高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2-2-3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義課件新人教A版必修4

2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思(1)向量與實(shí)數(shù)可以求積,那么向量和實(shí)數(shù)可以進(jìn)行加減運(yùn)算嗎?數(shù)乘向量與實(shí)數(shù)的乘積等同嗎?(2)平面向量共線定理是什么?如何利用向量證明三點(diǎn)共線?1.向量的數(shù)乘運(yùn)算定義:一般地,實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa.規(guī)定:(1)|λa|=________.|λ||a|(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向_____;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向_____;當(dāng)λ=__時(shí),λa=0.相同相反0【思考】(1)定義中“是一個(gè)向量”告訴了我們什么信息?提示:數(shù)乘向量的結(jié)果仍是一個(gè)向量,它既有大小又有方向.(2)若把|λa|=|λ||a|寫成|λa|=λ|a|可以嗎?為什么?提示:不可以,當(dāng)λ<0時(shí)不成立.2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ,μ為實(shí)數(shù),則(1)λ(μa)=________;

(2)(λ+μ)a=________;

(3)λ(a+b)=________.

特別地,我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.(λμ)aλa+μaλa+λb【思考】這里的條件“λ,μ為實(shí)數(shù)”能省略嗎?為什么?提示:不能,數(shù)乘向量中的λ,μ都是實(shí)數(shù),只有λ,μ都是實(shí)數(shù)時(shí),運(yùn)算律才成立.3.共線向量與向量的線性運(yùn)算(1)共線向量定理:向量a(a≠0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有_________實(shí)數(shù)λ,使得b=λa.(2)向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.唯一一個(gè)【思考】(1)共線向量定理中的“a≠0”是否多余,能去掉嗎?提示:不能,定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0,λ存在,但不唯一,若a=0,b≠0,則λ不存在.(2)反之,“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa(a≠0),則a與b共線”成立嗎?提示:成立.【思考】(1)共線向量定理中的“a≠0”是否多余,能去掉嗎?提示:不能,定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0,λ存在,但不唯一,若a=0,b≠0,則λ不存在.(2)反之,“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa(a≠0),則a與b共線”成立嗎?提示:成立.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)a的方向與a的方向相同,且a的模是a的模的倍. (

)(2)-3a的方向與6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的. (

)(3)a與-λa的方向相反. (

)(4)若a,b共線,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使a=λb. (

)提示:(1)√.因?yàn)?gt;0,所以a與a同向.因?yàn)閨a|=|a|,所以a的模是a的模的倍.(2)√.因?yàn)?3<0,所以-3a與a方向相反且|-3a|=3|a|.6a與a方向相同且|6a|=6|a|,所以-3a與6a方向相反且模是6a的模的.(3)×.當(dāng)λ<0時(shí),a與-λa的方向相同.(4)×.若b=0時(shí)不成立.2.已知a=4d,b=5d,c=-3d,則2a-3b+c等于 (

)

A.10d B.-10d C.20d D.-20d【解析】選B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)點(diǎn)C在線段AB上,且=,則=______

,=______

.【解析】因?yàn)镃在線段AB上,且=,所以與方向相同,與方向相反,且所以答案:

關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量的線性運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.(2020·彰化高一檢測(cè))化簡(jiǎn)4(a-b)-5(a+b)-b= (

)A.a-2b

B.aC.-a-6b D.-a-10b2.設(shè)向量a=3i+2j,b=2i-j,則+(2b-a)=________.

3.已知向量a,b,x,y滿足關(guān)系式3x-2y=a,-4x+3y=b,試用向量a,b表示向量x,y.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量的線性運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.(2020·彰化高一檢測(cè))化簡(jiǎn)4(a-b)-5(a+b)-b= (

)A.a-2b

B.aC.-a-6b D.-a-10b2.設(shè)向量a=3i+2j,b=2i-j,則+(2b-a)=________.

3.已知向量a,b,x,y滿足關(guān)系式3x-2y=a,-4x+3y=b,試用向量a,b表示向量x,y.【解析】1.選D.原式=4a-4b-5a-5b-b=-a-10b.2.原式=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)=-i-5j.答案:-i-5j3.由題知3x-2y=a

①,-4x+3y=b

②.由①×3+②×2,得x=3a+2b.代入①,得3(3a+2b)-2y=a,所以y=4a+3b.【解題策略】向量線性運(yùn)算的方法(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”,但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).(2)向量也可以通過列方程來解,把所求向量當(dāng)作未知數(shù),利用解代數(shù)方程的方法求解,同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察,恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律,簡(jiǎn)化運(yùn)算.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.【解析】將3x-y=b兩邊同乘2,得6x-2y=2b.與5x+2y=a相加得11x=a+2b,即x=a+b.所以y=3x-b=3-b=a-b.2.(2020·攀枝花高一檢測(cè))化簡(jiǎn)下列各式.(1)3(5a+b)-9(2)(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.【解析】(1)原式=15a+3b-9a-3b=6a.(2)原式=(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.類型二利用已知向量表示相關(guān)向量(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)【典例】1.設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ2的值為________.

