高中數(shù)學第二章平面向量2-2-3向量數(shù)乘運算及其幾何意義課件新人教A版必修4

2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義必備知識·自主學習導思(1)向量與實數(shù)可以求積,那么向量和實數(shù)可以進行加減運算嗎?數(shù)乘向量與實數(shù)的乘積等同嗎?(2)平面向量共線定理是什么?如何利用向量證明三點共線?1.向量的數(shù)乘運算定義:一般地,實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作λa.規(guī)定:(1)|λa|=________.|λ||a|(2)當λ>0時,λa的方向與a的方向_____;當λ<0時,λa的方向與a的方向_____;當λ=__時,λa=0.相同相反0【思考】(1)定義中“是一個向量”告訴了我們什么信息?提示:數(shù)乘向量的結(jié)果仍是一個向量,它既有大小又有方向.(2)若把|λa|=|λ||a|寫成|λa|=λ|a|可以嗎?為什么?提示:不可以,當λ<0時不成立.2.向量數(shù)乘的運算律設λ,μ為實數(shù),則(1)λ(μa)=________;

(2)(λ+μ)a=________;

(3)λ(a+b)=________.

特別地,我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.(λμ)aλa+μaλa+λb【思考】這里的條件“λ,μ為實數(shù)”能省略嗎?為什么?提示:不能,數(shù)乘向量中的λ,μ都是實數(shù),只有λ,μ都是實數(shù)時,運算律才成立.3.共線向量與向量的線性運算(1)共線向量定理:向量a(a≠0)與b共線,當且僅當有_________實數(shù)λ,使得b=λa.(2)向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.唯一一個【思考】(1)共線向量定理中的“a≠0”是否多余,能去掉嗎?提示:不能,定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0,λ存在,但不唯一,若a=0,b≠0,則λ不存在.(2)反之,“若存在一個實數(shù)λ,使b=λa(a≠0),則a與b共線”成立嗎?提示:成立.【思考】(1)共線向量定理中的“a≠0”是否多余,能去掉嗎?提示:不能,定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0,λ存在,但不唯一,若a=0,b≠0,則λ不存在.(2)反之,“若存在一個實數(shù)λ,使b=λa(a≠0),則a與b共線”成立嗎?提示:成立.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)a的方向與a的方向相同,且a的模是a的模的倍. (

)(2)-3a的方向與6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的. (

)(3)a與-λa的方向相反. (

)(4)若a,b共線,則存在唯一的實數(shù)λ,使a=λb. (

)提示:(1)√.因為>0,所以a與a同向.因為|a|=|a|,所以a的模是a的模的倍.(2)√.因為-3<0,所以-3a與a方向相反且|-3a|=3|a|.6a與a方向相同且|6a|=6|a|,所以-3a與6a方向相反且模是6a的模的.(3)×.當λ<0時,a與-λa的方向相同.(4)×.若b=0時不成立.2.已知a=4d,b=5d,c=-3d,則2a-3b+c等于 (

)

A.10d B.-10d C.20d D.-20d【解析】選B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.3.(教材二次開發(fā):練習改編)點C在線段AB上,且=,則=______

,=______

.【解析】因為C在線段AB上,且=,所以與方向相同,與方向相反,且所以答案:

關(guān)鍵能力·合作學習類型一向量的線性運算(數(shù)學運算、直觀想象)【題組訓練】1.(2020·彰化高一檢測)化簡4(a-b)-5(a+b)-b= (

)A.a-2b

B.aC.-a-6b D.-a-10b2.設向量a=3i+2j,b=2i-j,則+(2b-a)=________.

3.已知向量a,b,x,y滿足關(guān)系式3x-2y=a,-4x+3y=b,試用向量a,b表示向量x,y.關(guān)鍵能力·合作學習類型一向量的線性運算(數(shù)學運算、直觀想象)【題組訓練】1.(2020·彰化高一檢測)化簡4(a-b)-5(a+b)-b= (

)A.a-2b

B.aC.-a-6b D.-a-10b2.設向量a=3i+2j,b=2i-j,則+(2b-a)=________.

3.已知向量a,b,x,y滿足關(guān)系式3x-2y=a,-4x+3y=b,試用向量a,b表示向量x,y.【解析】1.選D.原式=4a-4b-5a-5b-b=-a-10b.2.原式=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)=-i-5j.答案:-i-5j3.由題知3x-2y=a

①,-4x+3y=b

②.由①×3+②×2,得x=3a+2b.代入①,得3(3a+2b)-2y=a,所以y=4a+3b.【解題策略】向量線性運算的方法(1)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算,主要是“合并同類項”“提取公因式”,但這里的“同類項”“公因式”指向量,實數(shù)看作是向量的系數(shù).(2)向量也可以通過列方程來解,把所求向量當作未知數(shù),利用解代數(shù)方程的方法求解,同時在運算過程中要多注意觀察,恰當運用運算律,簡化運算.【補償訓練】1.已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.【解析】將3x-y=b兩邊同乘2,得6x-2y=2b.與5x+2y=a相加得11x=a+2b,即x=a+b.所以y=3x-b=3-b=a-b.2.(2020·攀枝花高一檢測)化簡下列各式.(1)3(5a+b)-9(2)(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.【解析】(1)原式=15a+3b-9a-3b=6a.(2)原式=(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.類型二利用已知向量表示相關(guān)向量(數(shù)學運算、直觀想象)【典例】1.設D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2為實數(shù)),則λ1+λ2的值為________.

