滬教版2020必修第三冊-第2講 空間直線與直線間的位置關(guān)系（鞏固基礎+能力提升練習）教師版

第2講空間直線與直線間的位置關(guān)系

（鞏固基礎+能力提升練習）

【鞏固基礎】

一、單選題

1.（2020?安徽省肥東縣第二中學高二月考（文））若4、6為異面直線，直線4與4平

行，則與的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面C.平行D.異面或相交

【答案】D

【分析】根據(jù)異面直線所成角判斷.

【詳解】因為4、4為異面直線，

所以4、6所成的角為銳角或直角，

因為直線4與4平行，

所以4與4所成的角為銳角或直角，

所以4與4的位置關(guān)系是異面或相交，

故選：D

2.（2020?浙江高二期中）如圖，在長方體ABC。-44GA中，體對角線AG與面對

角線的位置關(guān)系一定是（）

A.平行B.相交C.異面D.共面

【答案】C

【分析】根據(jù)異面直線的判定定理可得答案.

【詳解】因為5DU平面ABCZ）,平面ABCD,AeAC{,A^BD,

所以根據(jù)異面直線的判定定理可知&G與5。為異面直線.

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用異面直線的判定定判斷是解題關(guān)鍵.屬于基礎題.

3.（2020?南昌市第三中學高二月考（文））如圖，在正方體—中，E,F

分別是AA，片6的中點，則與直線少互為異面直線的是（）

A.CGB.BGC.DED.AE

【答案】D

【分析】可以證明選項A,3,C的直線和直線C尸都是共面直線，直線與直線AE互為

異面直線.

【詳解】因為直線4a、CGu平面BCCg,Cbu平面BCCg,

所以直線cq、4G與直線共面；

又因為E,尸分別是4〃，耳4的中點，

所以直線C/〃直線OE，所以C尸與OE為共面直線；

因為直線CF與直線AE不同在任意一個平面內(nèi)，

可得直線CF與直線AE互為異面直線.

故選：D

【點睛】本題主要考查異面直線的定義與判定，考查共面直線的判定，意在考查學生對這

些知識的理解掌握水平.

4.（2020?博興縣第三中學高二月考）如圖，點M，N,分別是正方體

ABC?！?4G。的棱BC，CG的中點，則異面直線4。和MN所成的角是（)

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】通過平移的方法作出直線用。和所成的角，并求得角的大小.

（詳解】依題意點M，N,分別是正方體ABCD-44GA的棱BC,CG的中點,

連接C[D,CBBD,結(jié)合正方體的性質(zhì)可知BDUB\D[,BCJ/MN,

所以/Cd。是異面直線用A和腦V所成的角，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，AC內(nèi)。是等邊三角形，所以/。避。=60。，

所以直線4。和MV所成的角為60°.

故選：C

【點睛】本小題主要考查線線角的求法，屬于基礎題.

5.（2020?唐山市第十一中學高二期中）在如圖所示的四個正方體中，能得出相，切的是

（）

c

D.

c.1?；III**II

....j—yI）D

HB

【答案】A

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷異面直線的夾角即可知正確選項.

【詳解】根據(jù)各選項圖形知：/中48,必；8中A5和CD的夾角為60。；C中A5和CD

的夾角為45°；〃中AB和CD的夾角為arctan、/5；

故選：A

【點睛】本題考查了利用正方體的性質(zhì)判斷異面直線是否垂直，屬于基礎題.

6.（2020?贛州市贛縣第三中學高二月考（文））分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位

置關(guān)系是（）

A.一定平行B.一定異面C.相交或異面D.一定相交

【答案】C

【分析】根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系分別判斷即可

【詳解】解：在空間中分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是異面或相交，

故選：C

【點睛】此題考查空間異面直線的性質(zhì)和空間兩直線的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎題

7.（2020?四川瀘州市?瀘縣五中高二月考（理））如圖所示，若分別是三棱柱

的頂點或所在棱的中點，則表示直線Ga,上W是異面直線的圖形有（）

G

E]MJ1/'[\、N

1?i\?

