2023-2024學(xué)年四川省自貢市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年四川省自貢市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共11小題，每小題5分，共55分。1.在?OMN中，ON?MN+A.0 B.2MO C.2OM 2.復(fù)數(shù)2+3i1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.為了了解學(xué)生們的身體狀況，某學(xué)校決定采用按比例分層抽樣的方法，從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)共抽取100人進(jìn)行各項(xiàng)指標(biāo)測(cè)試．已知高三年級(jí)有500人，高二年級(jí)有700人，高一年級(jí)有800人，則高二年級(jí)抽取的人數(shù)為(

)A.40 B.35 C.30 D.254.水平放置的?ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知A′C′=3,B′C′=2，則?ABC的面積是(

)

A.4 B.5 C.6 D.75.若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是m，n，則點(diǎn)Pm,n在直線x+y=8上的概率是(

)A.112 B.19 C.5366.在?ABC中，B=30°,b=2,c=22，則A.3+3 B.3+1 C.7.已知?ABC中，AC?AB=0,2AD?AC?ABA.14CB B.34CB C.8.圖1是唐朝著名的風(fēng)鳥花卉紋浮雕銀杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球與圓柱的組合體(如圖2).設(shè)這種酒杯內(nèi)壁的表面積為Scm2，半球的半徑為3cm

，若半球的體積不小于圓柱體積，則S的取值范圍是A.[24π,+∞) B.(18π,24π] C.[30π,+∞) D.(18π,30π]9.設(shè)向量a,b滿足a=b=1，且A.a⊥b B.a?b=2

C.b?3a=10.下列命題中真命題是(

)A.如果不同直線m、n都平行于平面α，則m，n一定不相交

B.如果不同直線m，n都垂直于平面α，則m，n一定平行

C.如果平面α、β互相平行，若直線m?α，直線n?β，則m/?/n

D.如果平面α、β互相垂直，且直線m，n也互相垂直，若m⊥α，則n⊥β11.一家公司為了解客戶對(duì)公司新產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)選取了m名客戶進(jìn)行評(píng)分調(diào)查，根據(jù)評(píng)分?jǐn)?shù)進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出的頻率分布直方圖如圖所示，其中有8名客戶的評(píng)分?jǐn)?shù)落在40,50內(nèi)，則(

)

A.圖中的a=0.005

B.m=200

C.同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為76.2

D.該公司計(jì)劃邀請(qǐng)?jiān)u分?jǐn)?shù)低于第25百分位數(shù)的客戶參與產(chǎn)品改進(jìn)會(huì)議，若客戶甲的評(píng)分?jǐn)?shù)為66，則甲將會(huì)被邀請(qǐng)參與產(chǎn)品改進(jìn)會(huì)議二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z=1?3i，其中i為虛數(shù)單位，則z+2i=

．13.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，正八面體就是其中之一.正八面體由八個(gè)等邊三角形構(gòu)成，也可以看作由上、下兩個(gè)正方錐體黏合而成，每個(gè)正方錐體由四個(gè)三角形與一個(gè)正方形組成.如圖，在正八面體ABCDEF中，H是棱BC的中點(diǎn)，則異面直線HF與AB所成角的余弦值是

．14.如圖在平面四邊形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90°,∠ACD=30°,AB=BC，點(diǎn)E在線段BC上滿足BE=12EC，若三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(12分)某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，小李答對(duì)每道題目的概率為0.6，若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到題目，則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第3次為止．假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是相互獨(dú)立的．(1)用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示試驗(yàn)的可能結(jié)果，寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)求小李最后通過(guò)面試的概率．16.(12分)已知向量a=3,2(1)證明：a?(2)c與λa+b17.(12分)我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問(wèn)題較為突出．某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民用水標(biāo)準(zhǔn)x(單位：t)，月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解全市居民用水量分布情況，通過(guò)抽樣，獲得了100位居民某年的月均用水量(單位：t)，將數(shù)據(jù)按照0,0.5,0.5,1,???,4,4.5(1)求頻率分布直方圖中a的值；若該市有200萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3t的人數(shù)；(2)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)xt，估計(jì)x的值．18.(12分)如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠ABC=60°,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，將△BEF沿EF折起，使點(diǎn)B到P的位置，且(1)若平面PAC∩平面PEF=l，判斷AC與l的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)求直線PE與平面ABCD所成角的正弦值；(3)求二面角D?PE?F大小的余弦值．19.(12分)在?ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c．(1)若c?b=2bcosA，求證：(2)在(1)條件下，若A,B,C均為銳角，求1tan(3)若A,B為銳角且S?ABC=6,sin2A+si答案解析1.A

【解析】ON?故選：A．2.A

【解析】由題意可得：2+3i1+i可知52+1故選：A．3.B

【解析】根據(jù)按比例分層抽樣的抽樣可知：高二年級(jí)抽取的人數(shù)為100×700故選：B4.C

【解析】解：由題可知，?ABC為直角三角形，且AC⊥BC,AC=A′C′=3,BC=2B′C′=4，所以S△ABC

5.C

【解析】若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是m，n，則點(diǎn)Pm,n有6×6=36其中滿足m+n=8,m,n∈1,2,3,4,5,6的數(shù)對(duì)有2,6,3,5所以點(diǎn)Pm,n在直線x+y=8上的概率是5故選：C．6.D

【解析】由余弦定理可得b2=a整理可得a2?2所以?ABC的面積為S?ABC故選：D．7.B

【解析】因?yàn)锳C?AB=0，則AC又因?yàn)?AD?AC?AB=0且AD=AB，則AD=則∠ACB=30°，且可得CA?所以CA在CB上投影向量為CA?CB故選：B．8.D

【解析】解：設(shè)圓柱的高為

??>0

因?yàn)榘肭虻陌霃綖?cm

，半球的體積不小于圓柱體積，所以

23π×解得

?≤2

，即

?∈0,2

所以

．故選：D．9.AC

【解析】向量a,b滿足a=則3b?a2=9b2a?b=b?3a=由a+b?a?故選：AC10.B

【解析】解：對(duì)于A，如果不同直線m、n都平行于平面α，

則m、n可能平行、相交或異面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果不同直線m，n都垂直于平面α，

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知m，n一定平行，正確；對(duì)于C，如果平面α、β互相平行，若直線m?α，直線n?β，

則m/?/n或m,n異面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如果平面α、β互相垂直，且直線m，n也互相垂直，

若m⊥α，則n⊥β或n/?/β或n?β，

也可能n和β相交但不垂直，D錯(cuò)誤，故選：B．11.BCD

【解析】由頻率分布直方圖可知：0.004+a+0.018+0.022+0.028+0.022×10=1，解之得a=0.006，A評(píng)分落在40,50內(nèi)的有8人，所以m=80.004×10=200評(píng)分的平均數(shù)為45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2，C正確；0.04+0.06+0.22=0.32>0.25，所以第25百分位數(shù)在60,70組，設(shè)其為x，則0.04+0.06+x?60×0.022=0.25，所以甲會(huì)被邀請(qǐng)，D正確．故答案為：BCD12.26【解析】由復(fù)數(shù)z=1?3i，可得z=1+3i，則z+2i=1+5i，所以故答案為：2613.3【解析】解：取棱AC的中點(diǎn)G，連接HG，F(xiàn)G．

因?yàn)镠，G分別是棱BC，AC的中點(diǎn)，所以HG/?/AB，

則∠FHG或其補(bǔ)角是異面直線HF與AB所成的角．

設(shè)AC=2，則HG=1，

正方形ACFE中，

FG=22+12=5，

正三角形CFB中，

HF=3，

在△GHF中，由余弦定理可得，

cos∠FHG=HG14.334

【解析】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=BC=2，則有A0,0AD=ACtan30°=263DF=26AC=2,2，AD=因?yàn)锳C=λ所以，2,2所以，?2則λμ的值為3故答案為：315.解：(1)用Y表示答對(duì)題目，用N表示沒(méi)有答對(duì)題目，樣本點(diǎn)依次為Y,NY,NNY,NNN，故樣本空間Ω=

