適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)十七一元線性回歸模型及其應(yīng)用新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE十七一元線性回來(lái)模型及其應(yīng)用(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.若冬季晝夜溫差x(單位:℃)與某新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)量y(單位:顆)具有線性相關(guān)關(guān)系,依據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),用最小二乘法近似得到回來(lái)直線方程為y=2.5x-3,則下列結(jié)論中不正確的是 ()A.y與x具有正相關(guān)關(guān)系B.回來(lái)直線過(guò)點(diǎn)(x,y)C.若冬季晝夜溫差增加1℃,則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)約增加2.5顆D.若冬季晝夜溫差的大小為10℃,則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)肯定是22顆【解析】選D.因?yàn)榛貋?lái)直線的斜率為2.5,所以y與x具有正相關(guān)關(guān)系,則A正確;回來(lái)直線過(guò)點(diǎn)樣本中心點(diǎn)(x,y),則B正確;冬季晝夜溫差增加1℃,則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)約增加2.5顆,所以C正確;若冬季晝夜溫差的大小為10℃,則可估計(jì)該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)為22顆,但不行確定,所以D錯(cuò)誤.2.在生物學(xué)上,有隔代遺傳的現(xiàn)象.已知某數(shù)學(xué)老師的體重為62kg,他的曾祖父、祖父、父親、兒子的體重分別為58kg、64kg、58kg、60kg.假如體重是隔代遺傳,且呈線性相關(guān),依據(jù)以上數(shù)據(jù)可得說(shuō)明變量x與響應(yīng)變量的回來(lái)方程為=x+,其中=0.5,據(jù)此模型預(yù)料他的孫子的體重約為 ()A.58kg B.61kg C.65kg D.68kg【解析】選B.由于體重是隔代遺傳,且呈線性相關(guān),則取數(shù)據(jù)(58,58),(64,62),(58,60),得x=58+64+583=60,y=58+62+60即樣本點(diǎn)的中心為(60,60),代入=x+,得=60-0.5×60=30,則=0.5x+30,取x=62,可得=0.5×62+30=61kg.故預(yù)料他的孫子的體重約為61kg.3.設(shè)某高校的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系.依據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的閱歷回來(lái)方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是 ()A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.閱歷回來(lái)直線過(guò)點(diǎn)(x,y)C.若該高校某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該高校某女生身高為170cm,則可判定其體重必為58.79kg【解析】選D.當(dāng)x=170時(shí),=0.85×170-85.71=58.79,體重的估計(jì)值為58.79kg.4.對(duì)于樣本點(diǎn)分布在指數(shù)函數(shù)曲線y=aebx(其中a,b為待定參數(shù)且a>0)四周時(shí),令z=lny,c=lna,經(jīng)過(guò)變換后得到的線性回來(lái)方程為 ()A.y=bx+c B.y=cx+bC.z=bx+c D.z=cx+b【解析】選C.因?yàn)閥=aebx,所以lny=lna+bx,所以z=c+bx.5.用y關(guān)于x的方程y=menx來(lái)擬合一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10)時(shí)為了求出其回來(lái)方程,設(shè)z=lny,得到z關(guān)于x的線性回來(lái)方程z=0.6x+1,則 ()A.m=e,n=0.6 B.m=0.6,n=eC.m=1,n=0.6 D.m=0.6,n=1【解析】選A.由題意,y=menx得到z=lny=lnmenx=lnm+nx=0.6x+1,故n=0.6,lnm=1,所以n=0.6,m=e.6.(多選題)探討變量x,Y得到一組樣本數(shù)據(jù),進(jìn)行回來(lái)分析,以下說(shuō)法正確的是 ()A.殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好B.用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回來(lái)效果,R2越小說(shuō)明擬合效果越好C.在回來(lái)直線方程=0.2x+0.8中,當(dāng)說(shuō)明變量x每增加1個(gè)單位時(shí),響應(yīng)變量平均增加0.2個(gè)單位D.若變量Y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r=-0.9462,則變量Y和x之間的負(fù)相關(guān)性很強(qiáng)【解析】選ACD.A可用殘差平方和推斷模型的擬合效果,殘差平方和越小,模型的擬合效果越好,故A正確;B用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回來(lái)效果,R2越大說(shuō)明擬合效果越好,故B錯(cuò)誤;C在閱歷回來(lái)方程=0.2x+0.8中,當(dāng)說(shuō)明變量x每增加1個(gè)單位時(shí),響應(yīng)變量平均增加0.2個(gè)單位,故C正確;D若變量Y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r=-0.9462,r的肯定值趨向于1,則變量Y和x之間的負(fù)相關(guān)性很強(qiáng),故D正確.二、填空題(每小題5分,共10分)7.某數(shù)學(xué)老師身高為176cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm,170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān),該老師用線性回來(lái)分析的方法預(yù)料他孫子的身高為cm.