!1\\1

/11\1

人1、人

J、1、

二_________Lr_________'7

NHHNH

①②。④

A.①②B.③④C.②④D.①③

【答案】c

【分析】根據(jù)異面直線的定義即可判斷.

【詳解】①中，GH//MN,

③中，設GM分別為AC,5C中點，連接GM,

則GM//AB,GM

2

在三棱柱中AB//HN,AB=HN,

所以GMHHN豆GM手HN,故GH,VN必相交,

③

對于②設分別為棱GB,CH中點,

②

GHu平面AHCG,Nw平面0平面AHCG,

所以直線G〃,MN是異面直線;

對于④，同理②可得直線G〃,MN是異面直線.

【點睛】本題考查了異面直線的定義以及異面直線的判定方法，即平面外一點與平面內(nèi)一

點的連線和平面內(nèi)不過該點的直線成異面直線，屬于基礎題.

8.（2020?江西省吉水縣第二中學高二期中）如圖，在正方體ABC。-4用GR中，E

為AC的中點，則異面直線CE與所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【分析】連接AC,由已知條件可證得3D，平面A41clC,從而可得由此可

得答案

【詳解】連接AC,則ACLB。，

因為A&，平面ABC。，在平面ABCD內(nèi)，

所以A4

因為A4jAAC=A,

所以30,平面A&GC，

因為CE在平面A&GC內(nèi)，

所以80,CE,

所以異面直線CE與50所成的角為90°,

故選：D

【點睛】此題考查求異面直線所成的角，屬于基礎題

二、填空題

9.（2019?康保衡水一中聯(lián)合中學高二期中）在棱長為1的正方體A5CO-4月中,

M和N分別為A片和BBl的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值

【答案】|

【分析】如圖，設AB,CG的中點分別為E,F,連接證明為直線

與CN所成角或補角，再利用余弦定理求解.

【詳解】如圖，設AB,CG的中點分別為E,F,連接用E，4￡E￡

由題得AMIIqE，耳中|CN,

則NEB7為直線AM與CN所成角或補角.

因為棱長為1,則4E==g式，EF=；瓜

556

—4----------

4442

由余弦定理得cos/歿/=

5

2-

22

2

所以直線AM與QV所成角的余弦值為y.

故答案為：—

【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能

力，屬于基礎題.

10.（2020?全國高二）如圖，在正方體ABC?！?耳中，E,尸依次是AA和

瓦G的中點，則異面直線AE與Cb所成角的余弦值為_.

3

【答案】-

【分析】連AE、BF、EF，利用平行四邊形可得成V/AE,可得ZBRC是異面直線

AE與C下所成角（或所成角的補角），然后用余弦定理可得結(jié)果.

【詳解】在正方體ABCD—AgGA中，連AE、BF、EF,

■.E,歹依次是4。和Be1的中點,

所以AE/ABZ且4E=BXF,所以四邊形A.B.FE為平行四邊形,

所以EF//4與且EF=A}B],又//AB且[g=AB,

所以EFV/A5且4=A5,所以四邊形A3EE為平行四邊形,

：.BF//AE,是異面直線AE與C廠所成角（或所成角的補角）,

設正方體ABCD—4片。］。的棱長為2,則BF=CF=-x/4+l=75，

cosNBFC=5+"4廠=-.

2x75xv55

3

異面直線AE與5所成角的余弦值為g.

3

故答案為：—.

【點睛】本題考查了求異面直線所成的角，考查了余弦定理，屬于基礎題.

11.（2020?重慶市第三十七中學校高二期中）在正方體中，異面直線

與5c所成的角大小等于.

【答案】600.

【分析】連接4。，根據(jù)正方體的幾何特征及異面直線夾角的定義，我們可得/陰。即

為異面直線與耳。所成的角，連接5。后，解三角形地。即可得到異面直線43與

耳。所成的角.

