適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測四向量的數(shù)乘運(yùn)算新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE四向量的數(shù)乘運(yùn)算(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)1．下列各式計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是()①(－7)·6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0B．1C．2D．3【解析】選C.依據(jù)向量數(shù)乘的運(yùn)算律可驗(yàn)證①②正確；③錯(cuò)誤，因?yàn)橄蛄康暮汀⒉罴皵?shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍為一個(gè)向量，而不是實(shí)數(shù)．2．下列說法中，正確的是()A．λa與a的方向不是相同就是相反B．若a，b共線，則b＝λaC．若|b|＝2|a|，則b＝±2aD．若b＝±2a，則|b|＝2|a|【解析】選D.A.當(dāng)λ＝0時(shí)，結(jié)論不成立；B.當(dāng)a＝0時(shí)，結(jié)論不成立；C.當(dāng)|b|＝2|a|，b與2a不肯定共線；D.因?yàn)閎＝±2a，所以|b|＝2|a|，故正確。3．我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝3eq\o(EF,\s\up6(→))，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(12,25)a＋eq\f(9,25)b B．eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)bC．eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b D．eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b【解析】選B.由題得eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(－eq\f(3,4)eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))即eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(BF,\s\up6(→))＋\o(BA,\s\up6(→))))，解得eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(12,25)eq\o(BA,\s\up6(→))，即eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)b.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a，b滿意：|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，則實(shí)數(shù)λ＝()A．eq\f(3,5)B．eq\f(5,3)C．±eq\f(3,5)D．±eq\f(5,3)【解析】選C.因?yàn)閨a|＝3，|b|＝5，a＝λb，所以|a|＝|λ||b|，即3＝5|λ|，所以|λ|＝eq\f(3,5)，λ＝±eq\f(3,5).4．設(shè)a，b為不共線的兩個(gè)非零向量，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－kb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a－b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值等于()A．10B．－10C．2D．－2【解析】選C.因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上(不包括端點(diǎn)A，C)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝()A．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，λ∈(0，1)B．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，λ∈(0，eq\f(\r(2),2))C．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))，λ∈(0，1)D．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))，λ∈(0，eq\f(\r(2),2))【解析】選A.由已知，得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，λ∈(0，1)，而eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，λ∈(0，1).5．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿意eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(|\o(MB,\s\up6(→))|,|\o(MC,\s\up6(→))|)()A．eq\f(1,4)B．4C．eq\f(1,3)D．3【解析】選C.因?yàn)閑q\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(MB,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(MC,\s\up6(→))))，因?yàn)閑q\f(3,4)eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，得eq\f(|\o(MB,\s\up6(→))|,|\o(MC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,3).6．(多選題)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，則點(diǎn)P不行能在()A．△ABC內(nèi)部 B．AC邊所在的直線上C．AB邊上 D．△ABC外部【解析】選ACD.因?yàn)閑q\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→)).所以eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→)).所以P，A，C三點(diǎn)共線．所以點(diǎn)P肯定在AC邊所在的直線上．所以點(diǎn)P不行能在△ABC內(nèi)部與外部，也不行能在AB邊上．【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則()A．P在△ABC內(nèi)部B．P在△ABC外部C．P在AB邊上或其延長線上D．P在AC邊上【解析】選D.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以P在AC邊上．二、填空題(每小題5分，共10分)7．若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c為已知向量，則未知向量y＝____________．答案：eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c【補(bǔ)償訓(xùn)練】(a＋9b－2c)＋(b＋2c)＝________．答案：a＋10b8．已知P1P＝eq\f(2,3)PP2，若PP1＝λP1P2，則λ等于________；若PP2＝mP1P2，則m等于________．【解析】因?yàn)镻1P＝eq\f(2,3)PP2，所以－PP1＝eq\f(2,3)(PP1＋P1P2)，即PP1＝－eq\f(2,5)P1P2＝λP1P2，所以λ＝－eq\f(2,5).PP2＝mP1P2，所以m＝eq\f(3,5).答案：－eq\f(2,5)eq\f(3,5)三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)．(1)若點(diǎn)O滿意2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求證：eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))；(2)已知E為AC邊中點(diǎn)，O在線段DE上，且滿意eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，△BOC的面積為2，求△ABC的面積．【解析】(1)因?yàn)镈為BC邊中點(diǎn)；所以eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))；由2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0得，2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OD,\s\up6(→))＝0；因此eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).(2)如圖，依據(jù)條件eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＋2(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))＋4eq\o(OD,\s\up6(→))＝0；所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝2eq\o(DO,\s\up6(→))，所