2024-2025學年新教材高考數(shù)學第八章立體幾何5考點1線面垂直的判定與性質(zhì)2練習含解析選修2

PAGE4PAGE3高考真題（2024?北京卷（理））已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：__________．【解析】將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：（1）假如l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）假如l⊥α，l⊥m，則m∥α.不正確，有可能m在平面α內(nèi)；（3）假如l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【答案】假如l⊥α，m∥α，則l⊥m.（2024?北京卷（理））如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設點G在PB上，且．推斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．【解析】（Ⅰ）由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD．（Ⅱ）以點A為坐標原點，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知：，由可得點F的坐標為，由可得，設平面AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面AEF的一個法向量為：，很明顯平面AEP的一個法向量為，，二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.（Ⅲ）易知，由可得，則，留意到平面AEF的一個法向量為：，其且點A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.（2024?全國II卷（理））如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.【解析】分析：（1）利用長方體的性質(zhì)，可以知道側面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面；（2）以點坐標原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，設正方形的邊長為，，求出相應點的坐標，利用，可以求出之間的關系，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的肯定值，最終利用同角的三角函數(shù)關系，求出二面角的正弦值.詳解：證明（1）因為是長方體，所以側面，而平面，所以又，，平面，因此平面；（2）以點坐標原點，以分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，，因為，所以，所以，，設是平面的法向