【詳解】

DiCi

連接a。，由正方體的幾何特征可得：AD//B[C,

則/網(wǎng)。即為異面直線AyB與B.C所成的角或其補角，

連接BD，易得BD—\D—A[B

故NBAQ=60°

故答案為：60°

【點睛】本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，其中根據(jù)正方體的幾何特征及異面

直線夾角的定義判斷出/網(wǎng)。即為異面直線43與片。所成的角或者其補角，是解答本

題的關(guān)鍵.

12.（2020?安徽省懷寧縣第二中學高二期中（文））已知正方體ABCD-44GA中，E

為CR的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為.

【答案】|

3

【詳解】連接DE,

設AD=2,易知AD〃BC,

ZDAE就是異面直線AE與BC所成角，

在ARtADE中，由于DE=\后，AD=2,可得AE=3,

AD9

cosZDAE=—=—.

AE3

三、解答題

13.（2020?務川傷佬族苗族自治縣匯佳中學高二期中）長方體ABC。-46G。的底面

4BCD是邊長為1的正方形，其外接球的表面積為5萬.

（1）求該長方體的表面積；

（2）求異面直線與片。所成角的余弦值.

【答案】（1）4百+2；⑵昱.

4

【分析】（1）由外接球的表面積可求出球半徑，即長方體體對角線，由此求出長方體的

高，即可求出表面積；

（2）連接A。，AXB,因為所以是異面直線3。與耳。所成的角

或補角，利用余弦定理求出即可.

【詳解】解：（1）設外接球的半徑為R，則4〃尺2=5不，解得R=亞.

2

設相=%，則犬+12+12=（2氏）2=5,解得彳=百，

所以該長方體的表面積為2、（1'百+1'6+1、1）=46+2.

（2）連接A。，A.B,因為4。//耳。，所以是異面直線應＞與8c所成的角

或補角.

又BD=&.，43=2,4。=2,

所以在AABD中，COS幺DB=22+（&）2J22=也

2x2xV24

即異面直線3。與用C所成角的余弦值為正.

4

【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移

直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

（3）計算：求該角的值，常利用解三角形.

【能力提升】

一、單選題

1.（2021?浙江高二期末）已知空間三條直線a,b,c.若a_Lc,則（）

A.6與c平行B.6與c異面

C.6與c相交D.6與c平行、異面、相交都有可能

【答案】D

【分析】利用正方體模型進行分析判斷

【詳解】解：如圖在正方體A3CD—4與。1。中，ABLAD,ABLAA,,此時A。與

AA相交；

當A5_LA￡>,AB_L5C時，AD//BC；當AB_LAD,A3_LCQ時，AD與CQ異

面，

所以由a_LZ?,a_Lc,可得6與c平行、異面、相交都有可能,

2.（2020?江蘇蘇州市?高二期中）如圖，在正方體中，4片與

所成的角為（）

【答案】B

【分析】連接AR,BR,得出46/2為A片與G3所成的角，即可求解.

【詳解】如圖，連接A',BR,

因為AB//AG且AB=DjC；,

所以ABC】已為平行四邊形，

所以BC1//A。，

C

B

所以ZB/。為AB,與GB所成的角，

jr

因為AAA。為等邊三角形，所以N4AD]=§.

故選：B

3.（2021?贛州市贛縣第三中學高二開學考試（文））已知棱長為2的正方體

ABC?！?4GA中，p，E,F,G分別為CG，CD,?D,A耳的中點，則異

面直線GF與PE所成角的余弦值為（）

A.-B.旦C.史D.亞

3336

【答案】C

【分析】取"G中點H,連接班1則NGEH為異面直線6/與/方所成的角.

【詳解】如圖所示：

取2G中點X，連接彼，則加V/PE,即NGEH為異面直線G尸與PE所成的角,

V2_V3

可得小/=行，GH=2所以GF=JW，從而得到COS。二

76-T

故選：C

【點晴】方法點晴：求異面直線的夾角，通常把其中一條直線平移到和另外一條直線相交

即得異面直線所成的角.

