高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2-3-1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和同步課件新人教A版必修5

2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和主題等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1.如圖,某倉庫堆放的一堆鋼管,最上面一層有4根鋼管,下面每層都比上面一層多一根,最下面一層有9根,怎樣計(jì)算這堆鋼管的總數(shù)?提示:把同樣多的鋼管倒放在一起,如圖,先算出每層的根數(shù)——每層都是13根;再計(jì)算層數(shù)——共6層;所以共

=39根.2.問題1中的計(jì)算方法稱為“倒序相加法”,利用“倒序相加法”及等差數(shù)列的性質(zhì),你能求首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn嗎?提示:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…,又Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an

①,Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1

②,①+②得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an),所以Sn=將an=a1+(n-1)d代入上式得:Sn=na1+結(jié)論:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:已知量a1,an,na1,d,n前n項(xiàng)和公式Sn=__________Sn=__________【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=4,S4=20,則公差d= (

)

A.7 B.3 C.2 D.6【解析】選B.由S2=4,S4=20,得2a1+d=4,4a1+6d=20,所以d=3.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=4,S4=20,則公差d= (

)

A.7 B.3 C.2 D.6【解析】選B.由S2=4,S4=20,得2a1+d=4,4a1+6d=20,所以d=3.2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,且S4=0,S8=32,則an= (

)A.4-2n B.3n-9 C.4n-12 D.2n-5【解析】選D.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得即解得所以an=-3+2(n-1)=2n-5.3.若等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n,則Sn=________.

【解析】由題意知a1=2,d=2,所以Sn=na1+×2=n2+n.答案:n2+n類型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算【典例1】(1)(2019·江蘇高考)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是________.

(2)(2019·雙鴨山高一檢測)在等差數(shù)列{an}中,已知a5=6,a7=14.①求通項(xiàng)an;②求{an}的前n項(xiàng)和Sn.(2)(2019·雙鴨山高一檢測)在等差數(shù)列{an}中,已知a5=6,a7=14.①求通項(xiàng)an;②求{an}的前n項(xiàng)和Sn.【解題指南】(1)根據(jù)a2a5+a8=0,S9=27建立方程組求出a1,d,再利用前n項(xiàng)和公式求S8.(2)①設(shè)出等差數(shù)列的基本量,首項(xiàng)a1和公差d,根據(jù)條件列出方程組,解出a1和d,寫出an的通項(xiàng).②由①中求出的基本量,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式,寫出Sn.【解析】(1)由題意可得:

解得:則S8=8a1+d=-40+28×2=16.答案:16(2)①設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,因?yàn)閍5=6,a7=14,所以解得所以an=-10+(n-1)×4=4n-14.②由①可知,a1=-10,d=4,所以Sn=n×(-10)+×4=2n2-12n.【方法總結(jié)】(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用,而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量,用它們表示已知和未知是常用方法.(2)等差數(shù)列中基本計(jì)算的兩個(gè)技巧①利用基本量求值.②利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題.【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d,前n項(xiàng)和是Sn.若a1=1,a5=9,則公差d=________,Sn=________.

【解析】公差d==2,前n項(xiàng)和Sn=na1+d=n+n(n-1)=n2.答案:2

n2【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為Sn,公差為d.(1)a1=,S4=20,求S6.(2)a1=,d=-,Sn=-15,求n及a12.(3)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d.【解題指南】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式列方程求解.【解析】(1)S4=4a1+d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+d=6a1+15d=6×+15×3=48.(2)因?yàn)镾n=n·

=-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去).a12=+(12-1)×=-4.(3)由Sn==-1022,解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.類型二an與Sn關(guān)系的應(yīng)用【典例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,且滿足an+1=Sn+2n+1(n∈N*).證明:數(shù)列為等差數(shù)列.【解題指南】利用an+1=Sn+1-Sn整理變形.【證明】由已知,Sn+1-Sn=Sn+2n+1,即Sn+1-2Sn=2n+1,整理得

=1,又因?yàn)樗允鞘醉?xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.【誤區(qū)警示】利用an+1=Sn+1-Sn,n可以取任意正整數(shù).若利用an=Sn-Sn-1,則n≥2,剩下n=1的情況需單獨(dú)討論.【方法總結(jié)】由Sn求通項(xiàng)公式an的步驟第一步:令n=1,則a1=S1,求得a1;第二步:令n≥2,則an=Sn-Sn-1;第三步:驗(yàn)證a1與an的關(guān)系;(1)若a1適合an,則an=Sn-Sn-1.(2)若a1不適合an,則an=

【知識(shí)拓展】Sn與an的關(guān)系式的應(yīng)用

(1)“和”變“項(xiàng)”.首先根據(jù)題目條件,得到新式(與條件相鄰),然后作差將“和”轉(zhuǎn)化為“項(xiàng)”之間的關(guān)系,最后求通項(xiàng)公式.(2)“項(xiàng)”變“和”.首先將an轉(zhuǎn)化為Sn-Sn-1,得到Sn與Sn-1的關(guān)系式然后求Sn.【跟蹤訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-2n+2,則a1=________,an=________.

【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-2n+2-[(n-1)2-2(n-1)+2]=2n-3.綜上可得:an=答案:1

類型三等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用【典例3】(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且a9=5,則S17= (

)A.75 B.85 C.95 D.105(2)(2019·嘉興高一檢測)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,若S4=8,S8=4,則S12=________,S6=________.

【解題指南】(1)利用性質(zhì)S2n-1=(2n-1)an求解.(2)利用性質(zhì)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差數(shù)列求解.【解析】(1)選B.S17=17·a9=17×5=85.(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)榈炔顢?shù)列中S4,S8-S4,S12-S8仍成等差數(shù)列,所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8),2(4-8)=8+(S12-4),所以S12=-12,因?yàn)镾4=8,S8=4,所以所以所以S6=6a1+×6×5d=.答案:-12

【方法總結(jié)】與等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn有關(guān)的性質(zhì)(1)數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,是公差為n2d的等差數(shù)列.(2)數(shù)列為等差數(shù)列.(3)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式為Sn=,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:S2m==m(am+am+1),S2m+1==(2m+1)am+1.【知識(shí)拓展】奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)(1)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n,則S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,(2)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n+1,則S2n+1=(2n+1)an+1,S偶-S奇=-an+1,【跟蹤訓(xùn)練】1.若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S4=4,S6=12,則S2= (

)A.-1 B.0 C.1 D.3【解析】選B.{an}為等差數(shù)列,則S2,S4-S2,S6-S4也是等差數(shù)列,所以2(4-S2)=S2+(12-4),得S2=0.2.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32∶27,求該數(shù)列的公差d.【解題指南】利用S偶-S奇=nd(項(xiàng)數(shù)為2n)求解.【解析】設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶,等差數(shù)列的公差為d.由已知條件,得解得又因?yàn)镾偶-S奇=6d,所以d==5.拓展類型等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用【典例】甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處相向運(yùn)動(dòng),甲第一分鐘運(yùn)動(dòng)2m,以后每分鐘比前一分鐘多運(yùn)動(dòng)1m,乙每分鐘運(yùn)動(dòng)5m.(1)甲、乙?guī)追昼姾蟮谝淮蜗嘤?(2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即折回,甲繼續(xù)每分鐘比前一分鐘多運(yùn)動(dòng)1m,乙繼續(xù)每分鐘運(yùn)動(dòng)5m,那么開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘第二次相遇?【解析】把物理問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求項(xiàng)數(shù)問題.(1)設(shè)n分鐘后第一次相遇,依題意有2n++5n=70,整理,得n2+13n-140=0,解得n=7,n=-20(舍去).所以第一次相遇在開始運(yùn)動(dòng)后的第7分鐘.(2)設(shè)第m分鐘后第二次相遇,依題意,有2m++5m=3×70,整理,得m2+13m-420=0,解得m=15,m=-28(舍去).所以第二次相遇在開始運(yùn)動(dòng)后的第15分鐘.【方法總結(jié)】解數(shù)列應(yīng)用題的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)真審題,準(zhǔn)確理解題意,認(rèn)真篩選,收集和處理問題中提供的信息,善于把問題數(shù)學(xué)化.(2)弄清題目中的主要已知事項(xiàng),明確所求的結(jié)論是什么.(3)將實(shí)際問題抽象為數(shù)列問題,將已知與所求聯(lián)系起來,根據(jù)題意引出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式.(4)在解數(shù)列應(yīng)用題時(shí),一般要經(jīng)歷“設(shè)—列—解—答”四個(gè)環(huán)節(jié).【鞏固訓(xùn)練】在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述:今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊,齊去安一千一百二十五里,良馬初日行一百零三里,日增十三里;駑馬初日行九十七里,日減半里,良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬,二馬相逢,問:相逢時(shí)良馬比駑馬多行 (

)A.1125里 B.920里 C.820里 D.540里【解析】選D.設(shè)良馬每天所行路程為{an},則{an}是以103為首項(xiàng),以13為公差的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為An,駑馬每天所行路程為{bn},則{bn}是以97為首項(xiàng),以-為公差的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Bn,設(shè)共用n天二馬相逢,則An+Bn=2×1125,所以103n+×13+97n+=2250,化簡得,n2+31n-360=0,解得n=9,A9=103×9+×13=1395,B9=2250-1395=855,A9-B9=1395-855=540.【知識(shí)思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwoun