【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大全】競(jìng)賽3三角函數(shù)（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）解析版

【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題大全】

競(jìng)賽專題3三角函數(shù)

(50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練)

一、單選題

1.(2018?吉林?高三競(jìng)賽)已知〃冷=二心，則對(duì)任意xeR,下列說法中錯(cuò)誤的

2+cosx

是()

A./(x)>|sinA-B.|/(x)|<|x|

C.|/(x)|<^yD./(^+x)+/(^-x)=0

【答案】A

【解析】

【詳解】

由/(x)Ngsinx得sinx(l-cosx)*0,?.T-cosx±0,所以該式不一定成立，sinx有可能

是負(fù)數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

|〃力|=廣卜間4W.所以選項(xiàng)B正確；

?『(/斗忌Isinxl『屆sinx國(guó)—0康示單位圓上的點(diǎn)和(2。)所在直線的斜率的絕對(duì)

值，數(shù)形結(jié)合觀察得到|/(x)歸立，所以選項(xiàng)C正確;

-sinxsinx

./■（乃+犬）+/（萬一x）=----------------1---------------中=。，所以選項(xiàng)口正確.

2-cosx2-COSJC

故答案為A

11

2.(2018?四川?高三競(jìng)賽)函數(shù)丫:⑸"-"。/》-D(xeR)的最大值為().

2+sin2x

A.也B.IC.

+D

2IT-&

【答案】B

【解析】

【詳解】

sinx-cosx一（sinx+cosx）+1,

因?yàn)閥Z'*

2+2sinxcosx

t=sinx+cosx=啦sinIx+二71|￡N，碼,

4

則sinvcosx=g(l-,于是

1-2

令g?)=M(松一血，血'貝

由g'(f)=O知1=一1或1.

因?yàn)楸?州-冬g(-l)=-g,g⑴=另(&)=4，于是g(r)的最小值是

g(-i)=—；，所以y的最大值是g-1-￡)=i.

故答案為:B

3.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)函數(shù)y=binx-cosx]+kinx+cosx]的值域?yàn)?)(卜]表示不

超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)).

A.{-2-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}

C.{-1,0,1}D.{-2,-1,1)

【答案】D

【解析】

【詳解】

1.c一

y=—sinzx+

|_2J

下面的討論均視

(1)當(dāng)2%乃<x<2k]+工時(shí)，y=1；

2

7T3乃

(2)當(dāng)2fcr+生<尤42攵4+小時(shí)，y=-i；

24

37r

(3)當(dāng)2&萬+2—<x<2k7T+萬時(shí)，y=-2；

4

3乃

(4)當(dāng)x=24;r+4或2左乃+—時(shí)，y=-1；

2

34

:

(5)當(dāng)2k兀+7V<x<2k冗+—時(shí)，y=-2：

2

(6)當(dāng)2%4+之37r<*<2攵4+匕時(shí)，y=-2；

24

(7)當(dāng)+<尤<2%4+2萬時(shí)，y=-l.

綜上，ye{-2,-l,l}.

故答案為D

4.（2010?四川?高三競(jìng)賽）已知條件〃:Jl+sin2a=g和條件"sina+cosa1=g.則〃

是q的（）.

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【詳解】

因Jl+sin2a=^(sina+cosa)2=|sina+cosa|?所以，。是4的充要條件.

5.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)在AABC中，ZA<ZJ5<ZC,smA+sm8+s】n;二6,

cosA+cosB+cosC

則D8的取值范圍是().

【答案】C

【解析】

【詳解】

由條件有sinA+sinB+sinC=6(cosA+cosB+cosC)

=>(2Geos-2sin^^cos=sinB-限osB.

利用輔助角公式有kos^y^=sin(B_?

士叼-。+8-6。丁畝8-+。-6。。

1/=0

所以，/3—60。=0或者4一/。+/3—60°=0或者/8—4+/。一60°=0,

即NB=60。或者/C=60。或者Z4=60。.亦即NA、NB、NC中有一個(gè)為60。.

若NB<60。,則444/8<60。，所以，只能NC=60。，此時(shí)，NA+/B+NC<180。,矛

盾;

若N3>60。，則NC2N3>60。,所以，只能NA=60。，從而，ZA+ZB+ZC>180°,

亦矛盾.選C.

二、填空題

6.（2018?江西?高三競(jìng)賽）若三個(gè)角x、y、z成等差數(shù)列，公差為則

tanxtany+tanytanz4-tanztanx=.

