；∵∠1=∠2，∴AE平分∠DAF，③正確；∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠CAE，∴AE平分∠BAC，④正確；綜上，③④正確，共2個(gè)，故答案為：2個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的角平分線的概念和性質(zhì)，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．4．（22-23八年級(jí)上·河北唐山·期末）如圖，的三邊，，的長(zhǎng)分別是10，15，20，其三條角平分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，將分成三個(gè)三角形，則等于．【答案】2：3：4【分析】過點(diǎn)O分別向三邊作垂線段，通過角平分線的性質(zhì)得到三條垂線段長(zhǎng)度相等，再通過面積比等于底邊長(zhǎng)度之比得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)O分別向BC、BA、AC作垂線段交于D、E、F三點(diǎn)．∵CO、BO、AO分別平分∴∵，，∴故答案為：2：3：4【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，往三角形的三邊作垂線段并得到面積之比等于底之比是解題關(guān)鍵．5．（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，已知：BC是從直線AB上出發(fā)的一條射線，BE平分∠ABC，∠EBF=90°．求證：BF平分∠CBD．【答案】見解析【分析】由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠ABC，則∠CBF=90°-∠ABC，從而可得∠DBF=180°-∠ABC-∠CBF=180°-∠ABC-(90°-∠ABC)=90°-∠ABC=∠CBF，即可證得結(jié)論．【詳解】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABC，∵∠EBF=90°，∴∠CBF=90°-∠ABC，∴∠DBF=180°-∠ABC-∠CBF=180°-∠ABC-(90°-∠ABC)=90°-∠ABC=∠CBF．∴BF平分∠CBD．【點(diǎn)睛】涉及到角的運(yùn)算時(shí)，充分利用已知條件和隱含條件（平角、余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角等）是解題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級(jí)上·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖，，是的中點(diǎn)，平分，求證：平分．

【答案】見解析【分析】過點(diǎn)M作于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及判定，即可證得．【詳解】證明：如圖：過點(diǎn)作，垂足為，平分，，，（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），又，，，，平分（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及判定，熟練掌握和運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及判定是解決本題的關(guān)鍵．【典型例題二角平分線的性質(zhì)定理】1．（22-23八年級(jí)·遼寧大連·期末）三條公路將A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是（

）

A．三條高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可．【詳解】解：在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在、、的角平分線的交點(diǎn)處．故選：C．2．（23-24八年級(jí)下·湖南株洲·期中）如圖，已知點(diǎn)在的平分線上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則長(zhǎng)（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】此題考查了角平分線性質(zhì)性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，利用角平分線性質(zhì)定理即可得出．【詳解】解：平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，故選：C．3．（23-24八年級(jí)上·廣東江門·期末）如圖，平分，，如果，那么點(diǎn)到的距離等于【答案】6【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)推出．過作于，由角平分線的性質(zhì)推出，即可得到點(diǎn)到的距離等于6．【詳解】解：過作于，平分，，，點(diǎn)到的距離等于6．故答案為：6．4．（23-24八年級(jí)下·陜西寶雞·期中）如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且，，則的面積是．【答案】14【分析】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得；最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵平分，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴，∴；故答案為：14．5．（22-23七年級(jí)下·四川成都·期末）把兩個(gè)同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖1所示方式疊合放置，得到如圖2的和，設(shè)M是AD與BC的交點(diǎn)，則這時(shí)MC的長(zhǎng)度就等于點(diǎn)M到AB的距離，你知道這是為什么嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】見解析【分析】過點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得根據(jù)題意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，從而得到∠CAD=∠BAD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，∴∠CAD=30°，∴∠CAD=∠BAD，∵M(jìn)E⊥AB，∴∠AEM=90°，∴CM=EM，即MC的長(zhǎng)度就等于點(diǎn)M到AB的距離．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級(jí)上·福建泉州·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在邊AC上．（1）求證：DC=DE；（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面積等于6，求DE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）中證得DC=DE，然后根據(jù)即可求出DE的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵∠C=90°，∴，又∵∠CAD=∠BAD，DE⊥AB∴DC=DE；（2）∵DC=DE，∴，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線性質(zhì)定理，三角形面積的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得DC=DE．【典型例題三角平分線的判定定理】1．（22-23八年級(jí)下·山西運(yùn)城·期中）到三角形各邊距離相等的點(diǎn)是三角形的（

）A．三條邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【答案】C【分析】本題主要考查角平分線的判定定理，根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上，熟練掌握角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”可知：到三角形三條邊距離相等的點(diǎn)是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇·周測(cè)）如圖，在上求一點(diǎn)P，使它到，的距離相等，則P點(diǎn)是（

）A．線段的中點(diǎn) B．與的中垂線的交點(diǎn)C．與的平分線的交點(diǎn) D．與的中垂線的交點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的判定定理求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P到，的距離相等，∴點(diǎn)P在的平分線上，又點(diǎn)P在上，∴P點(diǎn)是與的平分線的交點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定定理，熟知在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上是解答的關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)上·上海虹口·期末）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的．【答案】角平分線【分析】根據(jù)角平分線的判定可知．【詳解】解：根據(jù)角平分線的判定可知：平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的角平分線，故答案為：角平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，解題關(guān)鍵是明確在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．4．（22-23八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)，，若，則．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的判定定理解答即可．【詳解】∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，，∴是的平分線，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的判定，掌握到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）已知，在中，，，，，求證：平分．【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的判定定理；作于點(diǎn)E，由三角形的面積得，從而可得，由角平分線的判定定理即可得證；掌握角平分線的判定定理“在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在角的平分線上．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)E，又，，，

，，平分．6．（22-23八年級(jí)上·四川·期末）如圖，是的平分線，，點(diǎn)在上，連接、，分別過點(diǎn)作、的垂線、，垂足分別為、．（1）求證：；（2）求證：．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)SAS證明≌即可求解；（2）證明是的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】證明：（1）∵是的平分線∴在和中∴≌∴（2）由（1）可知：∴∴是的平分線∵，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)與證明，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與角平分線的性質(zhì)．【典型例題四角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】1．（22-23八年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，三條公路兩兩交叉，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫(kù)，若要求油庫(kù)到三條公路的距離都相等，則滿足條件的油庫(kù)的位置有（

）

A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【答案】D【分析】根據(jù)角平分的性質(zhì)，即可得出油庫(kù)的位置在角平分線的交點(diǎn)處，依此畫出圖形，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵三條公路兩兩相交，要求油庫(kù)到這三條公路的距離都相等，

∴油庫(kù)在角平分線的交點(diǎn)處，畫出油庫(kù)位置如圖所示．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級(jí)上·甘肅慶陽·期中）慶陽市是傳統(tǒng)的中藥材生產(chǎn)區(qū)，優(yōu)越的地理氣候條件形成了較獨(dú)特的資源稟賦，孕育了豐富的中藥植物資源和優(yōu)良品種，素有“天然藥庫(kù)”“中藥之鄉(xiāng)”的美稱．如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)盛產(chǎn)中藥材的村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，此地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)中藥材批發(fā)市場(chǎng)，要使批發(fā)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)批發(fā)市場(chǎng)應(yīng)建在（

）A．三角形的三條中線的交點(diǎn)處 B．三角形的三條角平分線的交點(diǎn)處C．三角形的三條高的交點(diǎn)處 D．以上位置都不對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求解．【詳解】解∶∵角平分上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，且批發(fā)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，∴這個(gè)批發(fā)市場(chǎng)應(yīng)建在三角形的三條角平分線的交點(diǎn)處．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．（22-23七年級(jí)下·江西吉安·期末）在直角中，，平分交于點(diǎn)D，若，則點(diǎn)D到斜邊的距離為．

