高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2-1平面向量的實際背景及基本概念課件新人教A版必修4

第二章平面向量2.1平面向量的實際背景及基本概念必備知識·自主學(xué)習(xí)1.向量的定義與表示(1)定義:既有_____又有_____的量叫做向量.導(dǎo)思(1)我們在物理中學(xué)習(xí)了位移、速度、力等,這些量與我們?nèi)粘Ｉ钪械哪挲g、身高、體重、面積、體積等有什么區(qū)別?(2)如何形象、直觀地表示既有大小,又有方向的量?(3)“若a∥b,且b∥c,則a∥c”這個說法對嗎?大小方向(2)表示方法:①幾何表示法:用以A為起點(diǎn),以B為終點(diǎn)作的有向線段____表示.②字母表示法:在印刷時,用黑體小寫字母a,b,c…表示向量,手寫時,可寫成帶箭頭的小寫字母…(3)向量的模:向量的大小叫做向量的_____或___,如a,的模分別記作____,______.長度模|a|||【思考】(1)定義中的“大小”與“方向”分別描述了向量的哪方面的特性?只描述其中一個方面可以嗎?提示:向量不僅有大小,而且有方向.大小是代數(shù)特征,方向是幾何特征.看一個量是否為向量,就要看它是否具備了大小和方向兩個要素,二者缺一不可.(2)由向量的幾何表示方法我們該如何準(zhǔn)確地畫出向量?提示:要準(zhǔn)確畫出向量,應(yīng)先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).2.特殊向量(1)零向量:___________的向量叫做零向量,記作0.(2)單位向量:____________________的向量叫做單位向量.(3)相等向量:_________且_________的向量叫做相等向量.向量a與b相等,記作a=b.(4)平行向量或共線向量:方向___________的非零向量叫做平行向量,也叫做共線向量.向量a平行于b,記作a∥b.規(guī)定_______平行于任何向量.長度等于零長度(或模)為1個單位長度相等相同或相反零向量方向相同【思考】(1)0與0相同嗎?0是不是沒有方向?提示:0與0不同,0是一個實數(shù),0是一個向量,且|0|=0.0有方向,其方向是任意的.(2)若a=b,則兩向量在大小與方向上有何關(guān)系?提示:若a=b,意味著|a|=|b|,且a與b的方向相同.(3)“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎?提示:向量平行與幾何中的平行不同,向量平行包括基線重合的情況,故也稱向量共線.(2)若a=b,則兩向量在大小與方向上有何關(guān)系?提示:若a=b,意味著|a|=|b|,且a與b的方向相同.(3)“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎?提示:向量平行與幾何中的平行不同,向量平行包括基線重合的情況,故也稱向量共線.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩個有共同起點(diǎn),且長度相等的向量,它們的終點(diǎn)相同. (

)(2)任意兩個單位向量都相等. (

)(3)平行向量的方向相同或相反. (

)(4)若,則A,B,C,D四點(diǎn)是平行四邊形的四個頂點(diǎn). (

)提示:(1)×.兩個有共同起點(diǎn),且長度相等的向量,方向不一定相同,其終點(diǎn)也不一定相同.(2)×.任意兩個單位向量只有長度相等,方向不一定相同,故不一定相等.(3)√.由平行向量的定義可知.(4)×.若,則A,B,C,D也可能落在同一條直線上.2.下列物理量:①位移;②力;③加速度;④路程;⑤密度.其中不是向量的有 (

)

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解析】選B.①②③既有大小,又有方向,是向量;④⑤只有大小,沒有方向,不是向量.3.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)如圖,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,則選項中與相等的向量是 (

)

【解析】選D.由題圖知,與相等的向量是:關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量的概念、零向量、單位向量(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.以下選項中,都是向量的是 (

)

A.正弦線、海拔 B.質(zhì)量、摩擦力C.三角形的邊長、體積 D.余弦線、速度關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量的概念、零向量、單位向量(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.以下選項中,都是向量的是 (

)

A.正弦線、海拔 B.質(zhì)量、摩擦力C.三角形的邊長、體積 D.余弦線、速度2.下列說法中正確的是 (

)A.數(shù)量可以比較大小,向量也可以比較大小B.方向不同的向量不能比較大小,但同向的向量可以比較大小C.向量的大小與方向有關(guān)D.向量的模可以比較大小3.給出下列說法:①零向量是沒有方向的;②零向量的方向是任意的;③單位向量的模都相等,其中正確的是________(填上序號).

