2024-2025學(xué)年度北師版八上數(shù)學(xué)-期末復(fù)習(xí)課一（第一章 勾股定理）【課件】

總復(fù)習(xí)期末復(fù)習(xí)課期末復(fù)習(xí)課（一）（第一章勾股定理）數(shù)學(xué)八年級上冊BS版知識梳理典例講練目錄CONTENTS

1.

勾股定理.（1）文字語言：直角三角形兩直角邊的

等于

?的平方.如果用a,b和c分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊，那么

?；平方和

斜邊

a2＋b2＝c2

（2）幾何語言：

在Rt△ABC中（如圖所示），∵∠ACB＝90°，∴

?.BC2＋AC2＝AB2

注意：勾股定理成立的前提是已知三角形是直角三角形.2.

勾股定理的逆定理.（1）文字語言：如果一個三角形的三邊長為a,b,c且滿足

，那么這個三角形是直角三角形；（2）幾何語言：在△ABC中（如圖所示），∵

，∴

且∠ACB＝

90°.3.

勾股數(shù).（1）滿足a2＋b2＝c2的三個

，稱為勾股數(shù).a2＋b2

＝c2

BC2＋AC2＝AB2

△ABC是直角三角形

正整數(shù)

（2）常見的勾股數(shù)：勾

a

股

b

弦

c

345512137242581517940414.

勾股定理的應(yīng)用.（1）求邊長（或線段長）.解決此類問題時，若沒有直角三角形，則需要構(gòu)造直角三角形，常見方法是作垂線段.（2）運用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀或求角度.（3）解決最短距離問題.常見思路：兩點之間線段最短；點到直線上任一點的連線中，垂線段最短.此類問題都是在平面圖形中解決，因此常將幾何體展開轉(zhuǎn)化成平面圖形來解決問題.（4）解決實際生活中的問題.數(shù)學(xué)八年級上冊BS版02典例講練

類型一

利用勾股定理求邊長或面積

（1）如圖，將等腰直角三角形ABC（其中∠B＝90°）沿

EF折疊，使點A落在BC邊的中點A1處.若BC＝8，則線段AE

的長為

?.5

【解析】由折疊的性質(zhì)，得A1E＝AE.

∵△ABC為等腰直角三角形，BC＝8，∴AB＝8.∵點A1為BC的中點，∴A1B＝4.設(shè)

AE＝A1E＝x，則BE＝8－x.在Rt△A1BE中，由勾股定理，得42＋（8－x）2＝x2，解得x＝5.故答案為5.【點撥】利用勾股定理在折疊問題中求線段長的關(guān)鍵點：（1）折疊后，對應(yīng)點、對應(yīng)線段之間的位置、大小關(guān)系的變與不變；（2）抓住折疊問題中的相關(guān)點、線，尋找或構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理列方程求解.（2）已知點A，B，C在格點圖中的位置如圖所示，格點小正方形的邊長為1，則點C到線段AB所在直線的距離為

?.

【點撥】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方和一定等于斜邊的平方是解答此題的關(guān)鍵.

1.

“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)直角三角形較長的直角邊長為b，較短的直角邊長為a.若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為

?.3

2.

在等腰三角形ABC中，已知AB＝5，BC＝6，求△ABC底邊上的高.

類型二

勾股定理的逆定理的應(yīng)用

如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝16

cm，

BC＝12

cm，AD＝21

cm，CD＝29

cm.（1）求證：∠DAC＝90°；（2）求四邊形ABCD的面積.

（2）求四邊形ABCD的面積.【點撥】判斷一個三角形是否為直角三角形的兩種方法：（1）利用定義，即若已知條件與角度有關(guān)，則可借助三角形的內(nèi)角和判斷；（2）利用直角三角形的判定條件，即若已知條件與邊有關(guān)，一般通過計算得出三邊的數(shù)量關(guān)系，看是否符合較短兩邊的平方和等于最長邊的平方.

1.

在下列各組數(shù)據(jù)中，其中能構(gòu)成直角三角形的三邊長的是（

D

）A.2，3，4B.1，1，2C.1.5，2，2.8D2.

如圖，已知方格紙中每個小正方形的邊長均為1，且△ABC

的頂點均在格點上.試判斷△ABC的形狀，并說明理由.解：△ABC是直角三角形，理由如下：由題意，得AC2＝22＋42＝20，BC2＝22＋12＝5，AB2＝32＋42＝25.∵20＋5＝25，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.類型三

幾何問題中的最短路程問題

（1）如圖，一只螞蟻沿著邊長為1的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B.