【解析】設(shè)父親身高為xcm,兒子身高為Ycm,則x173170176Y170176182x=173,y=176,=0×(-=y-x=176-1×173=3,所以=x+3,當(dāng)x=182時(shí),=185.答案:1858.已知變量x,Y線性相關(guān),由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)x=4,y=5,閱歷回來(lái)方程=x+中的系數(shù),滿意+=4,則閱歷回來(lái)方程為.

【解析】由題知,點(diǎn)(4,5)在回來(lái)直線上,則4+=5,又+=4,所以=113,=13,即閱歷回來(lái)方程為=13x+113答案:=13x+11三、解答題9.(10分)某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出x(單位:百萬(wàn)元)與銷售額y(單位:百萬(wàn)元)之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):x/百萬(wàn)元24568y/百萬(wàn)元3040605070(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖;(2)求閱歷回來(lái)方程;(3)試預(yù)料廣告費(fèi)用支出為10百萬(wàn)元時(shí),銷售額多大.【解析】(1)散點(diǎn)圖如圖所示:(2)列出下表,并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算:i12345合計(jì)xi2456825yi3040605070250xiyi601603003005601380x416253664145所以x=255=5,y=2505=50,∑i=15xiy所以=∑i=15xiy=y-x=50-6.5×5=17.5.所以所求的閱歷回來(lái)方程為=6.5x+17.5.(3)依據(jù)上面求得的閱歷回來(lái)方程,當(dāng)廣告費(fèi)用支出為10百萬(wàn)元時(shí),=6.5×10+17.5=82.5(百萬(wàn)元),即廣告費(fèi)用支出為10百萬(wàn)元時(shí),銷售額大約為82.5百萬(wàn)元.【補(bǔ)償訓(xùn)練】近年來(lái),隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,“共享汽車”在我國(guó)各城市迅猛發(fā)展,為人們出行供應(yīng)了便利,但也給城市交通管理帶來(lái)了一些困難.為駕馭“共享汽車”在M省的發(fā)展?fàn)顩r,M省某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該省抽取了5個(gè)城市,分別收集和分析了“共享汽車”的A,B兩項(xiàng)指標(biāo)數(shù)xi,yi(i=1,2,3,4,5),數(shù)據(jù)如下表所示:項(xiàng)目城市1城市2城市3城市4城市5A指標(biāo)數(shù)x46285B指標(biāo)數(shù)y44354經(jīng)計(jì)算得∑i=15(xi-(1)試求y與x間的相關(guān)系數(shù)r,并利用r說(shuō)明y與x是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(若|r|>0.75,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回來(lái)模型擬合);(2)建立y關(guān)于x的回來(lái)方程,并預(yù)料當(dāng)A指標(biāo)數(shù)x為7時(shí),B指標(biāo)數(shù)y的估計(jì)值.附:相關(guān)公式:r=∑i=1n(xi-x)(yi參考數(shù)據(jù):0.3≈0.55,0.9【解析】(1)由已知,x=4+6+2+8+55=5,y=4+4+3+5+4所以相關(guān)系數(shù)r=∑i=15(xi-x)(所以y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,可以用線性回來(lái)模型擬合y與x的關(guān)系;(2)由(1)知=∑i=15(xi-x)(yi-y)故y與x的線性回來(lái)方程為=310x+52當(dāng)x=7時(shí),=310×7+52=4.6(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知變量x,Y的取值如表:x12345Y1015304550由散點(diǎn)圖分析可知Y與x線性相關(guān),且求得閱歷回來(lái)方程為=x-3,據(jù)此可預(yù)料:當(dāng)x=8時(shí),的值為 ()A.63 B.74 C.85 D.96【解析】選C.