2024-2025學(xué)年度北師版八上數(shù)學(xué)-專題4-一次函數(shù)在圖形中的應(yīng)用【課件】

第四章一次函數(shù)專題4一次函數(shù)在圖形中的應(yīng)用數(shù)學(xué)八年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS

?問題綜述一次函數(shù)是初中階段所接觸的第一種初等函數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，在中考中是重要的考點.在解決問題時，除了一些基礎(chǔ)的問題，例如點的坐標(biāo)、字母系數(shù)的取值及取值范圍，還常常涉及面積問題、最值問題等綜合性較強的問題.我們要掌握常見的解題方法，化繁為簡，達到事半功倍的效果.?要點歸納1.

邊在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行的三角形，叫做坐標(biāo)三角形.2.

一般三角形的面積問題

坐標(biāo)三角形的面積問題.3.

四邊形的面積問題

坐標(biāo)三角形的面積問題.4.

求坐標(biāo)系中三角形面積的方法：補、割、移.數(shù)學(xué)八年級上冊BS版02典例講練

類型一

一次函數(shù)與坐標(biāo)三角形的面積問題

已知一次函數(shù)y1＝k1x－4（k1≠0）和一次函數(shù)y2＝4x＋b

與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積都是24，求這兩個一次函數(shù)的表達式.

【點撥】已知直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，求一次

函數(shù)的表達式時，先設(shè)出一次函數(shù)的表達式，再用待定字母表

示出直線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)（這一步要考慮直線與x抽、y

軸相交時的位置的不同情況），然后利用已知三角形的面積求

出待定字母的值，最后代回所設(shè)的一次函數(shù)的表達式即可.

已知四條直線y＝kx－3，y＝－1，y＝3，x＝1所圍成的四邊

形的面積是12，求k的值.

顯然四邊形ABCD是梯形，且梯形的高是4，根據(jù)梯形的面積是

12，則梯形的上、下底的和是6.類型二

由面積關(guān)系求點的坐標(biāo)

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l1：y＝x＋1與x軸

交于點A，直線l2：y＝3x－3與x軸交于點B，與l1相交于點C.

（1）寫出點A，B，C的坐標(biāo)：A

，B

，C

?.（－1，0）

（1，

0）

（2，3）

圖1圖2（2）如圖2，動直線x＝t分別與直線l1，l2交于P，Q兩點.①若PQ＝2，求t的值.②是否存在點Q，使得S△AQC＝2S△ABC？若存在，請求出此時點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（1）【解析】對于直線l2：y＝3x－3，令y＝3x－3＝0，解得

x＝1，故點B的坐標(biāo)為（1，0）.對于l1：y＝x＋1，同理可得，點A的坐標(biāo)為（－1，0）.由3x－3＝x＋1，解得x＝2.則y

＝3x－3＝3.故點C的坐標(biāo)為（2，3）.故答案為（－1，0），（1，0），（2，3）.（2）解：①點P在直線l1上，則設(shè)點P（t，t＋1），同理點Q（t，3t－3），則PQ＝｜t＋1－3t＋3｜＝2，解得t＝1或t＝3.②存在.理由如下：當(dāng)t＜2時，BQ＝BC，可得點Q的坐標(biāo)為（0，－3）；當(dāng)t＝2時，△AQC不存在；當(dāng)t＞2時，CQ＝2BC，所以點Q的縱坐標(biāo)為9.當(dāng)y＝9時，9＝3x－3，解得x＝4.所以點Q的坐標(biāo)為（4，9）.綜上所述，存在點Q，使得S△AQC＝2S△ABC，點Q的坐標(biāo)為

（0，－3）或（4，9）.【點撥】在涉及面積問題時要結(jié)合圖形具體分析，這樣考慮更

全面，解題更簡單.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點O為坐標(biāo)原點，直線AB分

別與x軸、y軸交于點A（5，0），B（0，5），動點P的坐標(biāo)

為（a，a－1）.（1）求直線AB的函數(shù)表達式；解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)表達式為y＝kx＋b（k≠0）.由題意，得b＝5，5k＋b＝0.所以k＝－1.所以直線AB的函數(shù)表達式為y＝－x＋5.

答圖（2）連接AP，若直線AP將△AOB的面積分成相等的兩部分，

求此時點P的坐標(biāo).

類型三

一次函數(shù)圖象的平移問題

已知一次函數(shù)y＝kx＋b（k，b為常數(shù)，且k≠0）的圖象過點（3，2）和（0，－4），交x軸于點A，交y軸于點B.

