新人教A版選修4-5高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法 同步練習(xí)1

數(shù)學(xué)歸納法同步練習(xí)

1.已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明

,1111C,111、

1--------1-----------------F???4------2(------F十,?,4---)

23471-1n+2〃+42〃時，若已假設(shè)〃=乂左之2為偶

數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證()

A."=左+1時等式成立B."=左+2時等式成立

C.〃=2攵+2時等式成立D."=2優(yōu)+2)時等式成立

/(〃)=-----1------1--------------F???H---------(〃WN)..八r/、

2.設(shè)n+1n+2n+32n,則/(〃+D-/(")=()

111111

-----------------------------------------------------1-----------------------------------------------

A.2?+1B.2〃+2c.2〃+12〃+2Q.2n+12n+2

I2+22+---+(n-l)2+n2+(H-1)2+---+22+12="⑵？川

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明3

時，

由"=%的假設(shè)到證明〃=々+1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是()

1,八，,

/f八2/112z1八2—(4+1)[2(攵+1)~+1]

A.也+D+2k2B.(k+1)+Ac(k+l)2D.3

4.某個命題與正整數(shù)n有關(guān),如果當(dāng)〃=M%eN+)時命題成立，那么可推得當(dāng)

〃二女+1時

命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)〃=5時該命題不成立，那么可推得()

A.當(dāng)n=6時該命題不成立B.當(dāng)n=6時該命題成立

C.當(dāng)n=4口寸該命題不成立D.當(dāng)n=4時■該命題成立

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“(〃+1)(〃+2>-(〃+〃)=2"-1-2……(2〃-1)”(〃cN+)時,

從

"〃=氏到"=憶+1”時，左邊應(yīng)增添的式子是（）

2k+12k+2

A.2k+1B.2(2A+1)C.k+1D.左+1

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明"2342n-\2〃n+1n+22〃”時,

由〃=%的假設(shè)證明”=%+1時,如果從等式左邊證明右邊，則必須證得右邊為

)

1111

--------+?.?-1----------1--------------1-------------

A.攵+12k2k+1B.女+12k2Z+12Z+2

11+???+,+1

k+2…2k2k+1

C.D.k+22k+12k+2

7.數(shù)列"｝的前n項和S，，二〃2q（〃Z2）,而6=1,通過計算W，%，%，猜想

%=()

2222

A.(〃+1尸B,〃(〃+1)C.2^D,而口

8.已知數(shù)列也」的通項公式("+DN*),記

/(〃)=(1-q)(1-。2)(1-。3>-(1-右)，

通過計算/⑴J(2)J(3),"4)的值，由此猜想/(〃)=()

n+2〃+22/1—1〃+1

A.2(〃+1)B.4〃c.(〃+DD,〃(〃+1)

9.數(shù)列"J中，al=l,Sn表示前n項和，且Sn,Sn+1,2sl成等差數(shù)列，通過計

算SI,S2,

S3,猜想Sn=()

2〃+12〃-1n(ji+1)1

A.B.c.2"D.1-2^

10.al=l,°"+|>"，，，且(%+i—%)之-2(a“+i+%)+1=0,計算出，的，然后猜想

%=()

A.nB.n2C.n3D.一〃

0<g<4_____

11.設(shè)<<5'已知q=2cosa％=在"，則猜想明=()

cecece.o

2cos—2cos--2cos--2nsin—

A.2"B.2"Tc.2向D.2"

12.從一樓到二樓的樓梯共有n級臺階，每步只能跨上1級或2級，走完這n級臺

階共有"〃)

種走法，則下面的猜想正確的是()

A.”〃)=/(〃-1)+/(〃-2)(n>3)B./(〃)=2/(〃-1)(?>2)

C./(〃)=2/(〃一1)—1(n>2)口./(〃)=/(〃一1)/(〃一2)(n>3)

二、填空題

13.凸左邊形內(nèi)角和為了(幻，則凸女+1邊形的內(nèi)角為

業(yè)+1)=/也)+

14.平面上有n條直線，它們?nèi)魏蝺蓷l不平行，任何三條不共點，設(shè)左條這樣的直

線把平面分

成了(6個區(qū)域，則左+1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)

f(k+l)=f(k)+

15.用數(shù)學(xué)歸納法證明"2'川N〃2+〃+2(〃GN*)”時，第一步驗證

為^

16.用數(shù)學(xué)歸納法證明''當(dāng)n為正奇數(shù)時，x"+V'能被x+y整除"，當(dāng)?shù)诙郊?/p>

設(shè)

〃=2%-1(火€N*)命題為真時，進而需證〃=時，命題亦真.

17.數(shù)列"J中，%=L且4%+「*%+2。"=9,通過計算由，%，。4,然后猜想

%=___.

18.在數(shù)列"J中，％=L%“=(〃+1居，通過計算出必，①，然后猜想%=

19.設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項和Sn=2n-an(nEN+),通過計算數(shù)列的前四項，猜想%=

/(.)=2、

20.已知函數(shù)2--記數(shù)列的前。項和為Sn,旦q=/⑴，當(dāng)〃之2時，

211

S”------二—(〃-+5/2-2),/\

八%)2則通過計算由9,%，的值，猜想口」的通項公式

三、解答題

21.用數(shù)學(xué)歸納法證明：

222

-I--1--2---1---1n=--n-(-n-+--1)

1-33-5-----(2n-l)(2/i+1)2(2〃+1).

22.用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(I)7?"-4,"-297能被264整除；

(II)#"'+伍+1)2”‘能被/+。+1整除(其中n,a為正整數(shù))

23.用數(shù)學(xué)歸納法證明：

,1111,

(I)2342—；(II)

1111“，、

—+---+----+???+—>l(n>1)

nn+1n+2n".

2

｛%｝中,%=2p,an=2〃一上一

24.數(shù)列“，i,P是不等于零的常數(shù)，求證：P不在數(shù)

列｛%｝中.

2=312

25.設(shè)數(shù)列""…==記""藍+/'其中心2,〃e“，

0<%<-x>--(-)"

求證：對〃eN*都有(I)"2.(n)X"<3；(III)"22.

26.是否存在常數(shù)a,b,c,使等式

1?22+2-32H---1-n(n+I)2=+"(an?+hn+c)對"e

12N+都成立，并證明你的

結(jié)論.

27.已知數(shù)列｛%｝的各項為正數(shù)，其前n項和為Sn,又明與然滿足關(guān)系式:

4sl4s2=4S“0

-----1----1-…d------=Sn,)

%+2a,+2an+2,試求的通項公式.

c1z1、

(1S“=[(a“+—)

28.已知數(shù)列MJ的各項為正數(shù)，Sn為前n項和，且2見，，歸納出an

的公式，并證明你的結(jié)論.

29.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，%=1，%=2,設(shè)

Pn=4]+。3+。9+…+即(Z=3"I〃WN+)

Qn=a2+a6+al0+---+am(m=4n-2,neN+)>問Pn與Qn哪一個大？證明你

的結(jié)論.

30.已知數(shù)列I%｝：。0=1'。"=Pl《TK〃GN*，。<"1),

--<an<0.

(I)歸納出an的公式，并證明你的結(jié)論;(II)求證：P

答案

一、1.B2.D3.B4.C5.B6.D7.B8.A9.D10.B11.B12.A

二、13.兀，14.k+[,15.當(dāng)〃=1時，左邊=4=右邊，命題正確.16.2Z+1

6〃-52n-1

17.2n-l18.n!19.2,,_|20,n+1

?伙+l)(%+1y_伙+1)(：+2)

21.當(dāng)〃二人+1時，左邊=2(21+1)+(2:+1)(2/+3)-2(24+3).

22.(J)當(dāng)〃=攵+1時,72(*+1)-42M+,)-297=49x(72*-42*—297)+33x4?/+48x297

=49x(72*-42*—297)+33x8x(2浜-3+48x9)=49x(72*-42t-297)

4

+264x(2I+48x9)能被264整除，命題正確.

([[)”=女+]時，2+(a+1)-A+I=(a+l)2[ai+l+(tz+l)~i]+ak+2-aA+l(a+1)2

-(a+l)2[aA+l+(a+1)",—'[一a*"(a。+a+1)能被a?+q+]整除，

=(1+T…+-75—)+(4+

H--：~：---)<%+

23.(I)當(dāng)〃=A+1時，左邊22-122t+l-l

1111

--------1--------P,??4---------=1(+24=k+l

2k2t____21F

vv-=右邊,命題止確

2*項

=_L+...+_L+(_J_+???+也+1-)>

(II)〃=4+1時，左邊后+1匕k-+l

1+(2A:+1)--^——-=1+A?一k—l

>1.)

k2+ik/2+1)

n+11?

a,,=---Pa“=pn—p=0np=0

24.先用數(shù)學(xué)歸納法證明〃；假設(shè)〃與條件矛盾.

25.三小題都用數(shù)學(xué)歸納法證明：

3.八1

*.*X,——,..0<<—

(I)1°.當(dāng)凡=1時，162成立;

八1

0<Xi.<一

2°.假設(shè)〃=%時，2成立，

3123111

.?.當(dāng)k+]時，Xk+i-8+2X*<8+2X4-2,

31

Xk+\>—>0,/.0<xk+l<—

而o2?.

!

由『2°知，對〃eN*都有<Xn<2

3123

X〉——I----Xi〉—>Xi

(II)1°.當(dāng)n=l時，-828,命題正確;

2°.假設(shè)〃=%時命題正確，即

當(dāng)〃=攵+1時，**Xk+\>4>°，'Xk+]>Xk

312312

??Z+2=石+彳4+1>三+彳]上=4+]

8282,命題也正確;

由1°,2。知對都有X”<x"+i

311.1

X,=—>(―)

(III)1°.當(dāng)n=l時，1622,命題正確;

%〉—1

2°.假設(shè)〃=女時命題正確，即“2

...當(dāng)〃=%+1時,可=尹3>在，白-《廳4+白［卜夕+（產(chǎn)

k+l+（?1嚴〉產(chǎn)

2222,命題正確;

1

X>--

由1°、2。知對〃WN*都有〃2

26.令n=l得a+"c=24①，令n=2得船+2b+c=44②,

令n=3得9"+3匕+c=70③，解①、②、③得a=3,b=ll,c=10,記原式的

/?（n+l）11小

Sc=-----（3n2+lln+lO）

左邊為Sn,用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想12（證明略）

27.計算得%=2,g=4,%=6,猜測*=2〃，用數(shù)學(xué)歸納法證明（證明略）.

c1,1、a1;丁1+a?——（劭---）a?—yf