2022-2023學(xué)年江蘇省南京師大附中樹人學(xué)校數(shù)學(xué)八上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．分式與的最簡公分母是A．a(chǎn)b B．3ab C． D．2．如圖，在四邊形ABCD中，點M，N分別在AB，BC上，將△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠D的度數(shù)為()A．115° B．105° C．95° D．85°3．在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．下列各式正確的是（）A． B． C． D．5．在以下四個圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．如圖，，，垂足分別是，，且，若利用“”證明，則需添加的條件是（）A． B．C． D．7．在下列四個圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．8．中、、的對邊分別是、、，下列命題為真命題的（）A．如果，則是直角三角形B．如果，則是直角三角形C．如果，則是直角三角形D．如果，則是直角三角形9．如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的角平分線交AC于點D，DE⊥AB于E①DE=DC②BE=BC③AD=DC④ΔBDE?ΔBDCA．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．若長方形的長為(4a2-2a+1)，寬為(2a+1)，則這個長方形的面積為（）A．8a3-4a2+2a-1 B．8a3-1C．8a3+4a2-2a-1 D．8a3+111．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點B關(guān)于AC的對稱點B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，則∠ACB的度數(shù)為()A．40° B．35° C．60° D．70°12．下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB=，則CD=_____．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE交CA的延長線于點E，垂足為D，∠C＝26°，則∠EBA＝_____°．15．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1＋S2等_________．16．三邊都不相等的三角形的三邊長分別為整數(shù)，，，且滿足，則第三邊的值為________．17．若x+y＝5，xy＝6，則x2+y2+2006的值是_____．18．如圖，在等邊三角形中，，點為邊的中點，點為邊上的任意一點（不與點重合），將沿折疊使點恰好落在等邊三角形的邊上，則的長為_______cm．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（3，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB，點C為軸正半軸上一動點（OC＞3），連結(jié)BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，直線DA交軸于點E．(1)證明∠ACB=∠ADB；(2)若以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形，求此時C點的坐標(biāo)；(3)隨著點C位置的變化，的值是否會發(fā)生變化?若沒有變化，求出這個值；若有變化，說明理由．20．（8分）某中學(xué)八年級學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)知識時時，經(jīng)歷了以下學(xué)習(xí)過程：（1）（探究發(fā)現(xiàn)）如圖1，在中，若平分，時，可以得出，為中點，請用所學(xué)知識證明此結(jié)論．（2）（學(xué)以致用）如果和等腰有一個公共的頂點，如圖2，若頂點與頂點也重合，且，試探究線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）（拓展應(yīng)用）如圖3，在（2）的前提下，若頂點與頂點不重合，，（2）中的結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論21．（8分）（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．△ABC的高AD、BE相交于點M．求證：AM＝2CD；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分線，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E．若AD＝3，則BE＝．22．（10分）已知港口A與燈塔C之間相距20海里，一艘輪船從港口A出發(fā)，沿AB方向以每小時4海里的速度航行，4小時到達(dá)D處，測得CD兩處相距12海里，若輪船沿原方向按原速度繼續(xù)航行2小時到達(dá)小島B處，此時船與燈塔之間的距離為多少海里？23．（10分）如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，DE是△ABD的邊AB上的高，且DE＝4，AD＝，BD＝．求證：△ABC是直角三角形．24．（10分）已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，E是線段AD上的點，且AD＝BD，DE＝DC．⑴求證：∠BED＝∠C；⑵若AC＝13，DC＝5，求AE的長．25．（12分）已知△ABC，AB=AC，D為直線BC上一點，E為直線AC上一點，AD=AE，設(shè)∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如圖，若點D在線段BC上，點E在線段AC上．①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=_______，β=_______．②求α、β之間的關(guān)系式．（2）是否存在不同于以上②中的α、β之間的關(guān)系式？若存在，求出這個關(guān)系式，若不存在，請說明理由．26．如圖，AC＝BC，AE⊥CD于點A，BD⊥CE于點B．（1）求證：CD＝CE；（2）若點A為CD的中點，求∠C的度數(shù)．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】確定最簡公分母的方法是：①取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；②凡單獨出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；③同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．【詳解】∵分式與的分母分別是a2b、3ab2,∴最簡公分母是3a2b2.故選C.【點睛】本題考查了最簡公分母的定義,熟練掌握最簡公分母的定義是解答本題的關(guān)鍵.通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母,這樣的公分母叫做最簡公分母.2、C【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出∠BMF=100°，∠FNB=70°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，進而求出∠B的度數(shù)以及得出∠D的度數(shù)．【詳解】∵MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，∠A=100°，∠C=70°，∴∠BMF=100°，∠FNB=70°，∵將△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，∴∠F=∠B=180°-50°-35°=95°，∴∠D=360°-100°-70°-95°=95°．故選C．【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解題關(guān)鍵．3、A【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意．

故選A．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．4、D【分析】根據(jù)冪的運算法則即可依次判斷．【詳解】A.，故錯誤；B.，故錯誤；C.，故錯誤；D.，正確，故選D．【點睛】此題主要考查冪的運算，解題的關(guān)鍵是熟知冪的運算公式．5、A【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷利用排除法求解．【詳解】A、是軸對稱圖形，故本選項正確；

B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．

故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．6、B【解析】本題要判定，已知DE=BF，∠BFA=∠DEC=90°，具備了一直角邊對應(yīng)相等，故添加DC=BA后可根據(jù)HL判定．【詳解】在△ABF與△CDE中，DE=BF，由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°．∴添加DC=AB后，滿足HL．故選B．【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定定理的應(yīng)用，注意：判定兩直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．7、C【解析】軸對稱圖形的概念：一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的圖形能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形.根據(jù)軸對稱圖形的概念不難判斷只有C選項圖形是軸對稱圖形.故選C.點睛：掌握軸對稱圖形的概念.8、D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和可判斷A和B，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷C和D.【詳解】解：A、∵∠A=2∠B=3∠C，∴，，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴，∴∠A≈98°，故不符合題意；B、如果∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C==75°，故不符合題意；C、如果a：b：c=1：2：2，∵12+22≠22，∴不是直角三角形，故不符合題意；D、如果a：b；c=3：4：，∵，∴△ABC是直角三角形，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查命題與定理，三角形的內(nèi)角和以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理和直角三角形的判定．9、C【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)，即可得到DE=DC；根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，即可得到BE=BC，△BDE≌△BDC．【詳解】解：∵∠ACB=90°，BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB，

∴DE=DC，故①正確；

又∵∠C=∠BEC=90°，BD=BD，

∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），故④正確；

∴BE=BC，故②正確；

∵Rt△ADE中，AD＞DE=CD，

∴AD=DC不成立，故③錯誤；

故選C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．10、D【分析】利用長方形的面積等于長乘以寬，然后再根據(jù)多項式乘多項式的法則計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得S長方形=（4a2-2a+1）（2a+1）=8a3+1．故選D．【點睛】本題主要考查多項式乘以多項式運算，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握多項式乘法法則.11、B【分析】連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，依據(jù)∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE=∠BAD，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°-∠BAD．【詳解】解：如圖，連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，∵點B關(guān)于AC的對稱點B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB=AB'，∴∠BAC=∠B'AC，∵AB=AD，∴AD=AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE=∠B'AE，∴∠CAE=∠BAD=55°，又∵∠AEC=90°，∴∠ACB=∠ACB'=35°，故選B．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造四邊形AOB'E，解題時注意：如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．12、C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意．