由題得x=1+2+3+4+55y=10+15+30+45+505=30故樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)為(3,30),代入=x-3,得=30+33=11.所以=11x-3,取x=8,得=11×8-3=85.2.若一函數(shù)模型為y=ax2+bx+c(a≠0),將y轉(zhuǎn)化為t的線性回來(lái)方程,需做變換t= ()A.x2 B.(x+a)2C.x+b2a2 D.以上都不對(duì)【解析】選C.y=ax2+bx+c(a≠0)=ax+b2a2+4ac-b24a,依據(jù)線性回來(lái)方程是一次函數(shù)可知,令t=x+b2a2,則y=at3.以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出閱歷回來(lái)方程,設(shè)z=lny,將其變換后得到閱歷回來(lái)直線方程=0.2x+3,則c,k的值分別是 ()A.e2,0.6 B.e2,0.3C.e3,0.2 D.e4,0.6【解析】選C.因?yàn)閥=cekx,等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=kx+lnc,設(shè)z=lny,則上式可化為z=kx+lnc,因?yàn)閦=0.2x+3,則k=0.2,lnc=3,所以c=e3,k=0.2.4.(多選題)由相關(guān)變量x,y之間的一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10),得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回來(lái)方程為=1.4x+0.8,且x=3,去除兩個(gè)歧義點(diǎn)(1.2,2.4)和(4.8,7.6)后,得到y(tǒng)關(guān)于x的新線性回來(lái)方程的回來(lái)系數(shù)為1.5,則去除這兩個(gè)歧義點(diǎn)后 ()A.xj(j=1,2,…,8)的平均值變大B.xj(j=1,2,…,8)的平均值不變C.新線性回來(lái)方程為=1.5x+0.5D.當(dāng)x增加1個(gè)單位時(shí),y增加1.5個(gè)單位【解析】選BC.將x=3代入=1.4x+0.8得y=5,又因?yàn)?.2+4.82=3,2.4+7.62=5,故去除兩個(gè)歧義點(diǎn)(1.2,2.4)和(4.8,7.6)后,其數(shù)據(jù)的平均值不變,故A錯(cuò)誤,B正確;設(shè)新線性回來(lái)方程為=1.5x+a,將數(shù)據(jù)中心(3,5)代入得a=0.二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知某成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的殘差圖如圖,則樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)中可能不精確的是從左到右第個(gè).

【解析】原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)往往是殘差肯定值過(guò)大的那個(gè)數(shù)據(jù),即偏離平衡位置過(guò)大的數(shù)據(jù).答案:66.某公司調(diào)查了商品A的廣告投入費(fèi)用x(萬(wàn)元)與銷售利潤(rùn)Y(萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),如表:廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元)2356銷售利潤(rùn)Y(萬(wàn)元)57911由表中的數(shù)據(jù)得閱歷回來(lái)直線方程為=x+,則當(dāng)x=7時(shí)銷售利潤(rùn)y的估值為萬(wàn)元.

