遼寧省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

Page9遼寧省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題考試時間：120分鐘試題滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．2．已知m，n為兩條不同的直線，，，為三個不同的平面，則下列命題正確的是A．若，，則B．若，，且，則C．若，，，，則D．若，，，則3．某科技研發(fā)公司2024年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，安排每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過600萬元的年份是（注：，，，）A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年4．已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．5．甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲箱中隨機取出一個球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則由乙箱中取出的是紅球的概率為A． B． C． D．6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出：△ABC的外心O，重心G，垂心H依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線．若，，則下列各式中不正確的是A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項和，對隨意的，均有恒成立，則不行能的值為A．3 B．4 C．5 D．68．已知實數(shù)，滿意，，則A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．已知x，，，則A．x，y的最大值為 B．的最小值為4C．的最小值為 D．的最小值為110．已知函數(shù)，（）在上有且只有三個零點，則下列說法正確的是A．在上存在，，使得B．的取值范圍為C．在上單調(diào)遞增D．在上有且只有一個最大值點11．函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，該結(jié)論可以推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)已知函數(shù)A．若，則函數(shù)為奇函數(shù)B．若，則C．函數(shù)的圖象必有對稱中心D．，12．已知正四面體ABCD的棱長為3，其外接球的球心為O．點E滿意，過點E作平面平行于AC和BD，設(shè)分別與該正四面體的棱BC，CD，DA相交于點F，G，H，則A．四邊形EFGH的周長為定值B．當(dāng)時，四邊形EFGH為正方形C．當(dāng)時，截球O所得的截面的周長為D．四棱錐A-EFGH體積的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若綻開式的二項式系數(shù)之和為64，則綻開式中項的系數(shù)為．14．已知三棱錐P-ABC的棱AP，AB，AC兩兩垂直，，以頂點P為球心，4為半徑做一個球，球面與該三棱錐的表面相交得到四段弧，則最長弧的弧長為．15．在銳角三角形ABC中，若，則的最小值是．16．若函數(shù)，在R上可導(dǎo)，且，則．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)覺了一個恒等式，則，．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，．（1）求b的值；（2）若AD平分∠BAC，且交BC于點D，，求△ABC的面積．18．如圖1，在平面四邊形ABCD中，已知ABDC，，，E是AB的中點．將△BCE沿CE翻折至△PCE，使得，如圖2所示．（1）證明：；（2）求直線DE與平面PAD所成角的正弦值．19．已知數(shù)列滿意，且，（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿意，求的前2n項和．20．如圖，在五面體ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且，．（1）求證：平面ABE⊥平面ABC；（2）求二面角A-BE-C的平面角的取值范圍．21．學(xué)生考試中答對但得不了滿分的緣由多為答題不規(guī)范，詳細表現(xiàn)為：解題結(jié)果正確，無明顯推理錯誤，但語言不規(guī)范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點缺失等，記此類解答為“B類解答”為評估此類解答導(dǎo)致的失分狀況，某市教研室做了項試驗：從某次考試的數(shù)學(xué)試卷中隨機抽取若干屬于“B類解答”的題目，掃描后由近百名數(shù)學(xué)老師集體評閱，統(tǒng)計發(fā)覺，滿分12分的題，閱卷老師所評分數(shù)及各分數(shù)所占比例大約如下表：老師評分（滿分12分）11109各分數(shù)所占比例某次數(shù)學(xué)考試試卷評閱采納“雙評＋仲裁”的方式，規(guī)則如下：兩名老師獨立評分，稱為一評和二評，當(dāng)兩者所評分數(shù)之差的肯定值小于等于1分時，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評分數(shù)之差的肯定值大于1分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分數(shù)和一、二評中與之接近的分數(shù)的平均分為該題得分；當(dāng)一、二評分數(shù)和仲裁分數(shù)差值的肯定值相同時，取仲裁分數(shù)和前兩評中較高的分數(shù)的平均分為該題得分．（假設(shè)本次考試閱卷老師對滿分為12分的題目中的“B類解答”所評分數(shù)及比例均如上表所示，比例視為概率，且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響）．（1）本次數(shù)學(xué)考試中甲同學(xué)某題（滿分12分）的解答屬于“B類解答”，求甲同學(xué)此題得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）本次數(shù)學(xué)考試有6個解答題，每題滿分12分，同學(xué)乙6個題的解答均為“B類解答”．同學(xué)丙的前四題均為滿分，第5題為“B類解答”，第6題得6分．以乙、丙兩位同學(xué)解答題總分均值為依據(jù)，談?wù)勀銓Α癇類解答”的相識．22．已知函數(shù)．（1）若，推斷函數(shù)有幾個零點，并證明；（2）若不是函數(shù)的極值點，求實數(shù)a的值．遼寧省試驗中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中階段測試高三數(shù)學(xué)試卷參考答案1-8．BBCBDAAC9．BC10．ABC11．ACD12．ABD13．14．15．816．1，17．解法一：因為，，所以，由正弦定理得，，由正弦定理得．解法二：在△ABC中，由余弦定理得，，代入，得，所以．（2）設(shè)，因為，AD平分∠BAC，所以，因為，，，所以，因為，所以，所以，所以△ABC的面積．18．解：（1）取CE的中點F，連接PF，DF，由題易知△PCE，△DCE都是等邊三角形，所以DF⊥CE，PF⊥CE，又，所以CE⊥平面DPF．又平面DPF，所以DP⊥CE．（2）解法一：由題易知四邊形AECD是平行四邊形，所以AD∥CE，又平面PAD，所以平面PAD，所以點E與點F到平面PAD的距離相等．由（1）知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF．又平面PAD，所以平面PAD⊥平面DPF．過F作FH⊥PD交PD于H，則FH⊥平面PAD．，，故點F到平面PAD的距離．設(shè)直線DE與平面PAD所成的角為，則，所以直線DE與平面PAD所成角的正弦值為．解法二：由題易知四邊形AECD是平行四邊形，所以AD∥CE，由（1）知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF．如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA，DF所在直線分別為x，y軸，過D且垂直于平面AECD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，．易知，，故，，所以，，，設(shè)平面PAD的法向量為，則，得，令，得，所以．設(shè)直線DE與平面PAD所成的角為，則，故直線DE與平面PAD所成角的正弦值為．19．解：（1）∵且，∴數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴．當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，綜上，．（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，，∴20．（1）證明：取BC中點M，AB中點N，連接DM，MN，EN．∴MN∥AC且，又，，∴DE∥MN，且所以四邊形MNED是平行四邊形，∴EN∥DM且，又AC⊥平面BCD，平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∵，∴DM⊥BC，又平面平面，平面BCD，∴DM⊥平面ABC，∴EN⊥平面ABC，又平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC．（2）由（1）知，AC⊥BC，EN∥DM且，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC以C為原點，CA，CB所在直線為x，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，設(shè)平面BCE的一個法向量為，則，即，取，則，∴又，則CN⊥AB又平面平面，平面ABC，所以CN⊥平面ABE，即為平面ABE的一個法向量，∴．∴二面角A-BE-C的取值范圍是．21．（1）依據(jù)題意，隨機變量X的取值為9，9．5，10，10．5，11設(shè)一評、二評、仲裁所打的分數(shù)分別是x，y，z，，，，故X的分布列為X99.51010.511P（2）由題意可知：乙同學(xué)得分的均值為，丙同學(xué)得分的均值為：．丙同學(xué)得分均值更高，所以“會而不對”和不會做一樣都會丟分，在做題過程中要規(guī)范作答，盡量避開“B類解答”的出現(xiàn)．22．（1）時，，，令，則，故在R上是增函數(shù)，又，，所以存在，使得，∴在單調(diào)遞減，在單