若螞蟻運動的路線是最短的，則最短路程為

?.

【點撥】此題考查了平面展開——最短路程問題和勾股定理，

熟練求出AB的長是解本題的關(guān)鍵.（2）如圖，已知圓柱形玻璃杯高14

cm，底面圓周長為32

cm，在杯內(nèi)壁離杯底5

cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁離杯口3

cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁點

A

處爬到內(nèi)壁點

B

處的最短路程為

cm（杯壁厚度不計）.20

【點撥】涉及從杯壁外面與里面的最短路程問題時，一般要將側(cè)面展開，同時找到起始點的對稱點，連接對稱點和終點，從而找到最短路程，最后利用勾股定理進行求解即可.

2.

如圖，已知四邊形ABCD是長方形地面，AB＝10

m，AD＝5

m，中間豎有一堵磚墻，高MN＝1

m.一只螞蟻從點A爬到點

C，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走

m.13

類型四

利用勾股定理解決實際問題

某初中數(shù)學(xué)興趣小組開展實踐活動.如圖，在校園里測量一塊四邊形場地ABCD的周長，其中邊CD上有水池和建筑物遮擋，沒有辦法直接測量其長度.經(jīng)測量，得知AB＝AD＝BD＝60

m，BC＝80

m，∠ABC＝150°.如果你是數(shù)學(xué)興趣小組的成員，請想辦法求出四邊形ABCD的周長.

臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米的范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，具有極強的破壞力.據(jù)氣象觀測，距沿海某城市所在位置點A的東南某方向240

km的點B處有一臺風(fēng)中心（如圖所示），其中心風(fēng)力為12級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)在以20

km/h的速度向正西方向往點F移動，∠ABF＝30°，且臺風(fēng)中心的風(fēng)力不變.若每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心25

km，則風(fēng)力就會減弱一級，當(dāng)城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過4級時，城市會受臺風(fēng)影響.（1）該城市是否受到臺風(fēng)影響？請說明理由.

答圖

答圖（2）若該城市受到臺風(fēng)影響，則該城市受臺風(fēng)影響持續(xù)的時間有多長？類型五

利用勾股定理解決動點問題

如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝12

cm，

CD＝6

cm，DA＝3

cm，∠D＝∠A＝90°，點P沿AB邊從點

A開始向點B以2

cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點

A以1

cm/s的速度移動.如果點P，Q同時出發(fā)，用t（單位：s）表示移動的時間，且0≤t≤3.（1）是否存在這樣的t，使得∠PCQ＝90°？若存在，請求出t

的值；若不存在，請說明理由.（2）△PBC能否構(gòu)成直角三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由.解：（1）不存在t

值滿足要求.理由如下：如圖1，過點C作

CE⊥AB，垂足為

E.

∵AB∥CD，CD

＝6

cm，DA＝3

cm，∴AE＝6

cm，CE

＝3

cm.∴CQ2＝CD2＋

DQ2＝36＋t2，

CP2＝CE2＋（AE

－AP）2＝9＋（6－2t）2，

PQ2＝（AD－DQ）2＋

AP2＝（3－t）2＋（2t）2.要使∠PCQ＝90°，則CQ2

＋

CP2＝PQ2，即36＋t2＋9＋（6－2t）2＝（3－

t）2＋（2t）2，解得t＝4.

∵0≤t≤3，∴不存在使∠PCQ＝90°的t值.圖1

（1）是否存在這樣的t，使得∠PCQ＝90°？若存在，請求出t

的值；若不存在，請說明理由.（2）△PBC能否構(gòu)成直角三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由.

圖2【點撥】解與時間t有關(guān)的幾何動點問題的基本方法：通過公式“速度×?xí)r間＝路程（線段的長度）”，用時間t表示出所需要的線段的長度.當(dāng)涉及能否構(gòu)成直角三角形時，就是看該三角形的三邊長度的數(shù)量關(guān)系是否符合勾股定理，并能求出符合要求的t值，如果可以求出符合要求的t值，就能判斷能形成直角三角形，否則不能形成直角三角形，從而解決問題.

解：由題意可知，P（t，2t），B（6，2），Q（5t，0）.根據(jù)勾股定理，得PB2＝（6－t）2＋（2－2t）2，

QB2＝（6－5

t）