（1）求一次函數(shù)的表達式.（2）規(guī)定：橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點為整點；該一次函數(shù)的圖

象與y＝x的圖象及y軸圍成的區(qū)域（不含邊界）稱為區(qū)域W.

①求區(qū)域W中整點的個數(shù)；②將一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象至少向上平移多少個單位長度，

才能使得區(qū)域W中整點的個數(shù)為0？解：（1）根據(jù)題意，得b＝－4，3k＋b＝2.所以k＝2.所以一次函數(shù)的表達式為y＝2x－4.（2）①令2x－4＝x，解得x＝4.當(dāng)x＝4時，y＝4.所以兩直線的交點坐標(biāo)為（4，4）.畫出函數(shù)y＝x和y＝2x－4的圖象如圖所示.分析可知區(qū)域W內(nèi)的整點有（1，－1），（1，0），（2，1），共3個.故區(qū)域W內(nèi)的整點有3個.②當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點（1，0）時，區(qū)域W內(nèi)有0個整點.設(shè)平移后的直線的函數(shù)表達式為y＝2x＋n.把（1，0）代入，得0＝2＋n，解得n＝－2.所以－2－（－4）＝2.所以將一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象至少向上平移2個單位長度，

才能使得區(qū)域W中整點的個數(shù)為0.【點撥】對于此類題目通常需要結(jié)合圖象進行解題，所以準(zhǔn)確

作出圖象是解題的關(guān)鍵.

（2）當(dāng)x≥－4時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝mx（m≠0）

的值都大于一次函數(shù)y＝kx＋b的值，求m的取值范圍.

類型四

一次函數(shù)與圖形的綜合問題

如圖1，已知直線AB分別交平面直角坐標(biāo)系中x軸和y軸于

A，B兩點，點A的坐標(biāo)為（－3，0），點B的坐標(biāo)為（0，6），點C在直線AB上，且點C的坐標(biāo)為（－a，a）.（1）求直線AB的函數(shù)表達式和點C的坐標(biāo)；（2）點D是x軸上的一動點，當(dāng)S△AOB＝S△ACD時，求點D

的坐標(biāo)；（3）如圖2，點E坐標(biāo)為（0，－1），連接CE，點P為直線AB

上一點，且∠CEP＝45°，求點P的坐標(biāo).圖1圖2備用圖解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)表達式為y＝kx＋b（k≠0）.因為A（－3，0），B（0，6），所以b＝6，－3k＋b＝0.所以k＝2.所以直線AB的函數(shù)表達式為y＝2x＋6.因為點C（－a，a）在直線AB上，所以a＝－2a＋6，解得a＝2.所以點C的坐標(biāo)為（－2，2）.

（3）①如圖1，當(dāng)點P在射線CB上時，過點C作CF⊥CE交直

線EP于點F.

因為∠CEF＝45°，所以CE＝CF.

過點C作x軸的垂線l，分別過點F，E作FM⊥l，EN⊥l，所以∠FMC＝∠CNE＝90°，∠MCF＋∠MFC＝90°.因為CF⊥CE，因為∠MCF＋∠NCE＝90°.所以∠MFC＝∠NCE.

所以△FMC≌△CNE（AAS）.圖1所以FM＝CN＝3，CM＝EN＝2，即點F的坐標(biāo)為（1，4）.設(shè)直線EF的函數(shù)表達式為y＝mx＋n（m≠0），由題意，得n＝－1，m＋n＝4.所以m＝5.所以直線EF的函數(shù)表達式為y＝5x－1.

②如圖2，當(dāng)點P在射線CA上時，過點C作CH⊥PE交直線PE

于點H，過點H作HK⊥y軸于點K，過點H作GH⊥x軸，過點

C作CG⊥GH于點G.

因為∠GHK＝∠CHE＝90°，所以∠CHG＋∠CHK＝∠CHK＋∠EHK.

所以∠CHG＝∠EHK.

因為∠CEP＝45°，所以CH＝HE.

所以△CHG≌△EHK（AAS）.圖2

【點撥】本題是一次函數(shù)的綜合題，熟練掌握一次函數(shù)的圖象

及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

如圖，直線AB：y＝x－2與x軸交于點A，與y軸交于點B，點

C是線段AB上一點（不與點A，B重合）.以O(shè)C為一邊作△

OCD，其中∠COD＝90°，OC＝OD，連接AD.

（1）求點A，B的坐標(biāo)和線段AB的長；（2）試猜想線段AD和BC之間的數(shù)量與位置關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)BC＝OB時，求點D的坐標(biāo).

（2）猜想：AD＝BC，AD⊥BC.

理由如下：因為∠COD＝90°，OA⊥OB，所以∠COD＝∠AOB＝90°.所以∠D