2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時精講第10章　§10.4　事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式（原卷版）

第第頁§10.4事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式課標(biāo)要求1.了解兩個事件相互獨立的含義.2.理解隨機事件的獨立性和條件概率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概率．知識梳理1．相互獨立事件(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨立．2．條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．(2)兩個公式①利用古典概型：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．(3)條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)．設(shè)P(A)>0，則①P(Ω|A)＝1；②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．③設(shè)eq\x\to(B)和B互為對立事件，則P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．常用結(jié)論1．如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．*貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1，2，…，n.自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時發(fā)生的概率．()(3)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第二枚正面朝上”為事件B，則A，B相互獨立．()(4)若事件A1與A2是對立事件，則對任意的事件B?Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．()2．甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，則謎題沒被破解出的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,6)D．13．在8件同一型號的產(chǎn)品中，有3件次品，5件合格品，現(xiàn)不放回地從中依次抽取2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是()A.eq\f(1,28)B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,9)D.eq\f(2,7)4．智能化的社區(qū)食堂悄然出現(xiàn)，某社區(qū)有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天隨機地選擇一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率為0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率為0.5，則居民甲第二天去A食堂用餐的概率為________．題型一相互獨立事件的概率命題點1事件相互獨立性的判斷例1(多選)已知A，B為兩個隨機事件，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，則()A．P(A＋B)<1B．若A，B為互斥事件，則P(AB)＝0C．若P(AB)＝0.24，則A，B為相互獨立事件D．若A，B為相互獨立事件，則P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(AB)命題點2相互獨立事件的概率例2(多選)在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1，則譯碼為1)．()A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的概率為(1－α)(1－β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1,0,1的概率為β(1－β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當(dāng)0<α<0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率概率問題中的遞推數(shù)列在概率與統(tǒng)計的問題中，經(jīng)常會出現(xiàn)概率統(tǒng)計與數(shù)列綜合考查的問題，一般以壓軸題的形式出現(xiàn)．主要有四種類型：(1)an＝pan－1＋q型；(2)an＋1＝pan＋f(n)型；(3)an＋1＝anf(n)型；(4)an＋1＝pan＋qan－1型．典例(多選)甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，持球人把球傳給另外兩人中的任意一人是等可能的．從一個人傳球到另一個人稱傳球一次．若傳球開始時甲持球，記傳球n次后球仍回到甲手里的概率為Pn，則下列結(jié)論正確的是()A．P2＝eq\f(1,2) B．P4＝eq\f(5,8)C．Pn＝eq\f(1,2)(1－Pn－1) D．Pn＝eq\f(1,3)－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)甲、乙兩個口袋中裝有除了編號不同以外其余完全相同的號簽．其中，甲袋中有編號為1,2,3的三個號簽；乙袋有編號為1,2,3,4,5,6的六個號簽．現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個號簽，從甲、乙兩袋抽取號簽的過程互不影響．記事件A：從甲袋中抽取號簽1；事件B：從乙袋中抽取號簽6；事件C：抽取的兩個號簽和為3；事件D：抽取的兩個號簽編號不同．則下列選項中，正確的是()A．P(AB)＝eq\f(1,18)B．P(C)＝eq\f(1,9)C．事件A與事件C相互獨立D．事件A與事件D相互獨立(2)某高中的獨孤與無極兩支排球隊在校運會中采用五局三勝制(有球隊先勝三局則比賽結(jié)束)．第一局獨孤隊獲勝概率為0.4，獨孤隊發(fā)揮受情緒影響較大，若前一局獲勝，下一局獲勝概率增加0.1，反之降低0.1.則獨孤隊不超過四局獲勝的概率為__________．題型二條件概率命題點1條件概率例32023年8月31日貴南高鐵實現(xiàn)全線貫通運營，我國西南和華南地區(qū)新增一條交通大動脈，黔桂兩地間交通出行更加便捷、西南與華南地區(qū)聯(lián)系將更加緊密．貴南高鐵線路全長482公里，設(shè)計時速350公里，南寧東到貴陽東旅行時間由原來的5個多小時縮短至最快2小時53分．貴陽某調(diào)研機構(gòu)調(diào)查了一個來自南寧的旅行團對貴陽兩種特色小吃腸旺面和絲娃娃的喜愛情況，了解到其中有eq\f(4,15)的人喜歡吃腸旺面，有eq\f(2,15)的人喜歡吃絲娃娃，還有eq\f(7,10)的人既不喜歡吃腸旺面也不喜歡吃絲娃娃．