4.（2021?湖南長沙市?長郡中學高二期末）已知正方體ABC。-A與GA的棱長為1，

直線與直線DG的夾角等于（）

6432

【答案】C

【分析】連接3C1、BD,證明出⑷可得出異面直線A2與直線DG所成的角為

NBCQ,分析ABC。的形狀，進而可得出結(jié)果.

【詳解】如下圖所示，連接§G、BD,

在正方體ABCD—7414GR中，AB//CXDXAB—ClDl,

所以，四邊形為平行四邊形，則BQ〃42，

所以，異面直線與直線DC】所成的角為N3G。，

TT

易知，ABG。為等邊三角形，則N3GD=g.

故選：C.

【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移

直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是10,,當所作的角為鈍角時，應取它的

補角作為兩條異面直線所成的角.

5.（2021?福建寧德市?高二期末）在長方體ABC?！狝4GR中，AB^BC=1,

A4=G，則異面直線AG與C2所成角的余弦值為（）

A1R也「夜D/

4244

【答案】C

【分析】連接A|6,BCi，將異面直線AQ與C2所成角轉(zhuǎn)化為直線4G與A13所成角

的大小來求解.

【詳解】如圖所示，連接48,5。，根據(jù)長方體的性質(zhì)可知Cn〃AB,則異面直線

AQ與CD,所成角的大小等于AG與A,B所成角的大小.

在三角形48cl中，A.B=BC,=^1+(A/3)2=2,AQ=拒,

V2

所以cos/網(wǎng)2.

故選：c.

【點睛】用定義法求解異面直線夾角問題時，首先要將所給的直線進行平移，找到兩條異

面直線夾角的平面角，然后通過求解三角形的方式求解出答案.

6.（2020?廣東佛山市?佛山一中高二月考）若直線。與直線/所成的角相等，則a,

b的位置關(guān)系是（）

A.異面B.平行C.相交D.相交、平行、異面

均有可能

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，以正方體為例，即可找到滿足條件的直線。，6與直線/所成的角相

等，則。，〃的位置關(guān)系可以為相交、平行、異面.

【詳解】解：若allb,顯然直線。，6與直線/所成的角相等；

若a,Z?相交，則。，力確定平面a,若直線/_La,

：.l1a,l±b,此時直線。，〃與直線/所成的角相等；

當直線。，〃異面時，同樣存在直線/與。，〃都垂直，此時直線。，匕與直線/所成的角

相等；

故選D.

二、填空題

7.（2020?跳南市第一中學高二期中（文））如圖所示，正方體ABC。-A4GR中，

E,歹分別是棱BC,CG的中點，則異面直線所與耳。所成的角為.

【答案】600

【分析】先利用平行關(guān)系找到為異面直線所和用A所成的角或其補角，再利用

正方體性質(zhì)求角的大小即可.

【詳解】連接,AD,,ABX,則EF為ABC3的中位線，EF//BC,.

又：AB〃CD//G2,.?.四邊形ABC,DX為平行四邊形，BCJ/AD,./.EFHAD,.

ZAD.B,為異面直線EF和所成的角或其補角.

正方體ABC?！?40。中，易知，AB1=BQ]=AR,

AABJD；為正三角形，；./ARB]=60°.

.?.EE與所成的角為60°.

故答案為：60°.

8.（2020?北京四中高二期中）正方形A5CD與正方形AB跖有公共邊A3,平面

4BCD與平面砂所成角為60°,則異面直線A3與FC所成角大小等于

【答案】45°

【分析】由已知條件可得平面A6CD與平面互防所成角即為NC6E,結(jié)合正方形的性

質(zhì)得出△CEF是等腰直角三角形，通過平移得出異面直線A5與FC所成角為NCEE,求

解得出答案.