(2)由題意，李明未通過(guò)的概率為P(NNN)=0.4×0.4×0.4=0.064，所以李明通過(guò)面試的概率為P=1?P(NNN)=1?0.064=0.936．【解析】(1)先閱讀題意，然后一一列出樣本空間即可；(2)先求出未通過(guò)面試的概率，結(jié)合對(duì)立事件的概率求法，即可求解．16.解：(1)根據(jù)題意，a?則?1×3+1×3=0，所以a?

(2)c與λa+則c?解得λ<1若向量c//λa+b所以λ<17且

【解析】(1)求出a?(2)轉(zhuǎn)化為c?17.解：(1)由題意可知：每組的頻率依次為0.02,0.08,0.5a,0.2,0.26,0.5a,0.06,0.04,0.02，則0.02+0.08+0.5a+0.2+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.32；因?yàn)槿芯用裰性戮盟坎坏陀?t的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12，所以估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3t的人數(shù)為200×0.12=24萬(wàn).

(2)因?yàn)?.12<0.15，0.12+0.16=0.28>0.15，可知x∈2.5,3，則0.12+0.323?x=0.15

【解析】(1)根據(jù)頻率和為1求a的值；進(jìn)而求用水量不低于3t的頻率和人數(shù)；(2)分析可知x∈2.5,318.解：(1)l//AC，理由如下：由E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，得EF//AC，而EF?平面PEF，AC?平面PEF，則AC//平面PEF，又平面PAC∩平面PEF=l，AC?平面PAC，所以l//AC．

(2)令EF∩BD=G，連接PG，由ABCD是菱形，∠ABC=60°，得則AC⊥BD，EF⊥BD,EF⊥PG，而PG∩BD=G,PG,BD?平面PBD，于是EF⊥平面PBD，又EF?平面ABCD，則平面PBD⊥平面ABCD，在平面PBD內(nèi)過(guò)P作PQ⊥BD于Q，由平面PBD∩平面ABCD=BD，因此PQ⊥平面ABCD，連接EQ，則∠PEQ是直線PE與平面ABCD所成的角，在正?PEF中，PE=2,PG=3，cos∠PGD=(于是PQ=PGsin∠PGB=4所以直線PE與平面ABCD所成角的正弦值是2

(2)在?ADE中，DE即DE=27，顯然DE2+P取PE,PD的中點(diǎn)O,M，連接FO,MO,FM，則MO//DE，有MO⊥PE,FO⊥PE，因此∠FOM是二面角D?PE?F的平面角，而FM=1則cos∠FOM=所以二面角D?PE?F大小的余弦值是21【解析】(1)利用線面平行的判定、性質(zhì)判斷推理即得．(2)令EF∩BD=G，連接PG，求出點(diǎn)P到平面ABCD的距離即可求得線面角的正弦．(3)取PE,PD的中點(diǎn)O,M，探求二面角D?PE?F的平面角，再利用余弦定理計(jì)算即可．19.解：(1)因?yàn)閏?b=2bcosA，由正弦定理可得又因?yàn)閟inC=代入可得sinAcosB?因?yàn)?<A,B<π，則sinB>0，故0<A?B<π可得A?B=B或A?B+B=π，即A=2B或A=π(舍去)，所以A=2B．(2)因?yàn)?ABC為銳角三角形，A=2B，所以C=π?3B，由題意可得0<B<π20<2B<因?yàn)?tan因?yàn)锽∈π6,π4令sinA=t∈32,1且f32所以1tanB?

(3)因?yàn)閟in可得sinA因?yàn)锳,B為銳角，則有：若A>π2?B，即B>且y=sinx在可得sinA,