2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)空間向量與垂直關(guān)系2練習(xí)含解析選擇性必修第一冊(cè)

PAGE6-空間向量與垂直關(guān)系 （45分鐘100分） 一、選擇題(每小題6分,共30分)1.已知平面α的一個(gè)法向量為a=(x,1,-2),直線l的一個(gè)方向向量為n=(12,y,-1),若l⊥αA.x+2y=-4 B.x+y=3C.x+2y=12 D.x+y=2.已知平面α與β的一個(gè)法向量分別是a=(x,2,2),b=(1,3,y),若α⊥β,且|a|=26,則y=()A.-5 B.-1 C.4或-4 D.-5或-13.(2013·青島高二檢測(cè))在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=4,點(diǎn)E是D1A1的中點(diǎn),設(shè)F在B1C1上,若DE⊥BF,則B1F=()A.4 B.2 C.1 D.14.如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12PD,則平面PQC與平面DCQ的位置關(guān)系為()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.位置關(guān)系不確定5.(2013·聊城高二檢測(cè))在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,AB⊥AC,E是BC的中點(diǎn),則A1E與平面AB1C1的位置關(guān)系是()A.相交但不垂直 B.A1E∥平面AB1C1C.A1E⊥平面AB1C1 D.A1E?平面AB1C1二、填空題(每小題8分,共24分)6.平面α與平面β的法向量分別是m,n,直線l的方向向量是a,給出下列論斷:①m∥n?α∥β;②m⊥n?α⊥β;③a⊥m?l∥α;④a∥m?l⊥α.其中正確的論斷為(把你認(rèn)為正確論斷的序號(hào)填在橫線上).7.(2013·四平高二檢測(cè))已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,-1,2),α的一個(gè)法向量為n=(3,1,2),則下列各點(diǎn)中,在平面α內(nèi)的是(把正確的序號(hào)都填上).①B(1,-1,1);②C(1,3,32);③D(1,-3,32);④E(-1,3,-8.如圖,以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD與△ACD折成相互垂直的兩個(gè)平面后,有以下四個(gè)結(jié)論:①BD→·A②∠BAC=60°;③三棱錐D-ABC是正三棱錐;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量相互垂直.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(請(qǐng)把正確結(jié)論的序號(hào)都填上).三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD=1,AB=2a(a>0),E,F分別為CD,PB的中點(diǎn).求證:EF⊥平面PAB.10.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn),求證:(1)AD⊥D1F.(2)平面AED⊥平面A1FD1.11.(實(shí)力挑戰(zhàn)題)直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),在線段AA1上是否存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出AF的長(zhǎng),若不存在,說(shuō)明理由.答案解析1.【解析】選D.∵l⊥α,∴n∥a,即a=λn,∴(x,1,-2)=λ(12∴x=12λ,1=λy,-2=-λ,2.【解析】選D.由|a|=26,得x2+4+4=24,解得x=±4,∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=x+6+2y=0,當(dāng)x=4時(shí),得y=-5;當(dāng)x=-4時(shí),得y=-1.【誤區(qū)警示】在求解本題的過(guò)程中,依據(jù)等量關(guān)系列出關(guān)系式后,切記肯定不要漏解.3.【解析】選D.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則D(0,4,0),E(0,2,1),B(1,0,0),設(shè)點(diǎn)F(1,a,1),則DE→=(0,-2,1),B∵DE⊥BF,∴DE→⊥∴DE→·BF即B1F=124.【解析】選B.如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度,射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),則DQ→=(1,1,0),DC因?yàn)镻Q→·DQ→=0,所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.5.【解析】選A.如圖所示,建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)AB=1,則A(0,0,0),B1(1,0,1),C1(0,1,1),A1(0,0,1),E(12,1∴AB1→=(1,0,1),AC1→=(0,1,1),A1E→=(1令z=-1,則x=y=1,故n=(1,1,-1),∴A1E→·n≠0,故A1E與平面AB1C1不平行,又∵A1EAB1C1不垂直,即A1E與平面AB1C1相交但不垂直.6.【解析】①錯(cuò)誤,因?yàn)棣僚cβ可能重合,③錯(cuò)誤,因?yàn)閘與α除l∥α外,還可能有l(wèi)?α.明顯,②④正確.答案:②④7.【解析】AB→=(-1,0,-1),AC→=(-1,4,-12),AD→∵AC→·∴AC→⊥n,故C∈答案:②8.【解析】①平面ABD⊥平面ACD,BD⊥AD,∴BD⊥平面ACD,∴BD⊥AC,∴BD→·AC→=0,②AD=BD=CD,且∠ADB=∠ADC=∠BDC,∴△ABD,△ACD,△BCD是全等三角形,∴AB=AC=BC,∠BAC=60°,故②正確.③由②可知AB=AC=BC,DA=DB=DC,∴三棱錐D-ABC是正三棱錐,故③正確.④建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)DA=DB=DC=1,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),可求出平面ADC的法向量是n1=(1,0,0),平面ABC的法向量是n2=(1,1,1),∴n1·n2=1+0+0=1≠0,故④不正確.答案:②③9.【證明】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,AD=1,PD=1,AB=2a(a>0),則E(a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,12,12),得EF→=(0,PB→=(2a,1,-1),由EF→·AB→=(0,12得EF→⊥AB→,同理EF⊥PB,又AB∩PB=B,所以,EF⊥平面PAB.10.【證明】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A(0,0,0),D(0,1,0),E(1,0,12),F(12,1,0),D(1)因?yàn)锳D→=(0,1,0),D1F→=(12,0,-1),所以AD→·D1(2)因?yàn)锳E→=(1,0,12),所以AE→·D1F→=12-12=0,所以AE→⊥D1F→又D1F?平面A1FD1,所以平面AED⊥平面A1FD1.11.【解題指南】假設(shè)存在點(diǎn)F,利用CF⊥平面B1DF列出方程求AF.【解析】以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz,則C(0,2a,0),B1(0,0,3a),