在已知該旅行團一游客喜歡吃腸旺面的條件下，他還喜歡吃絲娃娃的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)命題點2條件概率性質(zhì)的應(yīng)用例4(多選)設(shè)eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分別為隨機事件A，B的對立事件，已知0<P(A)<1,0<P(B)<1，則下列說法正確的是()A．P(B|A)＋P(eq\x\to(B)|A)＝1B．P(B|A)＋P(B|eq\x\to(A))＝0C．若A，B是相互獨立事件，則P(A|B)＝P(A)D．若A，B是互斥事件，則P(B|A)＝P(B)命題點3乘法公式的應(yīng)用例5經(jīng)統(tǒng)計，某射擊運動員進行兩次射擊時，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么該射擊運動員兩次均擊中9環(huán)的概率為()A．0.24B．0.36C．0.48D．0.75跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)甲盒子中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙盒子中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲盒子中隨機取出一球放入乙盒子，分別以A1，A2和A3表示由甲盒子取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙盒子中隨機取出一球，以B表示由乙盒子取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是()A．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件B．P(B)＝eq\f(2,5)C．事件B與事件A1相互獨立D．P(B|A1)＝eq\f(5,11)(2)從－2，－1,1,2,3這5個數(shù)中任取2個不同的數(shù)，記“兩數(shù)之積為正數(shù)”為事件A，“兩數(shù)均為負數(shù)”為事件B.則P(B|A)＝________.題型三全概率公式的應(yīng)用例6(1)長白飛瀑，高句麗遺跡，鶴舞向海，一眼望三國，偽滿皇宮，松江霧凇，凈月風(fēng)光，查干冬捕，是著名的吉林八景．某人打算到吉林旅游，冬季來的概率是eq\f(2,3)，夏季來的概率是eq\f(1,3)，如果冬季來，則看不到長白飛瀑、鶴舞向海和凈月風(fēng)光，若夏季來，則看不到松江霧凇和查干冬捕．無論什么時候來，由于時間原因，只能在可去景點當(dāng)中選擇兩處參觀，則某人去了一眼望三國景點的概率為()A.eq\f(11,15)B.eq\f(16,45)C.eq\f(17,45)D.eq\f(1,3)(2)一堆蘋果中大果與小果的比例為9∶1，現(xiàn)用一臺水果分選機進行篩選．已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為5%，把小果篩選為大果的概率為2%.經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機篩選出來的“大果”里面隨機抽取一個，則這個“大果”是真的大果的概率為()A.eq\f(855,857)B.eq\f(857,1000)C.eq\f(171,200)D.eq\f(9,10)跟蹤訓(xùn)練3已知顏色分別是紅、綠、黃的三個大小相同的口袋，紅色口袋內(nèi)裝有兩個紅球、一個綠球和一個黃球；綠色口袋內(nèi)裝有兩個紅球、一個黃球；黃色口袋內(nèi)裝有三個紅球、兩個綠球(球的大小質(zhì)地相同)．若第一次先從紅色口袋內(nèi)隨機抽取1個球，然后將取出的球放入與球同顏色的口袋內(nèi)，第二次從該口袋內(nèi)任取一個球，則第二次取到黃球的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(5,48)D.eq\f(11,48)課時精練一、單項選擇題1．若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，則事件A與B的關(guān)系是()A．事件A與B互斥B．事件A與B對立C．事件A與B相互獨立D．事件A與B既互斥又相互獨立2．已知事件A，B相互獨立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，則P(A＋B)等于()A．0.88B．0.9C．0.7D．0.723．已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同．甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8)D.eq\f(2,9)4．某中學(xué)舉行疾病防控知識競賽，其中某道題甲隊答對該題的概率為eq\f(3,4)，乙隊和丙隊答對該題的概率都是eq\f(2,3).若各隊答題的結(jié)果相互獨立且都進行了答題，則甲、乙、丙三支競賽隊伍中恰有一支隊伍答對該題的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(7,36)D.eq\f(1,6)5．衣柜里有灰色、白色、黑色、藍色四雙不同顏色的襪子，從中隨機選4只，已知取出的兩只是同一雙，則取出的另外兩只不是同一雙的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,9)二、多項選擇題6．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A＝“兩次擲出的點數(shù)之和是6”，事件B＝“第一次擲出的點數(shù)是奇數(shù)”，事件C＝“兩次擲出的點數(shù)相同”，則()A．A與B互斥 B．B與C相互獨立C．P(A)＝eq\f(1,6) D．P(AC)＝eq\f(1,36)7．有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%，第2臺加工的次品率為3%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起．已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%,40%,50%，從混放的零件中任取一個零件，則下列結(jié)論正確的是()A．該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.08B．該零件是次品的概率為0.03C．如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為0.98D．如果該零件是次品，那么它不是第3臺車床加工出來的概率為eq\f(1,3)三、填空題8．甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為eq\f(2,3)；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為eq\f(1,2).假定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲勝第一局，乙勝第二局的概率為________．19．從1,2,3,4,5,6,7中任取兩個不同的數(shù)，事件A為“取到的兩個數(shù)的和為偶數(shù)”，事件B為“取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝____