專題1.2 子集、全集、補集（八大題型）-蘇教版高一《數(shù)學(xué)》同步學(xué)與練（解析版）

第第頁專題1.2子集、全集、補集課程標準學(xué)習(xí)目標A．理解子集、全集、補集的概念．B．能用符號和Venn圖表達集合間的關(guān)系．C．掌握列舉有限集的所有子集的方法．1、數(shù)學(xué)抽象：對集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解2、邏輯推理：集合的子集、補集的辨析與應(yīng)用3、數(shù)學(xué)運算：會計算集合的子集、真子集的個數(shù)4、直觀想象：利用venm圖表示集合相等以及集合間的關(guān)系5、數(shù)字建模：通過觀察身邊的實例，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關(guān)系，體驗其現(xiàn)實意義知識點一：子集1、一般地如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，那么集合A為集合B的子集，記作（或），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）．2、規(guī)定：空集是任何集合的子集，即．3、子集的性質(zhì)：（1）任何一個子集都是它本身的子集，即．（2）若，且，則．【即學(xué)即練1】寫出集合的所有子集．【解析】集合的所有子集為知識點二：韋恩圖韋恩（Venn）圖：為了直觀地表示集合間的關(guān)系，我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為韋恩圖．A是B的子集，可用下圖表示：BBA【即學(xué)即練2】已知全集，那么正確表示集合和的關(guān)系的韋恩圖是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以?．故選：B．知識點三：真子集1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集，記作（或），讀作：A真包含于B（或B真包含A）．2、真子集的性質(zhì)（1）空集是任何非空集合的子集．（2）若，，則．【即學(xué)即練3】已知AB，且B＝{0，1，2}寫出滿足條件A的所有集合．【解析】AB，且B＝{0，1，2}；∴滿足條件A的所有集合為：?，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．知識點四：集合的相等與子集的關(guān)系1、如果A?B且B?A，則A=B．2、如果A=B，則A?B且B?A．【即學(xué)即練4】）已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因為，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿足互異性，所以，則．故選：C．知識點五：有限集合的子集個數(shù)若集合A中有n個元素，則集合A的所有子集的個數(shù)為2n，真子集個數(shù)為2n－1，非空子集個數(shù)2n－1，非空真子集個數(shù)為2n－2．【即學(xué)即練5】已知集合，則集合的真子集個數(shù)為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【解析】集合，所以集合的真子集個數(shù)為：．故選：B．知識點六：補集1、全集：在研究集合與集合之間的關(guān)系時，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集，全集通常用表示．2、如果集合A是全集的一個子集，則由中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為A在中的補集，記作．3、數(shù)學(xué)表達式：．4、用Venn圖表示（陰影部分）如圖所示：UUA5、給定全集的子集及其任意一個子集A，則=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．【即學(xué)即練6】已知全集，集合，，則________．【答案】8【解析】因為全集，集合，，所以，即，所以．故答案為：8．題型一：寫出給定集合的子集、真子集以及個數(shù)問題例1．（2023·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習(xí)）符合的集合的個數(shù)為（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】A【解析】由，設(shè)，，故有個.故選：A.例2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）集合的子集個數(shù)為（

）．A．4 B．7 C．8 D．16【答案】C【解析】因為，所以該集合的子集的個數(shù)為，故選：C．例3．（2023·河南洛陽·高一洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，且.(1)求實數(shù)的取值的集合；(2)寫出（1）中集合的所有子集.【解析】（1）因為，且，所以或，解得或或，當時，，集合中出現(xiàn)兩個0，故舍去；當時，，符合題意；當時，，符合題意；∴實數(shù)的取值的集合（2）因為，所以集合的子集有：【方法技巧與總結(jié)】（1）分類討論是寫出所有子集的有效方法，一般按集合中元素個數(shù)的多少來劃分，遵循由少到多的原則，做到不重不漏．（2）若集合A中有n個元素，則集合A有個子集，有個真子集，有個非空子集，有個非空真子集，該結(jié)論可在選擇題或填空題中直接使用．題型二：韋恩圖及其應(yīng)用例4．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一校考期中）已知全集U=R，那么正確表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}關(guān)系的韋恩(Venn)圖是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】化簡集合，判斷集合沒有包含關(guān)系，即可得出答案.，集合沒有包含關(guān)系故選：A例5．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知集合和的關(guān)系如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)集合間的包含關(guān)系可得B選項正確.例6．（2023·浙江金華·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，集合與的關(guān)系如圖所示，則集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圖可得，由選項即可判斷.由圖可知：，，由選項可知：，故選：D.變式1．（2023·高一課時練習(xí)）已知集合U、S、T、F的關(guān)系如圖所示，則下列關(guān)系正確的是()①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U.A．①③ B．②③C．③④ D．③⑥【答案】D【解析】觀察Venn圖中集合U，S，T，F(xiàn)的關(guān)系，①S∈U，故錯誤；②F?T，故錯誤，③S?T，故正確；④S?F；故錯誤，⑤S∈F；故錯誤，⑥F?U故正確故選D．【方法技巧與總結(jié)】是集合的又一種表示方法，使用方便，表達直觀，可迅速幫助我們分析問題、解決問題，但它不能作為嚴密的數(shù)學(xué)工具使用．題型三：由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍例7．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）①當時，即，解得，此時滿足；②當時，要使得，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.（2）由題意，要使得，則滿足，此時不等式組無解，所以實數(shù)不存在，即不存在實數(shù)使得.例8．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合.(1)若，則實數(shù)a的值是多少?(2)若，則實數(shù)a的取值范圍是多少?(3)若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是多少?【解析】（1）因為集合，，所以.（2）因為，如圖，

由圖可知，即實數(shù)a的取值范圍是.（3）因為B?A，如圖，

由圖可知，即實數(shù)a的取值范圍是.例9．（2023·高一單元測試）已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且與有包含關(guān)系，求的取值范圍.【解析】（1）因為，且，所以或，解得或，故.（2）因為A與C有包含關(guān)系，，至多只有兩個元素，所以.當時，，滿足題意；當時，當時，，解得，滿足題意；當時，且，此時無解；當時，且，此時無解；當時，且，此時無解；綜上，a的取值范圍為.變式2．（2023·江西九江·高一德安縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎?(1)若，求a的值；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由方程，解得或所以，又，，所以，即方程的兩根為或，利用韋達定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以時，則，即，解得或；當時，若B中僅有一個元素，則，即，解得，當時，，滿足條件；當時，，不滿足條件；若B中有兩個元素，則，利用韋達定理得到，，解得，滿足條件.綜上，實數(shù)a的取值范圍是或或.變式3．（2023·安徽蕪湖·高一校考階段練習(xí)）若集合，，且，求實數(shù)m的值.【解析】，當時，，當時，，因為，所以或，所以或，綜上所述，或或.【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)集合之間關(guān)系，求參數(shù)的值或范圍（1）求解此類問題通常是借助于數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，同時還要注意驗證端點值，做到準確無誤，一般含“=”用實心點表示，不含“=”用空心點表示．（2）涉及“A?B”或“A?B，且B≠?”的問題，一定要分A=?和A≠?兩種情況進行討論，其中A=?的情況容易被忽略，應(yīng)引起足夠的重視．題型四：集合間的基本關(guān)系例10．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)集合，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，則.故選：D.例11．（2023·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知集合，則下列關(guān)系中，正確的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】因為集合，對于A，因為，故選項A錯誤；對于B，是一個集合，且，故選項B錯誤；對于C，因為集合，所以集合與集合不存在包含關(guān)系，故選項C錯誤；對于D，因為集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故選項D正確，故選：D.例12．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，所以，故選：B變式4．（2023·高一課時練習(xí)）已知集合和，那么（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得到，所以，又，所以，故選：C.變式5．（2023·江西新余·高一新余市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，，則這三個集合間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，，，而，{偶數(shù)}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一個元素都是集合中的元素，即，所以.故選：C變式6．（2023·遼寧大連·高一遼師大附中校考階段練習(xí)）已知集合，，則之間的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，故排除選項，，又∵，，∴排除，故選：.【方法技巧與總結(jié)】判斷兩個集合間的關(guān)系的關(guān)鍵在于：弄清兩個集合的元素的構(gòu)成，也就是弄清楚集合是由哪些元素組成的．這就需要把較為抽象的集合具體化（如用列舉法來表示集合）、形象化（用Venn圖，或數(shù)形集合表示）．題型五：判斷兩集合是否相等例13．（2023·高一課時練習(xí)）下列集合的表示方法中，不同于其他三個的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】選項A，B，D對應(yīng)的集合中只有一個元素2018，故它們是相同的集合，而C中雖只有一個元素，但該元素是用等式作為元素，而不是實數(shù)2018，故選項C與其他三個選項不同.故選：C.例14．（2023·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列與集合表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由解得或，所以，C正確；選項A不是集合，選項D是兩條直線構(gòu)成的集合，選項B表示點集，故選：C例15．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為集合，集合，所以集合與集合都是奇數(shù)集，所以，故選：C.變式7．（2023·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）下列集合中表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對AD，兩集合的元素類型不一致，則，AD錯；對B，由集合元素的無序性可知，，B對；對C，兩集合的唯一元素不相等，則，C錯；故選：B【方法技巧與總結(jié)】判斷兩個集合間是否相等的關(guān)鍵在于：元素是否相同．題型六：根據(jù)兩集合相等求參數(shù)例16．（2023·湖北武漢·高一武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，若，則（

）A．1 B．0 C． D．無法確定【答案】B【解析】由可知，，因為，所以或，①當時，得或（舍），則，解得或（舍），此時，符合題意，此時；②當時，得或（舍），則，解得或（舍），此時，符合題意，此時.綜上所述：.故選：B例17．（2023·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則實數(shù)a的值為（

）A．-1 B．0 C．1 D．-1或1【答案】A【解析】在中，且，而，則有，解得，所以實數(shù)a的值為-1.故選：A例18．（2023·江蘇南通·高一海安高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a，，若，則的值為（

）A．1 B．0 C．－1 D．±1【答案】C【解析】，因為要有意義，所以，所以，求得：，故，所以，解得：，根據(jù)元素互異性，舍去，故，所以.故選：C變式8．（2023·高一單元測試）已知集合，若，則（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解析】因為且，所以，且，又，所以和為方程的兩個實數(shù)根，所以；故選：D變式9．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)，，，若，則（

）.A． B． C．.0 D．1【答案】A【解析】由題意得：，所以故選：A【方法技巧與總結(jié)】元素相同，注意滿足集合元素的三大性質(zhì)．題型七：空集的性質(zhì)例19．（多選題）（2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谥校┫铝嘘P(guān)系中正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】A：是集合中的元素，故，正確；B：是任意非空集合的真子集，故，正確；C：是的真子集，故，正確；D：研究數(shù)值，而研究有序數(shù)對，故它們不相等，錯誤.故選：ABC例20．（多選題）（2023·四川巴中·高一統(tǒng)考期中）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對A：因為空集是任何非空集合的真子集，所以，故選項A正確；對B：因為空集沒有任何元素，所以錯誤，故選項B錯誤；對C：由子集的定義可得，故選項C正確；對D：因為不一定等于，所以錯誤，故選項D錯誤.故選：AC.例21．（多選題）（2023·高一課時練習(xí)）下列關(guān)系式正確的為(

)A． B． C． D．【答案】AD【解析】A：集合里面的元素沒有順序，且一個集合是其本身的子集，故A正確；B：空集里面沒有元素，故B錯誤；C：元素與集合是屬于或不屬于的關(guān)系，故C錯誤；D：空集是任何集合的子集，故D正確﹒故選：AD﹒變式10．（多選題）（2023·廣西南寧·高一?？计谥校┫铝薪Y(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對于A：空集沒有任何元素，故不正確.故A錯誤；對于B：Q為有理數(shù)集，而是無理數(shù).故B正確；對于C：是任何集合的子集.故C正確；對于D：是由0和1構(gòu)成的數(shù)集，而是由構(gòu)成的點集.故D錯誤.故選：BC變式11．（多選題）（2023·河南新鄉(xiāng)·高一?？茧A段練習(xí)）下列四個選項中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】對于A選項，集合的元素是，集合的元素是，故沒有包含關(guān)系，A選項錯誤；對于B選項，集合的元素是點，集合的元素是，故兩個集合不相等，B選項錯誤；對于C選項，由集合的元素的無序性可知兩個集合是相等的集合，故C選項正確；對于D選項，空集是任何集合的子集，故D選項正確.故選：CD.【方法技巧與總結(jié)】空集不含任何元素的集合．題型八：補集及其運算例22．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知全集，.用列舉法表示集合________.【答案】【解析】因為全集，所以.故答案為：.例23．（2023·廣西賀州·高一校考階段練習(xí)）已知全集U={x∈Z|-1≤x≤3}，集合A={x∈Z|0≤x≤3}，則=______【答案】【解析】因為，，所以，故答案為：.例24．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知.若，則實數(shù)m的取值范圍為________.【答案】或.【解析】已知集合，且，或當時，，解得，符合題意；當時，且，則或，解得，綜上：實數(shù)的取值范圍為或.故答案為：或.變式12．（2023·湖南株洲·高一株洲二中?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則______．【答案】或【解析】因為，所以，所以或．故答案為：或【方法技巧與總結(jié)】補集的求解步驟及方法（1）步驟：①確定全集：在進行補集的簡單運算時，應(yīng)首先明確全集；②緊扣定義求解補集．（2）方法：①借助Venn圖或數(shù)軸求解；②借助補集性質(zhì)求解．一、單選題1．（2023·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀┰O(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合和，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得到，所以，又，所以，故選：C.3．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）集合，集合，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．集合間沒有包含關(guān)系【答案】D【解析】由集合表示函數(shù)圖象上所有的點的集合，又由結(jié)合表示軸上方所有點的集合，因為，但，所以集合與之間沒有包含關(guān)系.故選：D.4．（2023·高一課時練習(xí)）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于表示一元二次方程的解的集合，而最多有兩個不相等的實數(shù)根，由于，所以故由韋達定理可得，故選：C5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）集合，則的子集的個數(shù)為（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【解析】集合，,，故有個子集.故選：D．6．（2023·廣東揭陽·高一?？计谀?，那么下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于，是任何集合的子集，也即，故選項錯誤；對于，因為，所以成立，故選項正確；對于，因為，所以成立，故選項正確；對于，因為是任何集合的子集，所以成立，故選項正確，所以結(jié)論錯誤的是，故選：.7．（2023·高一單元測試）已知集合和集合，若，則中的運算“⊕”是（

）A．加法 B．除法 C．乘法 D．減法【答案】C【解析】若，則，，，因此排除ABD．故選：C．8．（2023·四川眉山·高一?？计谀┤艏希?，則集合，之間的關(guān)系表示最準確的為（

）A． B． C． D．與互不包含【答案】C【解析】對于集合，當時，，當時，，所以.故選：C.二、多選題9．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)集合，集合，則集合中的元素可能是（

）A． B．2 C． D．3【答案】AC【解析】因為，所以，故選：AC．10．（2023·廣東廣州·高一校考期末）設(shè)集合，若，則a的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】因為，如圖：所以，所以，故a的可能取值為，.故選：CD.11．（2023·山西大同·高一山西省陽高縣第一中學(xué)校?？计谀┰O(shè)集合，，若，則實數(shù)a的值可以是（

）A．0 B． C． D．2【答案】ABC【解析】由題得，，則當時，有，，故C正確；當時，有，，故B正確；當時，，故A正確；故選：ABC.12．（2023·四川眉山·高一?？计谀┮阎希?，若，則的可能取值為（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】ABC【解析】由已知，當時，，滿足，當時，，則或，得或，所以.故選：ABC.三、填空題13．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）集合，則集合的子集的個數(shù)為________.【答案】4【解析】由方程，解得或，即集合，所以集合的子集為，共有4個子集.故答案為：4.14．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合，且，則實數(shù)m的取值范圍是________.【答案】.【解析】由集合，若時，可得，此時滿足；若時，要是得到，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）（1）集合與________相等集合．（填“是”或“不是”）（2）若集合，集合且，則________，________．【答案】是1【解析】（1）因為，所以或．又，所以．（2）由題意知，，故，∴，則，此時，由于，∴.16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給定集合，對于，如果，那么x是S的一個“好元素”，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________個．【答案】6【解析】若不含好元素，則集合S中的3個元素必須為連續(xù)的三個數(shù)，故不含好元素的集合共有，共有6個.故答案為：6．四、解答題17．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）指出下列各對集合之間的關(guān)系.(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2