高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3-2立體幾何中的向量方法一素養(yǎng)課件新人教A版選修2-1

3.2立體幾何中的向量方法(一)目標(biāo)定位重點(diǎn)難點(diǎn)1.理解直線的方向向量、平面的法向量，會(huì)求平面的法向量2.能利用直線的方向向量和平面的法向量解決平行問(wèn)題3.能利用直線的方向向量和平面的法向量解決垂直問(wèn)題重點(diǎn)：用向量方法解決平行與垂直問(wèn)題難點(diǎn)：用向量方法解決立體幾何問(wèn)題1．直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線___________向量．2．平面的法向量直線l⊥α，取直線l的__________a，則a叫作平面α的法向量．平行的非零方向向量3．空間中平行關(guān)系的向量表示(1)線線平行設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，則l∥m?a∥b?_______?______________________________.(2)線面平行設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，若l?α，則l∥α?a⊥u?_________?____________________.a＝kba1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈Ra·u＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0(3)面面平行設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?________?______________________________.4．空間垂直關(guān)系的向量表示(1)線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?________?________?____________________.u＝kva1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈Ra⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(2)線面垂直設(shè)直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?u∥v?________.(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?______?________?___________________.u＝kvu⊥vu·v＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝01．設(shè)平面α內(nèi)兩個(gè)向量的坐標(biāo)分別為(1,2,1)，(－1,1,2)，則下列向量中是平面α的法向量的是(

)A．(－1，－2,5) B．(－1,1，－1)C．(1,1,1) D．(1，－1，－1)【答案】B【解析】∵(－1,1，－1)·(1,2,1)＝－1＋2－1＝0，(－1，1，－1)·(－1,1,2)＝1＋1－2＝0，∴向量(－1,1，－1)是平面α的法向量．故選B.2．若平面α與β的法向量分別是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，則平面α與β的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．無(wú)法判斷【答案】A【解析】∵a＝(1,0，－2)＝－(－1,0,2)＝－b，∴a∥b.∴α∥β.【答案】B【解析】∵α⊥β，則它們的法向量也互相垂直，∴(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.【答案】B【解析】∵α⊥β，則它們的法向量也互相垂直，∴(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.【例1】

如下圖，在長(zhǎng)方體OAEBO1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，點(diǎn)P在棱AA1上且AP＝2PA1，點(diǎn)S在棱BB1上且SB1＝2BS，點(diǎn)Q，R分別是棱O1B1，AE的中點(diǎn)，求證：PQ∥RS.利用空間向量解決平行問(wèn)題【解題探究】建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明方向向量共線．證明兩直線平行，即證兩直線的方向向量共線且不共點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是正方體六個(gè)表面的中心，求證：平面EFG∥平面HMN.1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是正方體六個(gè)表面的中心，求證：平面EFG∥平面HMN.利用空間向量解決垂直問(wèn)題【解題探究】(1)證明兩直線垂直，即證兩直線方向向量垂直；(2)利用向量數(shù)量積求夾角．【解析】以D為原點(diǎn)，線段DA，DC，DD′所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．證明兩直線垂直，即證兩直線的方向向量垂直，即證兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．2．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面PAB.【證明】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)E(a,0,0)，其中a>0,則C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0，0,1)，1．直線的方向向量和平面的法向量是用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的兩個(gè)重要工具，是實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題的向量解法的媒介．2．用空間向量方法證明立體幾何中的平行與垂直問(wèn)題，主要運(yùn)用了直線的方向向量和平面的法向量，同時(shí)也要借助空間中已有的一些關(guān)于平行、垂直的定理．3．用向量方法證明平行、垂直問(wèn)題的步驟(1)建立空間圖形與空間向量的關(guān)系(可以建立空間直角坐標(biāo)系，也可以不建系)，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面；(2)通過(guò)向量運(yùn)算研究平行、垂直問(wèn)題；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問(wèn)題．1．若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，則(

)A．α，β相交但不垂直 B．α⊥βC．α∥β D．以上均不正確【答案】B

【解析】∵u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，∴u·v＝1×(－2)＋2×2＋(－1)×2＝0.∴u⊥v.∴α⊥β.故選B．2．在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于(

)A．AC B．BDC．A1D D．A1A【答案】B3．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z的值為(

)A．3

B．6

C．－9

D．9【答案】C

【解析】∵l⊥平面α，v與平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0.解得z＝－9.【答案】1

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)A．3

B．6

C．－9

D．9【答案】C

【解析】∵l⊥平面α，v與平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0.解得z＝－9.1．若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，則(

)A．α，β相交但不垂直 B．α⊥βC．α∥β D．以上均不正確【答案】B

【解析】∵u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，∴u·v＝1×(－2)＋2×2＋(－1)×2＝0.∴u⊥v.∴α⊥β.故選B．(3)面面平行設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?________?______________________________.4．空間垂直關(guān)系的向量表示(1)線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?________?________?____________________.u＝kva1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈Ra⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝01．設(shè)平面α內(nèi)兩個(gè)向量的坐標(biāo)分別為(1,2,1)，(－1,1,2)，則下列向量中是平面α的法向量的是