【解析】由題表中數(shù)據(jù)可得x=2+3+5+64=4,y=5+7+9+11所以=∑i=14xiy所以=y-x=8-1.4×4=2.4,故閱歷回來(lái)方程為=1.4x+2.4,所以當(dāng)x=7時(shí),=1.4×7+2.4=12.2.答案:12.27.在探討兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí),視察散點(diǎn)圖,發(fā)覺(jué)樣本點(diǎn)集中于某一條曲線y=ebx+a的四周,令z=lny,求得閱歷回來(lái)方程=0.25x-2.58,則該模型的閱歷回來(lái)方程為.

【解析】由閱歷回來(lái)方程=0.25x-2.58得ln=0.25x-2.58,整理得=e0.25x-2.58,所以該模型的閱歷回來(lái)方程為=e0.25x-2.58.答案:=e0.25x-2.588.已知某產(chǎn)品連續(xù)4個(gè)月的廣告費(fèi)xi(千元)與銷售額yi(萬(wàn)元)(i=1,2,3,4),經(jīng)過(guò)對(duì)這些數(shù)據(jù)的處理,得到如下數(shù)據(jù)信息:①∑i=14xi=18,∑i=14yi=14;②廣告費(fèi)x和銷售額y之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系;③回來(lái)系數(shù)=0.8.則廣告費(fèi)平均值為【解析】由題意得,x=184=4.5,y=144=3由y=x+得,=3.5-0.8×4.5=-0.1,所以=0.8x-0.1.當(dāng)x=6時(shí),=0.8×6-0.1=4.7.答案:4.54.7三、解答題9.(10分)為了落實(shí)習(xí)主席提出的“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求,某市安排自2014年初起起先實(shí)施綠化行動(dòng).實(shí)施綠化的第x年(如2014年對(duì)應(yīng)的x=1),綠化面積為y平方公里,則連續(xù)五年x,y之間的數(shù)據(jù)如下表:x12345y13678(1)已知對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),若其擬合直線方程=x+,記Q=∑i=1n(yi-xi-)2,若Q越小則擬合效果越好.若依據(jù)表中數(shù)據(jù),視察得出的擬合直線方程分別為l1:=2x-1,l2:=32x+12,運(yùn)用Q推斷哪條直線的擬合效果更好;(2)試用(1)中所求的擬合效果較好的直線,估計(jì)2024年的綠化面積.【解析】(1)依據(jù)直線l1:=2x-1得出的數(shù)據(jù)列表如表:x12345y13678l1:=2x-113579依據(jù)直線l2:=32x+12x12345y13678l2:=32x+123.556.58分別依據(jù)表中數(shù)據(jù)及Q的公式可得,Q1=02+02+12+02+(-1)2=2,Q2=(-1)2+(-0.5)2+12+0.52+02=2.5,因?yàn)镼1<Q2,所以直線l1:=2x-1的擬合效果更好.(2)由題意可知,l1:=2x-1,2024年對(duì)應(yīng)的x=11,所以預(yù)料綠化面積=2×11-1=21(平方公里).【補(bǔ)償訓(xùn)練】生物學(xué)家預(yù)言,21世紀(jì)將是細(xì)菌發(fā)電造福人類的時(shí)代.說(shuō)起細(xì)菌發(fā)電,可以追溯到1910年,英國(guó)植物學(xué)家利用鉑作為電極放進(jìn)大腸桿菌的培育液里,勝利地制造出世界上第一個(gè)細(xì)菌電池.然而各種細(xì)菌都需在最適生長(zhǎng)溫度的范圍內(nèi)生長(zhǎng).當(dāng)外界溫度明顯高于最適生長(zhǎng)溫度,細(xì)菌被殺死;假如在低于細(xì)菌的最低生長(zhǎng)溫度時(shí),細(xì)菌代謝活動(dòng)受抑制.為了探討某種細(xì)菌繁殖的個(gè)數(shù)Y是否與在肯定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了該種細(xì)菌的6組觀測(cè)數(shù)據(jù)如表:溫度x/℃212324272932繁殖個(gè)數(shù)