【詳解】?.?面ABCDn面ABEF=AB,且5C,A3,5E,A5,5Cc5E=3,

;.NCBE=60°,筋_1面5?！?/p>

連接CE,如圖所示,

則比=9=。e=即，

又防//AB,則E尸，面BCE,?:CEu面BCE,:.EF_LCE

即△CEF是等腰直角三角形，ZCFE=45°

則異面直線AB與FC所成角大小等于45°

故答案為：45°

9.（2020?廣西南寧市?南寧三中高二月考（文））在正方體ABC。-A4GR中，￡為

棱。。的中點，則異面直線AE與所成角的余弦值為.

【答案】叵

5

【分析】根據(jù)A3C?！?耳是正方體，易得BCiPAR,則NRAE即為異面直線

AE與BG所成角或其補角，然后在三角形AE2中，利用余弦定理求解.

【詳解】因為ABC。-4用￡。是正方體,

所以BGPA2,連接A2，*,如下圖所示:

DEC

則ZD.AE即為異面直線AE與8。所成角或其補角,

不妨設正方體棱長為2,

在三角形AER中，AE^ylAD2+DE2=A/22+12=A/5-DE=AE=5

AD,=V22+22=2V2.

AD；+AE2—*2屈

所以cos二

ZDrAE~5~

2ADlxAE

（71

又異面直線夾角的范圍為0,Q

故異面直線AE與BC］所成角的余弦值為半

故答案為：叵

5

【點睛】本題主要考查異面直線所成角的求法以及余弦定理的應用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的

思想和運算求解的能力，屬于基礎題.

10.（2020?天津二十中高二月考）如圖所示，在正方體ABC?！狝4G。中，若E為

2a的中點，則直線AG與OE所成角的余弦值為

與IEG

【答案】眄

10

【分析】取A01的中點尸，連接跖，DF,則跖//A]G，則ND石廠為直線與

所成角，設正方體MC。-A4CD的棱長為2],求解三角形，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖,

取A[D]的中點p，連接所，DF,

則EE//AC],則NDEF為直線AG與。石所成角，

設正方體ABCD-的棱長為2a,

則跖=gaG=W，DE=DF=J(2a)2+/=耳,

.5ci~+2<?"—5a~A/10

/.cosADEb----廣---尸一二-----.

2義42ax<5a10

直線AG與DE所成角的余弦值為叵.

10

故答案為：叵.

10

【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎題.

11.（2020?臺州市三梅中學高二月考）已知/掰信N44G,AB//AA,則AC與4G的位

置關(guān)系是.

【答案】平行、重合、相交或異面

［分析］根據(jù)空間中直線之間的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】

根據(jù)等角定理可得AC//AG，

根據(jù)上圖可知，與4G異面.

綜上所述，4c與4G的位置關(guān)系是平行、重合、相交或異面.

故答案為：平行、重合、相交或異面

【點睛】本題考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系、等角定理，考查了基本知識的掌握情

況，屬于基礎題.

三、解答題

12.(2019?山西大同市?大同一中高二月考)已知〃是棱長為a的正方體.

(1)求直線物1與a'所成角；

(2)求直線〃/與物i所成角；

(3)求直線期和4C所成角.

【答案】(1)-(2)-(3)-

432

【分析】(1)由AD//BC得ND42是直線與3c所成角，求出ND42即可得解;

(2)由//。避得ACXB\是直線RA與BA1所成角，求出ZC.BA,即可得解；

(3)證明AC,平面后即可得ACLBD],即可得解.

【詳解】

(1)正方體ABC。-44Gq是棱長為。的正方體，

AD//BC,：.ZAD^是直線DAl與BC所成角,

7T

'：AD=AA1,AD±,；.ZAD^=—,

IT

...直線。4與3c所成角為一.

4

(2)?.?4。//。15,.?./。1網(wǎng)是直線。4與84所成角，

7T

???網(wǎng)=4￡=3￡,ZQBA=J,

直線與B4]所成角為

(3):四邊形ABC