【答案】-3

【解析】

【詳解】

根據(jù)x=y-],z=y+],

tany-v3tany+V3

則rilltanx=-y=——,tanz=—,.

1+v3tany1-v3tany

..tan2y-V3tanytan2y+V3tanytan2y-3

明以taartany=-----尸------,tanytanz=-------j=-----,tanztanx=--------.

1+J3tany1-J3tanyl-3tan'y

9tan2y-3.

貝nlI]tarulany+tanytanz+tanztanx=-------=-3.

l-3tan-y

故答案為-3

7.(2018?廣東?高三競(jìng)賽)己知△ABC的三個(gè)角A、B、C成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的三邊為

4

a、b、c,且a、c、耳b成等比數(shù)列，則5必比：〃2=.

【答案】此

2

【解析】

【詳解】

因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，28=A+C,3B=A+B+C=180°,因此8=60。.

又因?yàn)閍、c、成等比數(shù)列，所以。=敦，b=&&.

734

a

—e島,qa

由止弦定理——=-.”二.八”。一八，

sinA4sin60°sin(120°—A)

整理得sinA=,*COSA=[T，(q-2)[3q3+5g2+4+(4-2)]=0.

所以g=2,sinA=；,4=30。，C=90°.

故5MBe=；昉=*"，所以鼠改：/=#?

故答案為立

2

8.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)銳角尸滿足ax夕，且

(cos2a+cos2/7)(1+tana-tan/7)=2,貝lja+p=.

【答案】90

【解析】

【詳解】

由己知等式得(2+tan%+tan2月)(1+tanstan￡)=20++tan/),

(tan(2-tan/?)"(tancrtan/7-1)=0?

但銳角a。/,故tana.tan/7-l=。

ncos(a+尸)=0na+/?=90。.

故答案為90

9.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)函數(shù)y=sinx(l+tanx-tan5)的最小正周期為

【答案】In

【解析】

【詳解】

解析：當(dāng)x=2&/r,keZ時(shí)，y=sinx(l+tanx-tan'|J=(),

當(dāng)xw2Z;r,ZeZ時(shí)，y=sinA~|1+s'nx.l__cosx|=tanx,其中xw%;r+工且

Icosxsinx)2

x豐2k兀*兀，

畫出圖象可得函數(shù)周期為2萬.

故答案為：2乃.

10.(2021?浙江金華第一中學(xué)高三競(jìng)賽)設(shè)〃x)=(x2+4x+3)喈，為定義在R上的函

數(shù).若正整數(shù)〃滿足jl“％)=2021,則〃的所有可能值之和為.

k=l

【答案】12121

【解析】

【詳解】

7tKn

/(6=(/二c+44+i\)COS—2A-=a+iCO)S—2.V伏+3)COS—2X,

Y[f(k)=(1+1)°(1+3)°(2+1)-*1(2+3)-1X...x(4/n-3+1)°(4w-3+3)°

A=l

x(4機(jī)一2+1尸(4加一2+3尸x(4機(jī)一1+1)°(4/n-1+3)°(4m+1)'(4m+3)),

TT

考慮cos的周期為4,分四種情況考慮

⑴當(dāng)％=4加-3(m為正整數(shù))時(shí),

47n-3

I[/(幻=(2+1尸(2+3尸(4+W(4+3)|…x(4加-4+3)|(4機(jī)-3+1)"(4m一3+3)°

k=l

=3-IX(4/M-1)=2021.

目,以4m—1=6063,n=4/n-3=6061；

47??-2

(2)當(dāng)人=4加一2時(shí)，nf(k)=3-'X(4m+1尸=2021,無正整數(shù)解；

*=1

4/M-I

(3)當(dāng)左=4m-1時(shí)，[[/伏)=3TX(4/n+1尸=2021,無正整數(shù)解；

k=\

4/n-l

(4)當(dāng)左二47n時(shí),rw=3Tx(4m+3)1=2021，此時(shí)n=4m=6060,

K=1

綜上,n=6060或〃=6061,

故答案為：12121.

11.(2021.全國(guó)?高三競(jìng)賽)在AABC中，A0=5,—彳+—不方=0,則比+加

tan—tan——tan一

222

的值為.

【答案】7

【解析】

【詳解】

解析：記中A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,

如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，

ArCrBr

.tan—=------tan—=---：---tan—=------

則ri2b+c-a,2a-vb-c,2a+c-br,

~~22T~

故b+c-a+a+b-c=5(a+c-b),故5(a+c)=7/7,

即a+c=7,

故答案為：7

59

12.（2021?全國(guó)?局三競(jìng)賽）已知△ABC滿足2sinA+sin8=2sinC,則」一+「:的

sinAsine

最小值是.

【答案】16

【解析】

【詳解】

解析：2sinA+sin3=2sinC=sinB=2(sinC-sinA)

A+CA+CA+C

?cos

222

nsink2sqtan^=3tan^

2222

.59595t2+527*+3

-------------1---------------

4-^=tan-,則^7sinC_2t6r2t2t

t2+19戶+1

16產(chǎn)+4-/4,,

=―-->2J16r~=16.

iAir3A+「

當(dāng)，=—,tan—=—,tan—=二時(shí)，tan----->0,所以A+Cvl80。，

222222

故(2=16.

UinAsinC；min

故答案為：16

71

13.(2020?浙江?高三競(jìng)賽)已知。,夕,7￡0,y,則

cosa+2cosp+cos/-cos(a+y)-2cos(尸+y)的最大值為.

【答案】3vL

【解析】

【詳解】

cosa-cos(a+y)=2sinjsina+辦2s哆

2

同理cos/7-cos(/7+y)W2sin],

故cosa+2cos(5+cosy-cos(a+/)-2cos(6+y)<6sin-^+cosy,

11

而6sin—+cos/=-2sin2—+6sin—+1=-2|sin---4--，

222I222

因?yàn)?Wsin44,故—2（sir）2—H--3A/2.

22122

當(dāng)且僅當(dāng)7=5,a=〃=7時(shí)，各等號(hào)成立，

故答案為：3五.

14.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知三角形ABC的三個(gè)邊長(zhǎng)a、b、c成等比數(shù)列，并且滿

足a262c.則乙4的取值范圍為.

【答案】伶，與）

【解析】

【詳解】

由條件從=皿結(jié)合余弦定理cos8==+c2-",yii]^cosB=^（-+--l）＞l,

2ac2ca2

從而8e（0,g,而A是最大角，從而會(huì)三；

故答案為：yt—I.

15.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)0＜。＜2，Hcos30+sin30+1=m（cos0+sin0+I）3,則

2

實(shí)數(shù)m的取值范是.

35/2-41

【答案】2-'4

7

【解析】

【詳解】

cos30+sin30+1

解析：加

(cos6+sin6+1)3

(cos0+sin0)(cos20-cossin6+sir?6)+1

(cos6+sin6+Ip

☆x=cos，+sin〃，則x=V^sin(1,&],且sinOcos?=,

JI)1

J-/4-iI2J2+3x—x'2.+x—x2—x31,

m—__-____________—__________—_________—________=___________

(x+1)3-2(X+1)3-2(x+l)2-2(x+l)-2(x+l)2

-r-

為然，“是(1,夜]上的減函數(shù)，所以f(&)4/(⑼<f⑴，即機(jī)€3

3夜-41、

故答案為:-2-'4

7

16.（2021?浙江?高三競(jìng)賽）在A43C中，ZB=ZC=30°,他=2.若動(dòng)點(diǎn)P,。分別

在A3,8c邊上，且直線PQ把AABC的面積等分，則線段PQ的取值范圍為.

【答案】［"癢6,夕］

【解析】

【分析】

【詳解】

如圖所示，設(shè)8P=x,8Q=y,

所以醺眇2=g孫sin300=|久甌=乎，所以孫=26，

c百22/212/

由余弦定理可得,2。2=/+/

-2xyx—=x~+y-6=x^+--6

易得xe［l,2］,所以

所以46-64P。？47,

則PQ的取值范圍為［”6-6,77］.

故答案為：［“石-6,8.

17.（2021?浙江?高三競(jìng)賽）若xJ-,,。］,則函數(shù)y=4sinxcosx+3的最小值為

\44/sinx+cosx

【答案】2夜

【解析】

【分析】

【詳解】

令￡=sinx+cosx=&sin(x+?)e(0,3],

"亞土=絲工2"22萬

ttt

當(dāng)且僅當(dāng)2f=!即/=正時(shí)取等號(hào).

t2

故答案為：2&.

18.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知等腰直角APQR的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰直角AABC的

三條邊上，記，QR、A43C的面積分別為豈咿、S.ABC，則沁的最小值為

3AAsc

【答案】I

【解析】

【分析】

【詳解】

（1）當(dāng)APQR的直角頂點(diǎn)在AA3C的斜邊上，如圖1所示，則P,C、Q,R四點(diǎn)共

圓，ZAPR=ZCQR=180°-Z.BQR,所以sinZAPH=sinNBQR.

在LAPR、ABQR中分別應(yīng)用正弦定理得%=.A^—，笑=.喋..

sinAsin/.APRsinBsmZ.BQR

又ZA=NB=45、PR=QR,故AR=BR,即/?為AB的中點(diǎn).

過R作/W_LAC于，，則PR2R〃=gBC,

2fiC

所以力儂=p/?>（2）=1,此時(shí)沁的最小值為J.

BC2~4%，4

（2）當(dāng)APQR的直角頂點(diǎn)在AABC的直角邊上，如圖2所示.

]^BC=\,CR=x（0<x<1）,NBRQ={0<a<?,

則ZCPR=90°-NPRC=NBRQ=a.

「Rj-

在R/ACPR中，PR=——=—,在ABRQ中，

smasina

x3

BR="x,RQ=PR=------,NRQB=7r-NQRB-NB=-7r-a,

sina4

x

RQRBsina

由正弦定理,硒=嬴與而0要二一W--------\-=---------b—，因此

3)sinacosa+2sina

上sin—sin—7i-a

44J

妝樣S/QR_(______1]>__________1___________1

、S4ABelcosa+2sina)+22)(cos2a+sin2a)5

此時(shí)沁的最小值為]

當(dāng)且僅當(dāng)a=arctan2時(shí)取等號(hào),

、4ABC5

故答案為：—.

3

19.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）滿足方程cos2x+cos22x-2cosxcos2xcos4x=—,XG[0,2TT]

4

的實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)為.

【答案】14

【解析】

【分析】

【詳解】

將方程變形為,cos2x+cos4x-4cosxcos2xcos4x=——.

2

兩邊同乘2sinx,運(yùn)用積化和差和正弦的倍角公式，得:

(sin3x-sinx)+(sin5x-sin3x)-sin8x=-sinx,

即sin5x=sin8x,

故5x+8x=(2A+l)〃,Z￡Z或8%=51+2%4,女cZ,

即'=筌1肛％€2或x=

又因?yàn)樵诜匠虄蛇呁瑫r(shí)乘sinx時(shí)，所以引入/增根x=M肛kwZ（代入原方程檢弗可

得）.

再結(jié)合xl[0,2加，得所求結(jié)果為14.

故答案為：14.

20.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)A4?C的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,

若6+c-a=2,貝！|從$出，2+°2511120-2/70$皿4$1110$抽￡值為.

22222-

【答案】1

【解析】

【分析】

【詳解】

=—(b1+c1+2bc)-—ba-—ca+—a1=(生^一-)2=1.

42242

故答案為：1.

21.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)AMC中，4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,。是AASC的

外心，點(diǎn)P滿足方=函+礪+詼，若8=5,且就.團(tuán)=4，則AABC的面積為

【答案】2石

【解析】

【分析】

【詳解】

由麗=麗+而+元，^OP-OA=OB+OC即麗=麗+南

___uuumai

注意到(O8+OC)，BC,所以APLBC.

同理，BP1AC＜所以？是AA8C的垂心，

BPBC=(BA+AP)BC=BABC,

所以accos8=4,ac=8,

所以SMBC=g?csinB=26.

故答案為：2K.

22.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)的三個(gè)內(nèi)角分別為4、B、C,并且

sinA、cosB、sinC成等比數(shù)列，cosA、sin8、cosC成等差數(shù)列，則B為.

【答案】y

【解析】

【分析】

【詳解】

依題意，sinAsinC=cos2acosA+cosC=2sinB,

前一式積化和差可得cos(A-C)=2cos2B-cosB,

后一式和差化積可得cos與C=2cos《，

22

所以COS（A-C）=2COS2^——-1=8cos2--1=4cosB+3,

22

124

聯(lián)立兩式得cos8=-5或3（舍去），所以8=看.

故答案為：-

23.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如果三個(gè)正實(shí)數(shù)萬、，、z滿足/+孫+y?=25,

y2+yz+z2=i44,z2+zx+x2=169，則呼+）'z+zx=.

【答案】40y/3

【解析】

【分析】

【詳解】

x2+y2-2xycos120°=52,

易知三個(gè)等式可化為，y+z2-2yzcosl200=122,

z2+x2-2zxcos120°=132.

構(gòu)造心AABC,其中A.B=13,BC=5,CA=12.

設(shè)尸為△ABC內(nèi)?點(diǎn)，使得尸6=x,PC=y,PA=z,NBPC=NCa4=NAP6=120。.

因S.BPC+SQA+S.APB=S.ABC，則;⑶+?+zx）sin120。=gx5x12,

所以孫+yz+zx=40百.

故答案為：40G.

cosX

24.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)f（x）=1s（30二二丁則〃1°）+/（2°）+…+〃60。）=

【答案】小叵

6

【解析】

【分析】

【詳解】

cosX

因?yàn)椤盎?許可’所以：

_cosx+cos（60°-x）_2cos30°cos（x-30°）

cos（x-30°）cos（x-30°）

令:5=/。。）+/（2。）+…+”59。），①

s=459。）+”58。）+…+”2。）+“1。）,②

①+②得：：

2s=[/（1。）+/（59。）]+卜（2。）+f（58°）]+-+[/（590）+f（1°）]=59^,

所以$=即川）+〃2。）+…+〃59）=學(xué).

又/（60。）=/60。+昱

人,7cos（30°-60°）比31

2

則/（1。）+〃2。）+~+〃59。）+〃60。）=竽+*=1^.

故答案為：空5.

6

25.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知cosx+cosy=l,則sinx-siny的取值范圍是

【答案】[-8,6]

【解析】

【分析】

【詳解】

2

/2_]t—I

ijsinx-siny=t,cosxcosy-sinxsiny=,B|Jcos（x+y）=■.

由于-14cos（x+y）41,所以一14與241，

解得-GwVL

故答案為：[-6,6].

26.（2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在AABC中，AB=6,BC=4,邊AC上的中線長(zhǎng)為加，

AA

則SH]+COS6]的值為.

211

【答案】赭

【解析】

【分析】

由中線長(zhǎng)公式計(jì)算出AC的長(zhǎng)度，然后運(yùn)用余弦定理計(jì)算出cosA的值，化簡(jiǎn)后即可求

出結(jié)果.

【詳解】

記M為AC的中點(diǎn)，由中線長(zhǎng)公式得

4BM2+AC2=2（AB1+BC2）,

nJAC=^2（62+42）-410=8.

C片+時(shí)-BC?82+62-427

由余弦定理得cosA=所以

2CAAB2-8-68

+為s&g

44256

211

故答案為:

256

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題關(guān)鍵是能夠熟練運(yùn)用中線長(zhǎng)公式、余弦定理、倍角公式等進(jìn)行

計(jì)算，考查綜合能力.

27.（2019?江蘇?高三競(jìng)賽）已知函數(shù)/（x）=4sin2x+3cos2x+2asinx+4acosx的最小

值為一6,則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】±72

【解析】

【詳解】

令sinx+2cosx=則/G[-火,百J,

2/2=4sin2x+3cos2x+5,

???f（x）=gQ）=2/+2at-5,te[-6⑹,

當(dāng)《4-6心2石時(shí)，

函數(shù)的最小值為：g（-百）=2x卜石）+2x（-石卜〃一5=-6,

解得：a=2^5f不合題意，舍去；

當(dāng)一5~"，a~-2舊時(shí)，

函數(shù)的最小值為：g（石）=2乂（括）+2x（石）xa-5=-6,

解得：。=一樂，不合題意，舍去；

當(dāng)一6<—<A/5,-2后<a<2石時(shí)，

函數(shù)的最小值為:gf-jl=2xf-^Y+2xf-jLa-5=-6>

解得：a=±近，滿足題意.

故答案為：±及.

28.（2019?福建?高三競(jìng)賽）在△ABC中，若AC=O,A8=2,且

6sinA+cosA5萬

=tan——，則8C=____________

6cosA-sinA12

【答案】y/2

【解析】

【詳解】

廠2sin|A+—|

,>/3sinA+cosA5兀八、(6).5兀

由F~二行，得一7—anH'

V3cosA-sinA122cosA+七J12

即tan[A+、■)=tan,所以A+看=+k兀,keZ.

結(jié)合0<A<;r,得A+3=￥，A=j

所以由余弦定理，得:

所以BC=VL

故答案為：近.

