2025年高考數學一輪復習（基礎版）課時精講第2章　§2.2　函數的單調性與最值（原卷版）

第第頁§2.2函數的單調性與最值課標要求1.借助函數圖象，會用數學符號語言表達函數的單調性、最值，理解實際意義.2.掌握函數單調性的簡單應用．知識梳理1．函數的單調性(1)單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數f(x)在區(qū)間I上單調遞增，特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數f(x)在區(qū)間I上單調遞減，特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區(qū)間的定義如果函數y＝f(x)在區(qū)間I上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調區(qū)間．2．函數的最值前提一般地，設函數y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數M滿足條件(1)?x∈D，都有f(x)≤M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M(1)?x∈D，都有f(x)≥M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M結論M是函數y＝f(x)的最大值M是函數y＝f(x)的最小值常用結論1．?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間I上單調遞增(減)．2．在公共定義域內，增函數＋增函數＝增函數，減函數＋減函數＝減函數．3．函數y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調性相反．4．復合函數的單調性：同增異減．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數f(x)滿足f(－3)<f(2)，則f(x)在[－3,2]上單調遞增．()(2)若函數f(x)在(－2,3)上單調遞增，則函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(－2,3)．()(3)若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上一定有最值．()(4)函數y＝eq\f(1,x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()2．下列函數中，在其定義域上是減函數的是()A．y＝－2x＋1B．y＝x2＋1C．y＝eq\r(x)D．y＝2x3．函數y＝－eq\f(1,x＋1)在區(qū)間[1,2]上的最大值為()A．－eq\f(1,3)B．－eq\f(1,2)C．－1D．不存在4．函數f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數，則滿足f(2x－1)>f

(eq\f(1,3))的x的取值范圍是________．題型一確定函數的單調性命題點1函數單調性的判斷例1(多選)下列函數在(0，＋∞)上單調遞增的是()A．y＝x－eq\f(1,x) B．y＝|x2－2x|C．y＝2x＋2cosx D．y＝lg(x＋1)命題點2利用定義證明函數的單調性例2試討論函數f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的單調性．跟蹤訓練1(1)函數g(x)＝x·|x－1|＋1的單調遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．[1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)(2))函數f(x)＝SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為________．題型二函數單調性的應用命題點1比較函數值的大小例3定義在R上的偶函數f(x)滿足：對任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0，則()A．f(－2)<f(3)<f(4)B．f(－2)>f(3)>f(4)C．f(3)<f(4)<f(－2)D．f(4)<f(－2)<f(3)命題點2求函數的最值例4函數f(x)＝x－eq\f(2,x)＋1在[1,4]上的值域為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(9,2)))B．[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(9,2)))求函數的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函數有關的函數求值域問題．(2)單調性法：利用函數的單調性，再根據所給定義域來確定函數的值域．(3)數形結合法．(4)換元法：引進一個(幾個)新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”．(5)分離常數法：分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數分離成一個常數和一個分式和的形式．典例(多選)下列函數中，值域正確的是()A．當x∈[0,3)時，函數y＝x2－2x＋3的值域為[2,6)B．函數y＝eq\f(2x＋1,x－3)的值域為RC．函數y＝2x－eq\r(x－1)的值域為[eq\f(15,8)，＋∞)D．函數y＝eq\r(x＋1)＋eq\r(x－1)的值域為[eq\r(2)，＋∞)命題點3解函數不等式例5函數y＝f(x)是定義在[－2,2]上的減函數，且f(a＋1)<f(2a)，則實數a的取值范圍是________．命題點4求參數的取值范圍例6已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,x2－ax＋6，x≥1))滿足：對任意x1，x2∈R，當x1≠x2時，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，則實數a的取值范圍是()A．[2，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))D．[1,2]跟蹤訓練2(1)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋1，x≥0，,－2x2，x<0，))則不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是()A．(－2,1)B．(0,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(1，＋∞)(2)若函數f(x)＝eq\f(x＋a－3,x－1)在(a，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍為________．課時精練一、單項選擇題1．下列函數中，在區(qū)間(0,1)上單調遞增的是()A．y＝－x2＋1B．y＝eq\r(x)C．y＝eq\f(1,x)D．y＝3－x2．函數f(x)＝－|x－2|的單調遞減區(qū)間為()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[0,2]D．[0，＋∞)3．已知f(x)是偶函數，f(x)在[1,3]上單調遞增，則f(1)，f(－2)，f(－3)的大小關系為()A．f(1)>f(－2)>f(－3)B．f(－2)>f(－3)>f(1)C．f(－3)>f(1)>f(－2)D．f(－3)>f(－2)>f(1)4．已知函數f(x)＝eq\f(2x,x－1)，則f(x)在區(qū)間[2,6]上的最大值為()A.eq\f(12,5)B．3C．4D．55．已知函數f(x)＝x＋lnx－1，則不等式f(x)<0的解集為()A．(e，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0，＋∞)6．已知函數y＝f(x)的定義域為R，對任意x1，x2且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>－1，則下列說法正確的是()A．y＝f(x)＋x是增函數B．y＝f(x)＋x是減函數C．y＝f(x)是增函數D．y＝f(x)是減函數二、多項選擇題7．下列說法中，正確的是()A．若對任意x1，x2∈I，當x1<x2時，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，則y＝f(x)在I上單調遞增B．函數y＝x2在R上是增函數C．函數y＝－eq\f(1,x)在定義域上是增函數D．函數y＝eq\f(1,x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)三、填空題8．函數f(x)＝eq\r(－x2＋2x＋3)的單調遞增區(qū)間為______．9．已知函數f(x)＝2x－2－x，則不等式f(3x－1)<f(1－x)的解集為________．10．已知函數f(x)＝loga(x2－ax＋3)在[0,1]上單調遞減，則實數a的取值范圍是________．四、解答題11．給定函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R.(1)在同一直角坐標系中畫出函數f(x)和g(x)的圖象；(2)?x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，記為M(x)＝max{f(x)，g(x)}，試判斷M(x)在區(qū)間(－∞，a]上的單調性．12．已知f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)(x∈R)．(1)判斷函數f(x)的單調性，并用定義證明；(2)解關于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0.13．(多選)已知函數y＝f(x)的圖象關