【答案】7【分析】根據(jù)點(diǎn)D在的平分線上則點(diǎn)D到角的兩邊距離相等即可求解．【詳解】解：作，則即為所求，

∵平分于點(diǎn)D，∴（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）．∵，∴，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解點(diǎn)到兩邊的距離相等．4．（22-23八年級(jí)上·貴州遵義·期末）如圖，已知的周長(zhǎng)是22，PB、PC分別平分和，于D，且，的面積是．【答案】33【分析】連接AP，過點(diǎn)P分別作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可得PD=PE=PF=3，再根據(jù)三角形的面積等于三個(gè)小三角形的面積之和，即可求解．【詳解】解：如圖，連接AP，過點(diǎn)P分別作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，∵PB、PC分別平分和，于D，∴PD=PE，PD=PF，∴PD=PE=PF=3，∵的周長(zhǎng)是22，∴的面積是．故答案為：33【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（22-23九年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，中，，平分交于點(diǎn)，，，求到的距離．【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，cm，求得cm，再由角平分線的性質(zhì)定理即可求得到的距離．【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，cm，cm，又平分，∠C=90°，cm，即到的距離cm．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級(jí)下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，某人有一塊三角形的土地，已知其面積為6m2，通過測(cè)量可知周長(zhǎng)為12m，I為ABC的三條角平分線交點(diǎn)，求點(diǎn)I到每條邊的距離？【答案】1m【分析】先連接角平分線交點(diǎn)與各個(gè)定點(diǎn)，然后過交點(diǎn)作各個(gè)邊的高，根據(jù)三角形的面積和周長(zhǎng)來求交點(diǎn)到各個(gè)邊的距離．【詳解】如圖，連接IA，IB，IC，作于一點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F∵I為的三條角平分線的交點(diǎn)∴IA，IB，IC分別為三個(gè)內(nèi)角的角平分線∴ID=IE=IF∵，㎡∴即∴∵m∴∴m∴ID=IE=IF=1m即點(diǎn)I到每條邊的距離為1m．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形的面積聯(lián)系三角形的周長(zhǎng)求得高．【典型例題五作角平分線(尺規(guī)作圖)】1．（23-24八年級(jí)上·廣東東莞·期中）下列尺規(guī)作圖中，屬于作一個(gè)銳角平分線的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】此題主要考查了基本作圖．作一個(gè)角的平分線．【詳解】解：選項(xiàng)A屬于作一個(gè)銳角平分線；故選：A．2．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖的尺規(guī)作圖是作（）A．線段的垂直平分線 B．一個(gè)角等于已知角C．一條直線的平行線 D．一個(gè)角的平分線【答案】D【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，根據(jù)作法解答即可．【詳解】解：由圖形知，該尺規(guī)作圖的步驟依次是：以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑，交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心的長(zhǎng)度為半徑畫弧，則即為的平分線，故選：D．3．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期中）已知村政府現(xiàn)要在如圖所示區(qū)域內(nèi)，修建到，，三條公路距離相等的加油站P，則加油站的選址共有種選擇．【答案】4【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，注意：三角形的外角平分線的交點(diǎn)不要漏掉，思考問題要全面．加油站到三條公路的距離相等，那么加油站應(yīng)該建在的內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)處或外角的角平分線的交點(diǎn)處，故滿足要求的加油站位置共有4個(gè)，作出其中一個(gè)即可．【詳解】解：滿足要求的加油站位置共有4個(gè)，如圖所示，點(diǎn)即為所求．（答案不唯一，畫出，，也可以）故答案為：4．4．（22-23七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）用用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的角平分線示意圖如圖所示，則說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（填寫：SSS或SAS或ASA或AAS）．【答案】SSS【分析】根據(jù)角平分線的作法可知MO=NO，CO=CO，MC=NC，符合三角形全等的判定方法中的SSS，可證△OMC≌△ONC，即證∠AOC=∠BOC．【詳解】解：由作法知MO=NO，CO=CO，MC=NC，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠AOC=∠BOC．故答案為：SSS．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．要在作法中找已知條件．5．（2024·陜西榆林·三模）尺規(guī)作圖：如圖，在中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在上找一點(diǎn)D，使得平分．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見詳解【分析】本題考查了作角平分線的尺規(guī)作圖，先以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交于，再以點(diǎn)為圓心，大于的一半長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于一點(diǎn)E，然后連接交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)D，【詳解】解：點(diǎn)D如圖所示：

6．（23-24九年級(jí)下·廣東汕頭·階段練習(xí)）如圖，中，，．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線；（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若，直接寫出的面積為：．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的作法即可完成作圖；（2）作于，由角平分線的性質(zhì)定理得出，再由三角形面積公式計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，角平分線即為所作，；（2）解：如圖，作于，，∵平分，，∴，∴．【變式訓(xùn)練1角平分線性質(zhì)定理及證明】1．（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，已知，兩個(gè)完全一樣的三角板如圖擺放，它們的一組對(duì)應(yīng)直角邊分別在，上，且這組對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)M，點(diǎn)M一定在（