【解析】1.選D.三角函數(shù)線、摩擦力、速度既有大小又有方向,是向量;海拔、質(zhì)量、三角形的邊長、體積只有大小沒有方向,不是向量.2.選D.不管向量的方向如何,它們都不能比較大小,故A,B不正確;向量的大小即為向量的模,指的是有向線段的長度,與方向無關(guān),故C不正確;向量的模是一個數(shù)量,可以比較大小,故D正確.3.由零向量的方向是任意的,知①錯誤,②正確;由單位向量的模是1,知③正確.答案:②③【解題策略】1.判斷一個量是否為向量的兩個關(guān)鍵條件關(guān)鍵看它是否具備向量的兩要素:(1)有大小.(2)有方向.兩個條件缺一不可.2.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)單位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:兩個單位向量的長度相等,但這兩個單位向量不一定相等.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列說法正確的是 (

)A.有向線段與表示同一向量B.兩個有公共終點(diǎn)的向量是平行向量C.零向量與任意向量共線D.對任意向量a,是一個單位向量【解析】選C.向量與方向相反,不是同一向量,A錯誤;有公共終點(diǎn)的向量的方向不一定相同或相反,B錯誤;當(dāng)a=0時,無意義,D錯誤;零向量與任何向量都是共線向量,C正確.類型二相等向量與共線向量(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.已知點(diǎn)O為正方形ABCD的對角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形,表示出各向量,如圖所示.(1)與相等的向量有________,與相等的向量有________.

(2)與共線的向量有________.

(3)與的模相等的向量有________.

2.(2020·包頭高一檢測)下列說法正確的是 (

)A.向量a與b共線,向量b與c共線,則向量a與c共線B.向量a與b不共線,向量b與c不共線,則向量a與c不共線C.向量與是共線向量,則A,B,C,D四點(diǎn)一定共線D.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量【解析】1.(1)根據(jù)相等向量的定義可知=,=.(2)根據(jù)共線向量的定義可知,與共線的向量為(3)易知答案:(1)

(2)(3)2.選D.當(dāng)b=0時,A不對;如圖,a=,c=,b與a,b與c均不共線,但a與c共線,所以B錯.

在?ABCD中,與共線,但A,B,C,D四點(diǎn)不共線,所以C錯;若a與b有一個為零向量,則a與b一定共線,所以a,b不共線時,一定有a與b都是非零向量.【解題策略】(1)尋找相等向量的方法:先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是同向且共線的.(2)尋找共線向量的方法:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向或反向的向量.(3)共線向量與相等向量的關(guān)系:相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定是相等向量.若兩向量相等,則兩向量方向相同,模相等;若兩向量共線,則兩向量方向相同或相反.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,EF是過點(diǎn)O且平行于AB的線段,在所標(biāo)的向量中:(1)寫出與共線的向量.(2)寫出與方向相同的向量.(3)寫出與,的模相等的向量.(4)寫出與相等的向量.【解析】等腰梯形ABCD中,AB∥CD∥EF,AD=BC.(1)題圖中與共線的向量有(2)題圖中與方向相同的向量有(3)題圖中與的模相等的向量為,與的模相等的向量為.(4)題圖中與相等的向量為.2.四邊形ABCD為邊長為3的正方形,把各邊三等分后,共有16個交點(diǎn),從中選取兩個交點(diǎn)作為向量,則與平行且長度為的向量個數(shù)有________個.

【解析】如圖所示,滿足與平行且長度為的向量有

,共8個,

答案:8類型三向量的表示與應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)

角度1幾何應(yīng)用

【典例】如圖的方格由若干個邊長為1的小正方形拼在一起組成,方格紙中有定點(diǎn)A,點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn),且||=,畫出所有的向量.【思路導(dǎo)引】起點(diǎn)為A,只需確定模與方向即可.【解析】畫出所有的向量,如圖:【變式探究】如圖所示,在四邊形ABCD中,N,M分別是AD,BC上的點(diǎn),且.求證:【證明】因為所以||=||,且AB∥CD,所以四邊形ABCD是平行四邊形.所以||=||,且DA∥CB.又因為與的方向相同,所以=.同理可證四邊形CNAM是平行四邊形,所以=.因為||=||,||=||,所以||=||,DN∥MB,即與的模相等且方向相同,所以=.角度2實際應(yīng)用