2.如圖所示,已知?ABCD的邊BC,CD上的中點(diǎn)分別為K,L,且=e1,=e2,試用e1,e2表示【思路導(dǎo)引】充分利用三角形、四邊形結(jié)合向量加法、減法法則求解.【解析】1.由已知所以從而λ1+λ2=.答案:

2.設(shè)=x,則=x,=e1-x,=e1-x,又=x,由,得x+e1-x=e2,解方程得x=e2-e1,即=e2-e1,由=-,=e1-x,得

=-e1+e2.【解題策略】(1)由已知量表示未知量時(shí),要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律.(2)當(dāng)直接表示較困難時(shí),應(yīng)考慮利用方程(組)求解.【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖,四邊形ABCD是一個(gè)梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分別是DC和AB的中點(diǎn),已知試用a,b表示和【解析】方法一:連接CN,則AN

DC,所以四邊形ANCD是平行四邊形.

又因?yàn)樗运苑椒ǘ?因?yàn)榧?所以又因?yàn)樵谒倪呅蜛DMN中有即:所以2.如圖,以向量為邊作?OADB,用a,b表示【解析】因?yàn)樗杂炙约从蓄愋腿蛄抗簿€定理及應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)

角度1求參數(shù)問題

【典例】設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,則向量a=2e1-e2,與向量b=e1+λe2(λ∈R)共線,當(dāng)且僅當(dāng)λ的值為 (

)

A.0 B.-1 C.-2 D.-【思路導(dǎo)引】利用向量共線定理解答.【解析】選D.因?yàn)橄蛄縜與b共線,所以存在唯一實(shí)數(shù)u,使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以解得λ=【變式探究】本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m,n∈R)”其他條件不變,試求m+n的值.【解析】因?yàn)橄蛄縜與b共線,所以存在唯一實(shí)數(shù)u,使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以所以m+n=0.角度2三點(diǎn)共線問題

【典例】已知e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,若=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求證:A,B,D三點(diǎn)共線.【思路導(dǎo)引】利用共線向量定理求解.【證明】因?yàn)?e1+3e2,=2e1-e2,所以=e1-4e2.又=2e1-8e2=2(e1-4e2),所以=2,所以∥.因?yàn)锳B與BD有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線.【解題策略】向量共線定理:b與a(a≠0)共線?b=λa是一個(gè)等價(jià)定理,因此用它既可以證明點(diǎn)共線問題,也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.證明三點(diǎn)共線,往往要轉(zhuǎn)化為證明過同一點(diǎn)的兩個(gè)有向線段表示的向量共線,必須說明構(gòu)造的兩個(gè)向量有公共點(diǎn),否則兩向量所在的基線可能平行,解題時(shí)常常會(huì)因忽視對(duì)公共點(diǎn)的說明而丟分.【題組訓(xùn)練】1.(2020·濱州高一檢測(cè))已知非零向量e1,e2不共線.(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求證:A,B,D三點(diǎn)共線.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共線,試確定實(shí)數(shù)k的值.【解析】(1)因?yàn)?e1+e2,=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5.所以共線,且有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線.(2)因?yàn)閗e1+e2與e1+ke2共線,所以存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),即(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1與e2不共線,只能有所以k=±1.2.如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N在BD上,且BN=BD,求證:M,N,C三點(diǎn)共線.【證明】

因?yàn)樗杂散?②可知即又因?yàn)镸C,MN有公共點(diǎn)M,所以M,N,C三點(diǎn)共線.【拓展延伸】關(guān)于A,B,C三點(diǎn)共線條件的變形式平面上三點(diǎn)A,B,C共線的充要條件是:存在實(shí)數(shù)α,β,使得其中α+β=1,O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).【拓展訓(xùn)練】已知A,B,P三點(diǎn)共線,O為直線外任意一點(diǎn),若求x+y的值.【解析】設(shè)所以x+y=1+λ-λ=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則 (

)【解析】選A.1.下列說法正確的是 (

)

A.2a與a不能相等 B.2|a|>|a|C.2a∥a D.|2a|≠1【解析】選C.對(duì)A,當(dāng)a=0時(shí),有2a=a;對(duì)B,當(dāng)|a|=0時(shí),有2|a|=|a|;對(duì)C,顯然正確;對(duì)D,當(dāng)|a|=時(shí)有|2a|=1.綜上可知C正確.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)等于 (

)A.a-b+2c B.5a-b+2cC.a+b+2c D.5a+b【解析】選A.=(3a-2a)++(c+c)=a-b+2c.3.在△ABC中,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且則t的值為(

)【解析】選A.由題意可得又所以t=.4.若兩個(gè)非零向量a與(2x-1)a方向相同,則x的取值范圍為________.

【解析】由向量數(shù)乘定義可知,2x-1>0,即x>.答案:x>

5.設(shè)V是平面向量的集合,映射f:V→V滿足f(a)=則對(duì)任意的a,b∈V,λ∈R.求證:f(|a|·a)=f(a).【證明】若a=0,則f(|a|·a)=f(a)=0;若a≠0,則f(|a|·a)=|a|·a=a,且f(a)=a,所以f(|a|·a)=f(a).綜上可得對(duì)任意向量a,均有f(|a|·a)=f(a)成立.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞4.若兩個(gè)非零向量a與(2x-1)a方向相同,則x的取