29.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)NA、乙8、NC是AABC的三個(gè)內(nèi)角.若sinA=a,cos8=b,

其中,a>0,6>0,且/+b241,則tanC=

ab+\ll-a2\l\-b2

【答案】

ayjl-h2-by/l-a2

【解析】

【詳解】

因?yàn)閏os8=b>0,所以.NB為銳角,sinB=Jl_cos2B=Jl_/?2.

又/+b241,則sinA-a<\J\-b2-sinB

于是sin（萬-A）VsinB.

若ZA為鈍角，則乃-ZA為銳角.

又N3為銳角，則乃-ZAVNBnNA+2萬矛盾.

從而,ZA為銳角，且cosA=Jl-sin%=y/l-a2-

sinAasinB_yj\-h2

故tanA=

^A~4]-a2'tanB=

cosBh

tanA+tanBah+\/l-a2yjl-h2

則tanC=

tanA?tanB-1a\Jl-b2-b\l\-a2

30.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在AABC中，已知。、b、。分別是NA、bB、NC的對(duì)

邊.若g+?=4cosC,cos（A—B）=—,則8sC=______.

ba6

【答案】|

【解析】

【詳解】

由題設(shè)及余弦定理知-+-=4-二旺?=a2+b2=2c2

balab

23

=>cosC=—或——.

34

3

而cosC+cos（A+3）=2sinAsinB>0=>cosC=一j（舍去）.

2

因此，cosC=-.

3

31.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）若對(duì)任意的AABC,只要p+4=r（p、qwR）,就有

psin2A+qsin2B>pqsin?C,則正數(shù)廠的取值范圍是.

【答案】0<r<1

【解析】

【詳解】

設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為。、b、J

則?sin2A+asin2B>pqsin2c@t=>—-+—b2>c2.

<7P

若7W1,則一片H—從2（q+p）（—-l—。-]2（a+人）->c'；

qpP）

若r>l,令p=q=：

當(dāng)a=6,/C—>萬時(shí)，&——,式①不成立.

c222

綜上，0<r<l.

32.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在銳角AABC中，cosA+cos5-sinA-sinB的取值范圍是

【答案】（-2,0）

【解析】

【詳解】

由0<ZA、NB、ZC<^=>^<ZA+ZB（^-=>ZA）^-ZB,ZB>y-ZA.

則0<cosA<sinB<1,0<cosB<sinA<1

故一2<cosA+cosB-sinA-sinB<0.所以取值范圍是（-2,0）.

33.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知單位圓Y+y2=l上三個(gè)點(diǎn)A（X1,y）,鳳七,必），

C(W，%)滿足芯+W+W=弘+%+%=°.則x；+考+x；=y：+y；+y；=

3

【答案】4

【解析】

【詳解】

設(shè)M=cosa,x2=cos/7,x3=cos/,y=sina,y2=sin/?y3=sin/.

由題設(shè)知A48c的外心、重心、垂心重合，其為正三角形.

故cos2a+cos2/?+cos2y=^+g(cos2a+cos2/7+cos27)=1-

sin%+sin2/7+sin2/=g-g(cos2a+cos2夕+cos27)=-|

3

故答案為5

34.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在△ABC中，2cosA+3cos3=6cosC,則cosC的最大值

為_________________

【答案】①]

6

【解析】

【分析】

【詳解】

2

令cosA=x,cos8=y,cosC=z,則2x+3y=6z,gpy=2z--x.

因?yàn)閏os2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,

所以x2+(2z-gx)+z2=l-2xf2z--|xjz

工曰42?4z13ZB,\/\A-1

]"7414z+------0n,\J1-Z<----------,

396

所以cosC的最大值為亞二1.

6

m-1

故答案為:

--6-

35.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知正整數(shù)〃、P,且。22,設(shè)正實(shí)數(shù)班,“，…，也滿足

Xi*1~=1，則叫%…%的最小值為

【答案】（n-iy

【解析】

【分析】

【詳解】

2

令m：=tanxnxiG

由題設(shè)可得cos?再+cos2%+…+COS2%=1,丁是:

2222

cos%+cosx2+-??+cosxn_{=sinxn,

2222?2

cosx}+cosx2+---+COSxn_2+cosxn=smX,,.),

2222

cosx2+cos+---+cosxn=sinx,,

將上述各式利用均值不等式得：

n2222

(〃-l)^cosx,cosx2?--cosxn_x<sinxn,

H22222

(n-l)^ycosX]cosx2?--cosxn_2cosxn<sinxn_x,

/:2222

(n-l)^cosx2cosx,?--cosxn<sin玉，

再把上述〃個(gè)不等式相乘，得

22222

(〃-1)"(cos2%cos々--cos<sin%sinx2---sinxn,

222w

即tanXjtanx2???tanxn>(〃-l).