某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向按東北方向走了10米到達(dá)C點(diǎn),到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn).(1)作出向量(2)求的模.【思路導(dǎo)引】可先選定向量的起點(diǎn)及方向,并根據(jù)其長度作出相關(guān)向量.可把放在直角三角形中求得||.【解析】(1)作出向量,如圖所示:(2)由題意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=10米,CD=10米,所以BD=10米.可知△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD==5(米),所以||=5.【解題策略】(1)用有向線段表示向量時,先確定起點(diǎn),再確定方向,最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn).(2)利用向量的相等,可以證明線段相等或直線平行,但需說明兩向量所在的基線無公共點(diǎn).用平行向量可證明(判斷)直線平行,但證明直線平行時,除說明向量平行外還需說明向量所在的基線無公共點(diǎn).【題組訓(xùn)練】1.在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:(1),使||=4,點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°.(2),使||=4,點(diǎn)B在點(diǎn)A正東.(3),使||=6,點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.【解析】(1)由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又||=4,小方格邊長為1,所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4,于是點(diǎn)A位置可以確定,畫出向量如圖所示.(2)由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處,且||=4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)B位置可以確定,畫出向量如圖所示.(3)由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處,且||=6,依據(jù)勾股定理可得:在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3≈5.2,于是點(diǎn)C位置可以確定,畫出向量如圖所示.2.四邊形ABCD中,=,且||=||,tanD=,則四邊形ABCD的形狀為________.

【解析】因為在四邊形ABCD中,=,所以AB

DC,所以四邊形ABCD是平行四邊形.因為tanD=,所以∠B=∠D=60°.又||=||,所以△ABC是等邊三角形,所以||=||,所以四邊形ABCD是菱形.

答案:菱形【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,平行四邊形ABCD中,O是兩對角線AC,BD的交點(diǎn),設(shè)點(diǎn)集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合}.試求集合T中元素的個數(shù).【解析】由題可知,集合T中的元素實質(zhì)上是S中任意兩點(diǎn)連成的有向線段,共有20個,即由平行四邊形的性質(zhì)可知,共有8對向量相等,即又集合元素具有互異性,故集合T中的元素共有12個.1.下列說法正確的是 (

)A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量的長度是0C.長度相等的向量叫相等向量D.共線向量是在同一條直線上的向量【解析】選B.對A,由于0與任意向量平行,所以A錯誤;對B,零向量的長度是0,正確;對C,長度相等的向量方向不一定相同,故C錯誤;對D,共線向量不一定在同一條直線上,故D錯誤.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.下列命題中,正確的是 (

)

A.|a|=|b|?a=b B.|a|>|b|?a>bC.a=b?a∥b D.|a|=0?a=0【解析】選C.兩個向量模相等,方向不一定相同,向量不一定相等,A錯;向量的?？梢员容^大小,但向量不能比較大小,B錯;向量相等,方向相同,一定是共線向量,C正確;若|a|=0?a=0,故D錯.3.設(shè)M是等邊△ABC的中心,則是 (

)A.有相同起點(diǎn)的向量 B.相等的向量C.模相等的向量 D.平行向量【解析】選C.由正三角形的性質(zhì)知,|MA|=|MB|=|MC|.所以4.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)已知如圖的方格紙(每個方格的單位長度為1).

(1)畫出,使||=3,點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方向.||=3,點(diǎn)B在點(diǎn)O北偏西45°方向.(2)求出||的值.【解析】(1)依題意,結(jié)合向量的表示可知,所畫向量如圖所示.

(2)由圖知,△AOB是等腰直角三角形,所以5.如圖,是中國象棋的半個棋盤,“馬走日”是象棋中馬的走法.此圖中,馬可以從A處跳到A1處,用向量表示馬走了“一步”,也可以跳到A2處,用向量表示.請在圖中畫出馬在B,C處走了“一步”的所有情況.【解析】如圖,馬在B處只有3步可走,馬在C處有8步可走,人們常說的馬有“八面威風(fēng)”就是指馬在中心處威力最大.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強(qiáng).勵志名言請您欣賞5.如圖,是中國象棋的半個棋盤,“馬走日”是象棋中馬的走法.此圖中,馬可以從A處跳到A1處,用向量表示馬走了“一步”,也可以跳到A