）A．邊的高上 B．的平分線上 C．的平分線上 D．邊的中線上【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的判定推出M在的角平分線上，即可得到答案．【詳解】解：如圖：，，，在的角平分線上，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)角平分線的判定定理的理解和掌握，能熟練地利用角平分線的判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．2．（2023七年級(jí)下·河南周口·專題練習(xí)）如圖，平分，．填空：因?yàn)槠椒?，所以．從而．因此．【答案】【分析】由AC平分∠DAB，∠1＝∠2，可得出∠CAB＝∠2，由內(nèi)錯(cuò)角相等可以得出兩直線平行．【詳解】解：∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠CAB．又∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠2，∴ABDC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：∠CAB，∠CAB，DC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是找出∠CAB＝∠2．解決該類題型只需牢牢掌握平行線的判定定理即可．3．（22-23八年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知：如圖，ABC中，∠ABC的平分線BD與∠ACB的平分線CE交于點(diǎn)I，連接AI并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F．求證：AF平分∠BAC．【答案】見解析【分析】過點(diǎn)I分別向△ABC的邊BC、AC、AB作垂線，垂足分別為點(diǎn)G、H、K，然后由角平分線的性質(zhì)得到IG＝IH，IG＝IK，然后得到IH＝IK，再證明△IHA≌△IKA即可得到AF平分∠BAC．【詳解】證明：如圖所示，過點(diǎn)I分別作IG⊥BC、IH⊥AC、IK⊥AB，垂足分別G、H、K，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴IG＝IH，IG＝IK，∴IH＝IK，在Rt△IHA和Rt△IKA中，，∴Rt△IHA≌Rt△IKA（HL），∴∠IAH＝∠IAK，∴AF平分∠BAC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2角平分線的性質(zhì)定理】1．（22-23八年級(jí)上·河南漯河·階段練習(xí)）三角形內(nèi)到三角形各邊的距離都相等的點(diǎn)必在三角形的（

）A．中線上 B．角平分線上 C．高線上 D．不能確定【答案】B【分析】此題考查的是角平分線的判定，掌握角平分線的判定定理是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵三角形內(nèi)的點(diǎn)到三角形各邊的距離都相等，∴該點(diǎn)在各內(nèi)角的角平分線上，故B正確．故選：B．2．（22-23八年級(jí)上·北京·期中）如圖，在中，，平分，則的面積是．

【答案】2【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，據(jù)此作，得出即可求解．【詳解】解：作，如圖所示：

∵平分，∴∵，∴的面積，故答案為：3．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在中，是的角平分線，于點(diǎn)E，，，，求的面積．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)．熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，作于，則，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】解：如圖，作于，∵平分，，，∴，，，∴，∴的面積為．【變式訓(xùn)練3角平分線的判定定理】1．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）如圖，將兩個(gè)完全相同含角的三角尺與按圖示位置擺放，這兩個(gè)三角尺直角邊所在直線交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，射線就是的角平分線，判斷的依據(jù)是（）A．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等B．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上C．三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等D．以上均不正確【答案】B【分析】本題考查角平分線的判定，涉及“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”，掌握角平分線的判定是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可知，本題判斷射線就是的角平分線的依據(jù)是“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”，故選：B．2．（22-23八年級(jí)上·江蘇徐州·期中）如圖，在的內(nèi)部取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，若，且，則°．【答案】15°/15度【分析】根據(jù)角平分線的判定可得答案．【詳解】解：∵，，且，∴平分，∴，故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，掌握到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）判斷下面的證明過程是否正確，并說明理由．已知：如圖，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，且．求證：平分．證明：∵點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且（已知），∴平分（在一個(gè)角的內(nèi)部且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）．【答案】證明見解析【分析】本題考查了角平分線的判定，熟悉掌握判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的判定方法補(bǔ)充條件解答即可．【詳解】解：不正確．需添加條件，，，證明：∵點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且，，，（已知），∴平分（在一個(gè)角的內(nèi)部且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）．【變式訓(xùn)練4角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】1．（22-23八年級(jí)上·河南洛陽·期中）如圖，在中，是它的角平分線，cm，cm，則（）A．16：9 B．9：1 C．3：4 D．4：3【答案】D【分析】利用角平分線的性質(zhì)，可得出的邊上的高與的上的高相等，根據(jù)三角形的面積公式，即可得出與的面積之比等于對(duì)應(yīng)邊之比．【詳解】解：∵是的角平分線，∴設(shè)的邊上的高與的上的高分別為∴，∴與的面積之比=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，直線a、b、c分別表示相互交叉的馬路，要建一個(gè)停車場(chǎng)要求到三條馬路的距離相等，那么符合條件的修建點(diǎn)有處．