2.如圖所示,已知?ABCD的邊BC,CD上的中點分別為K,L,且=e1,=e2,試用e1,e2表示【思路導引】充分利用三角形、四邊形結(jié)合向量加法、減法法則求解.【解析】1.由已知所以從而λ1+λ2=.答案:

2.設=x,則=x,=e1-x,=e1-x,又=x,由,得x+e1-x=e2,解方程得x=e2-e1,即=e2-e1,由=-,=e1-x,得

=-e1+e2.【解題策略】(1)由已知量表示未知量時,要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運算的運算律.(2)當直接表示較困難時,應考慮利用方程(組)求解.【跟蹤訓練】1.如圖,四邊形ABCD是一個梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分別是DC和AB的中點,已知試用a,b表示和【解析】方法一:連接CN,則AN

DC,所以四邊形ANCD是平行四邊形.

又因為所以所以方法二:因為即:所以又因為在四邊形ADMN中有即:所以2.如圖,以向量為邊作?OADB,用a,b表示【解析】因為所以又所以即有類型三向量共線定理及應用(數(shù)學運算、邏輯推理)

角度1求參數(shù)問題

【典例】設e1,e2是兩個不共線的向量,則向量a=2e1-e2,與向量b=e1+λe2(λ∈R)共線,當且僅當λ的值為 (

)

A.0 B.-1 C.-2 D.-【思路導引】利用向量共線定理解答.【解析】選D.因為向量a與b共線,所以存在唯一實數(shù)u,使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以解得λ=【變式探究】本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m,n∈R)”其他條件不變,試求m+n的值.【解析】因為向量a與b共線,所以存在唯一實數(shù)u,使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以所以m+n=0.角度2三點共線問題

【典例】已知e1,e2是兩個不共線的向量,若=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求證:A,B,D三點共線.【思路導引】利用共線向量定理求解.【證明】因為=e1+3e2,=2e1-e2,所以=e1-4e2.又=2e1-8e2=2(e1-4e2),所以=2,所以∥.因為AB與BD有公共點B,所以A,B,D三點共線.【解題策略】向量共線定理:b與a(a≠0)共線?b=λa是一個等價定理,因此用它既可以證明點共線問題,也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.證明三點共線,往往要轉(zhuǎn)化為證明過同一點的兩個有向線段表示的向量共線,必須說明構(gòu)造的兩個向量有公共點,否則兩向量所在的基線可能平行,解題時常常會因忽視對公共點的說明而丟分.【題組訓練】1.(2020·濱州高一檢測)已知非零向量e1,e2不共線.(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求證:A,B,D三點共線.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共線,試確定實數(shù)k的值.【解析】(1)因為=e1+e2,=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5.所以共線,且有公共點B,所以A,B,D三點共線.(2)因為ke1+e2與e1+ke2共線,所以存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),即(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1與e2不共線,只能有所以k=±1.2.如圖,在平行四邊形ABCD中,點M是AB的中點,點N在BD上,且BN=BD,求證:M,N,C三點共線.【證明】

因為所以由①,②可知即又因為MC,MN有公共點M,所以M,N,C三點共線.【拓展延伸】關(guān)于A,B,C三點共線條件的變形式平面上三點A,B,C共線的充要條件是:存在實數(shù)α,β,使得其中α+β=1,O為平面內(nèi)任意一點.【拓展訓練】已知A,B,P三點共線,O為直線外任意一點,若求x+y的值.【解析】設所以x+y=1+λ-λ=1.【補償訓練】設D為△ABC所在平面內(nèi)一點,則 (

)【解析】選A.1.下列說法正確的是 (

)

A.2a與a不能相等 B.2|a|>|a|C.2a∥a D.|2a|≠1【解析】選C.對A,當a=0時,有2a=a;對B,當|a|=0時,有2|a|=|a|;對C,顯然正確;對D,當|a|=時有|2a|=1.綜上可知C正確.課堂檢測·素養(yǎng)達標2.(教材二次開發(fā):練習改編)等于 (

)A.a-b+2c B.5a-b+2cC.a+b+2c D.5a+b【解析】選A.=(3a-2a)++(c+c)=a-b+2c.3.在△ABC中,點P是AB上一點,且則t的值為(

)【解析】選A.由題意可得又所以t=.4.若兩個非零向量a與(2x-1)a方向相同,則x的取值范圍為________.

【解析】由向量數(shù)乘定義可知,2x-1>0,即x>.答案:x>

5.設V是平面向量的集合,映射f:V→V滿足f(a)=則對任意的a,b∈V,λ∈R.求證:f(|a|·a)=f(a).【證明】若a=0,則f(|a|·a)=f(a)=0;若a≠0,則f(|a|·a)=|a|·a=a,且f(a)=a,所以f(|a|·a)=f(a).綜上可得對任意向量a,均有f(|a|·a)=f(a)成立.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞4.若兩個非零向量a與(2x-1)a方向相同,則x的取