故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，過點A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF==∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，故答案為-1．【點睛】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．14、1【分析】先根據(jù)等邊對等角求得∠ABC＝∠C＝26°，再利用三角形的外角的性質(zhì)求得∠EAB=1°，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得：EB=EA，最后再運用等邊對等角，即可解答.【詳解】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝26°，∵∠EAB＝∠ABC+∠C＝1°，∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EBA＝∠EAB＝1°，故答案為1．【點睛】本題考查了等腰三角形和垂直平分線的性質(zhì)，其中掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.15、【解析】試題解析：所以故答案為16、1【分析】由題意利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出第三邊的值.【詳解】解：∵，∴，∴，解得，∵1＜c＜5，三邊都不相等∴c=1，即c的長為1．故答案為：1.【點睛】本題考查配方法的應(yīng)用和三角形的三邊關(guān)系以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．17、1【分析】根據(jù)x+y=5，xy=6，利用完全平方公式將題目中的式子變形即可求得所求式子的值．【詳解】解：∵x+y=5，xy=6，∴x2+y2+2006=(x+y)2?2xy+2006=52?2×6+2006=25?12+2006=1，故答案為：1．【點睛】本題考查了完全平方公式，利用完全平方公式將題目中的式子變形是解題的關(guān)鍵．18、或【分析】如圖1，當(dāng)點B關(guān)于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時，于是得到MN⊥AB，BN＝BN′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝BC，∠ABC＝60°，根據(jù)線段中點的定義得到BN＝BM＝，如圖2，當(dāng)點B關(guān)于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊A，C上時，則MN⊥BB′，四邊形BMB′N是菱形，根據(jù)線段中點的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖1，當(dāng)點B關(guān)于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時，則MN⊥AB，BN＝BN′，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°，∵點M為邊BC的中點，∴BM＝BC＝AB＝，∴BN＝BM＝，如圖2，當(dāng)點B關(guān)于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊A，C上時，則MN⊥BB′，四邊形BMB′N是菱形，∵∠ABC＝60°，點M為邊BC的中點，∴BN＝BM＝BC＝AB＝，，故答案為：或.【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）C點的坐標(biāo)為（9，0）；（3）的值不變，【分析】（1）由△AOB和△CBD是等邊三角形得到條件，判斷△OBC≌△ABD，即可證得∠ACB=∠ADB；（2）先判斷△AEC的腰和底邊的位置，利用角的和差關(guān)系可證得∠OEA=，AE和AC是等腰三角形的腰，利用直角三角形中，所對的邊是斜邊的一半可求得AE的長度，因此OC=OA+AC，即可求得點C的坐標(biāo)；（3）利用角的和差關(guān)系可求出∠OEA=，再根據(jù)直角三角形中，所對的邊是斜邊的一半即可證明．【詳解】解：（1）∵△AOB和△CBD是等邊三角形∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠CBD=，∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD∴在△OBC與△ABD中，OB=AB，∠OBC=∠ABD，BC=BD∴△OBC≌△ABD(SAS)∴∠OCB=∠ADB即∠ACB=∠ADB（2）∵△OBC≌△ABD∴∠BOC=∠BAD=又∵∠OAB=∴∠OAE==，∴∠EAC=，∠OEA=，∴在以A，E，C為頂點的等腰三角形中AE和AC是腰．∵在Rt△AOE中，OA=3，∠OEA=∴AE=6∴AC=AE=6∴OC=3+6=9∴以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，C點的坐標(biāo)為（9，0）（3）的值不變．理由：由（2）得∠OAE=-∠OAB-∠BAD=∴∠OEA=∴在Rt△AOE中，EA=2OA∴=．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)以及判定定理，平面直角坐標(biāo)系，含角直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，靈活運用全等三角形的判定定理尋求全等三角形的判定條件證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．20、（1）詳見詳解；（2）DF＝2BE，證明詳見詳解；（3）DF＝2BE，證明詳見詳解【分析】（1）只要證明△ADB≌△ADC（ASA）即可；（2）如圖2中，延長BE交CA的延長線于K，只要證明△BAK≌△CAD（ASA）即可；（3）作FK∥CA交BE的延長線于K，交AB于J，利用（2）中的結(jié)論證明即可．【詳解】解：（1）如圖1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵DA平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADC（ASA），∴AB＝AC，BD＝DC．（2）結(jié)論：DF＝2BE．理由：如圖2中，延長BE交CA的延長線于K．∵CE平分∠BCK，CE⊥BK，∴由（1）中結(jié)論可知：CB＝CK，BE＝KE，∵∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°，∴∠ABK+∠K＝90°，∠ACE+∠K＝90°，∴∠ABK＝∠ACD，∵AB＝AC，∴△BAK≌△CAD（ASA），CD＝BK，∴CD＝2BE，即DF＝2BE．（3）如圖3中，結(jié)論不變：DF＝2BE．理由：作FK∥CA交BE的延長線于K，交AB于J．∵FK∥AC，∴∠FJB＝∠A＝90°，∠BFK＝∠BCA，由（2）可知Rt△ABC為等腰三角形∵∠JBF＝45°，∴△BJF是等腰直角三角形，∵∠BFE＝∠ACB，∴∠BFE＝∠BFJ，由（2）可知：DF＝2BE．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；等腰三角形的判定和性質(zhì)性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)等知識點，在做題時正確的添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵．21、（1）詳見解析；（2）1.1．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及等腰三角形的性質(zhì)定理，即可得到結(jié)論；（2）延長BE、AC交于F點，首先利用三角形內(nèi)角和定理計算出∠F＝∠ABF，進而得到AF＝AB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE＝BF，然后證明△ADC≌△BFC，可得BF＝AD，進而得到BE＝AD，即可求解．【詳解】（1）在△ABC中，∵∠BAC＝41°，BE⊥AC，∴AE＝BE，∵AD⊥BC，∴∠EAM＝90°-∠C=∠EBC，在△AEM和△BEC中，∵，∴△AEM≌△BEC（ASA），∴AM＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴BC＝2CD，∴AM＝2CD；（2）延長BE、AC交于F點，∵BE⊥EA，∴∠AEF＝∠AEB＝90°．∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE，∴∠F＝∠ABE，∴AF＝AB，∵BE⊥EA，∴BE＝EF＝BF，∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∴∠CAB＝41°，∴∠AFE＝(180°﹣41°)÷2＝67.1°，∠FAE＝41°÷2=22.1°，∴∠CDA＝67.1°，∵在△ADC和△BFC中，∵，∴△ADC≌△BFC（AAS），∴BF＝AD，∴BE＝AD＝1.1，故答案為：1.1．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理以及等腰三角形的性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．22、船與燈塔之間的距離為海里．【分析】先要利用勾股定理的逆定理證明出△ADC是Rt△，再推出△BDC是Rt△，最后利用勾股定理算出BC．【詳解】在Rt△ACD中，AC=20，CD=12，∴AD=4×4=16，AC2=AD2+CD2，∴△ACD是直角三角形．∴△BDC是直角三角形，在Rt△CDB中，CD=12，DB=8，∴CB＝．答：船與燈塔之間的距離為海里．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出△CDB為直角三角形以及在直角三角形中求出CD的長是解題關(guān)鍵．23、詳見解析【分析】先根據(jù)勾股定理求出AE和BE，求出AB，根據(jù)勾股逆定理的逆定理可證△ABC是直角三角形．【詳解】證明：DE是AB邊上的高，∴∠AED＝∠BED＝90°,在Rt△ADE中，在Rt△BDE中，∴AB＝2＋8＝1．在△ABC中，由AB＝1，AC＝6，BC＝8，∵∴∴△ABC是直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的