由于時(shí)=tan?%,i=1,2,...,〃，故仍巧...?之5一獷，

1

當(dāng)且僅當(dāng)叫=(〃_獷時(shí)上式等號(hào)成立.

故答案為：

36.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)銳角A4?C的三個(gè)內(nèi)角A、B、C,滿足

sinA=sinBsinC,則tanA?tan8?tanC的最小值為.

?小田、16

【答案】—

【解析】

【分析】

【詳解】

7T

由題設(shè)可知，。<4仇。<一，則cos3>0,cosC>。.

2

又由A+8+C=%及sinA=sinsinC

sin(^-(B+C))=sinB-sinCT

即sin(B+C)=sinSsinC,

則sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC,①

由cos5>0,cosC>0,①式兩邊同時(shí)除以cosBcosC,

可得tanB+tanC=tanB-tanC.

設(shè)tan8+tanC=s,則tantanC=s,

由0<B,C<g知，tanB>0,tanC>0,貝ljs>0.

于是有tanB(s-tanB)=s,故tai?B-stanB+s=0,

《ST?c

從而有(tanB—)2=-----5=—(5—4).

244

又(tan8-1)220,得((s-4)N0,而s>().所以sN4.故sN4.

tan8+tanC—

=----------------------tanB-tanC=------.

1-tanB-tanC5-1

因?yàn)閟",于是求tanATan8-tanC的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)=——(x>4)的最小

x-l

值.

Y2工21

考慮函數(shù)f(x)=——(x>4),/(x)=—=(x-1)+——+2(x>4),

x-1x-1x-1

即/(x)在［4,用)上單調(diào)遞增，從而x24J(x)N/(4).

因此〃x)的最小值在x=4時(shí)取得，為/(4)=去=個(gè).

,,4

由1&口5+12!1。=10113,3。=4得，tanB=tanC=2,從而tanA=一,

3

416

故當(dāng)lanA=§,tanS=tanC=2時(shí),tanA-tanB-tanC取得最小值不.

故答案為：.

37.（2019?貴州?高三競(jìng)賽）在△ABC中，■+通+覺=6,西?赤=0.則

(tanA+tanB)tanC

tanA?tan8

【答案】3

【解析】

【詳解】

設(shè)△ABC中角A、B、C所對(duì)的邊分別為〃、b、c.

由痂+而+反=0,麗?麗=0,知G為△ABC的重心.

GA2+GB2^C2

又GALG&所以+GB2=f|a

同+GT"

得到〃2+/=502.故:

_sin2c=2abe2_2c?__1_

22222

一sinAsin8cosc+b-c)~a+/,-c一2

故答案為：y.

38.(2019?江西?高三競(jìng)賽)AA8C的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：A=3B=9C,則

cosAcosB+cosBcosC+cosCeosA=.

【答案】:

【解析】

【詳解】

TT

設(shè)C=a8=3。，A=9。，由6+36+96=萬得0=2,

13

所以S=cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA

注意括號(hào)中的諸角度構(gòu)成公差為管的等差數(shù)列，兩邊同乘4sin^,得到

乃

=-sm——.

13

所以，S=~.

4

故答案為：-；.

4

三、解答題

39.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在△MC中，三內(nèi)角A、B、。滿足

tanAtanB=tanBtanC+tanCtanA,求cosC的最小值.

【答案】I

【解析】

【分析】

【詳解】

由tanAtanB=tanBtanC+tanCtanA,得：

sin2C

=，

cosAcos8cosc

2?22

所以sinAsinBcosC=sin2c.由正余弦定理，得ab"+........-=c2,

2ab

w、i27)c0「sin2cc2a1+krlab2

所以/+/r=3c",cosC=-------------=—=--------->——=-,

sinAsinBab3ab3ab3

當(dāng)且僅"1。=b時(shí)等號(hào)成立，所以cosC的最小值為g.

40.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)解關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程：*[34={靖儂

（這里

{x}=x-[.r],[x]為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù))

【答案】{0}

【解析】

【分