【答案】4【分析】由三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件；然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，這樣的點(diǎn)有3個(gè)，可得可供選擇的地址有4個(gè)．【詳解】解：如圖所示，可供選擇的地址有4個(gè)．

故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要考慮中轉(zhuǎn)站在△AOB內(nèi)部和外部?jī)煞N情況．3．（22-23八年級(jí)上·安徽阜陽·階段練習(xí)）太和中學(xué)校園內(nèi)有一塊直角三角形(RtABC)空地，如圖所示，園藝師傅以角平分線AD為界，在其兩側(cè)分別種上了不同的花草，在ABD區(qū)域內(nèi)種植了月季花，在△ACD區(qū)域內(nèi)種植了牡丹花，并量得兩直角邊AB＝10m，AC＝6m，分別求月季花與牡丹花兩種花草的種植面積．【答案】，【分析】過點(diǎn)分別作，是垂足，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)求得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求解可．【詳解】解：過點(diǎn)分別作，是垂足．由，得，，是的平分線，．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，理解角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5作角平分線(尺規(guī)作圖)】1．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·期末）如圖，在中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，且，點(diǎn)E是射線上一點(diǎn)，則的長(zhǎng)度不可能是（

）A．2 B．2.5 C．3 D．5【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線上點(diǎn)到角兩端的距離相等可得，由點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)即可得出即可求解．【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知：為的平分線，過點(diǎn)作，為的平分線且，，，，，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，，即，的長(zhǎng)度不可能為，故選：A．2．（22-23七年級(jí)下·河南平頂山·期末）如圖，在中，．以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，若，的面積為，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】5【分析】先根據(jù)尺規(guī)作圖描述得出為的角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)到的距離，進(jìn)而求出三角形的面積．【詳解】由作法得平分，如圖所示，過點(diǎn)D作于E，∵，

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，的面積．∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)并靈活應(yīng)用．3．（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，，交于點(diǎn)E，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到和的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，作出的平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所作【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所作，1．（22-23八年級(jí)上·河南周口·期中）如圖，的三邊，，長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則等于（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)分別作，，的垂線，可得，從而可證，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)分別作，，的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，

由角平分線的性質(zhì)定理得：，的三邊，，長(zhǎng)分別是20，30，40，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．2．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，平分，點(diǎn)P在上，，，則點(diǎn)P到的距離是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理．過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，∵平分，，，∴，故選：C．3．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·期末）如圖，直線，，表示三條公路.現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站，使到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站可選擇的點(diǎn)有（

）A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【答案】D【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并是解題的關(guān)鍵．由三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件;然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，這樣的點(diǎn)有3個(gè)，可得可供選擇的地址有4個(gè)．【詳解】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處；（2）三角形外角平分線的交點(diǎn)，共三處．故選：D．4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，．用尺規(guī)作圖法作出射線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查作圖基本作圖，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖形信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．利用角平分線的性質(zhì)定理判斷出即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．由作圖可知平分，，，，點(diǎn)到的距離為3．故選：B．5．（23-24九年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，兩把相同的直尺的一邊分別與射線重合，另一邊相交于點(diǎn)P，則平分的依據(jù)是（

）A．在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上B．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等C．角平分線的性質(zhì)D．角是軸對(duì)稱圖形【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．根據(jù)角平分線的判定定理進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵兩把相同的直尺寬度相同，∴點(diǎn)到射線的距離相等，∵在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，∴點(diǎn)在的平分線上，∴平分，故A正確．故選：A．6．（22-23七年級(jí)下·內(nèi)蒙古烏?！て谥校┤鐖D，ABCD，EFCD，CE平分∠ACD，∠A=110°，則∠CEF=【答案】145°【分析】首先利用求出的度數(shù)，然后利用角平分線的定義求出的度數(shù)，最后再利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】，．，．∵CE平分∠ACD，．，，，故答案為：145°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（23-24八年級(jí)下·福建三明·期末）如圖，在中，，平分，，則點(diǎn)D到邊的距離是．

【答案】4【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，

∵，平分，，∴，即點(diǎn)D到邊的距離是4，故答案為：4．8．（22-23八年級(jí)下·遼寧丹東·期中）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)是．

【答案】/度【分析】根據(jù)，，，可得為的角平分線．【詳解】∵，，，∴為的角平分線．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的