考點(diǎn)13矩形-2022四川中考數(shù)學(xué)試題分類匯編(原卷版+解析)

考點(diǎn)13：矩形1.(2023達(dá)州）如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將沿翻折，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若，，則的長(zhǎng)為（）A.9 B.12 C.15 D.182.(2023樂(lè)山）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE，過(guò)點(diǎn)E作PE的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，M是線段EF的中點(diǎn)．那么，當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（）

A. B.3 C. D.43.(2023綿陽(yáng)）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（） B. C. D.4.(2023宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點(diǎn)F，則的值為（）

A. B. C. D.5．(2023內(nèi)江）（6分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．6.(2023雅安）如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_(kāi)____．7.(2023眉山）如圖，點(diǎn)為矩形的對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，若，，則的最小值為_(kāi)_______．8.(2023自貢）如圖，矩形中，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)；若，則的最小值為_(kāi)___________．9.(2023成都）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點(diǎn)．

（1）【嘗試初探】在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）【深入探究】若，隨著點(diǎn)位置的變化，點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求的值．（3）【拓展延伸】連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的值（用含的代數(shù)式表示）．10.(2023南充）如圖，在矩形中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上（不與點(diǎn)A重合），．

（1）判斷的形狀，并說(shuō)明理由．（2）當(dāng)點(diǎn)M為邊中點(diǎn)時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N．求證：．（3）點(diǎn)Q在邊上，，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．11.(2023自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動(dòng)矩形框，矩形框的形狀會(huì)發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．（1）通過(guò)觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段由旋轉(zhuǎn)得到，所以．我們還可以得到＝，＝；（2）進(jìn)一步觀察，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)∥，請(qǐng)證明這一結(jié)論；（3）已知，若恰好經(jīng)過(guò)原矩形邊的中點(diǎn)，求與之間的距離．考點(diǎn)13：矩形1.(2023達(dá)州）如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將沿翻折，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若，，則的長(zhǎng)為（）A.9 B.12 C.15 D.18答案:C解析：分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，則，在中勾股定理建列方程，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，將沿翻折，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)F處，,，，，設(shè)，則，，在中，即，解得，，，，，，，，，在中，，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊的性質(zhì)，正切的定義，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．2.(2023樂(lè)山）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE，過(guò)點(diǎn)E作PE的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，M是線段EF的中點(diǎn)．那么，當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（）

A. B.3 C. D.4答案:D解析：分析：當(dāng)P與A重合時(shí)，點(diǎn)F與C重合，此時(shí)點(diǎn)M在N處，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，如圖，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MN．求出CF的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四邊形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，∴AD=2，則CE=AD=2，當(dāng)P與A重合時(shí)，點(diǎn)F與C重合，此時(shí)點(diǎn)M在CE的中點(diǎn)N處，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，如圖，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MN．

∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，∵點(diǎn)N是CE的中點(diǎn)，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，∴MN=BF=4，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．3.(2023綿陽(yáng)）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（） B. C. D.答案:A解析：分析：證明四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)K，設(shè)，表示出，，，，進(jìn)一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，進(jìn)一步可求出邊形EFGH的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴，，∵，，∴，，在和中，∴，∴，同理：，∴，∴四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)K，設(shè)，∵，，，，∴，，，，∴，，∴，∵，∴ABKH為矩形，即，∵，，∴，即，解得：，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為：，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用求出a的值．4.(2023宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點(diǎn)F，則的值為（）

A. B. C. D.答案:C解析：分析：先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明，得出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根據(jù)折疊可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，則，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問(wèn)題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．5．(2023內(nèi)江）（6分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是10．分析：延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，則四邊形EFGC是平行四邊形，得CE＝FG，則AF+CE＝AF+FG，可知當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)即可．【解答】解：延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線將AF+CE的最小值轉(zhuǎn)化為AG的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．6.(2023雅安）如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_(kāi)____．答案:解析：分析：利用矩形與軸對(duì)稱的性質(zhì)先證明再利用勾股定理求解再利用三角形的面積公式可得答案．【詳解】解：把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，BC＝9，CD＝3，解得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵．7.(2023眉山）如圖，點(diǎn)為矩形的對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，若，，則的最小值為_(kāi)_______．答案:6解析：分析：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，交AC于點(diǎn)F，連接交AC于點(diǎn)P，則的最小值為的長(zhǎng)度；然后求出和BE的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，交AC于點(diǎn)F，連接交AC于點(diǎn)P，則的最小值為的長(zhǎng)度；∵AC是矩形的對(duì)角線，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，在直角△ABC中，，，∴，∴，由對(duì)稱的性質(zhì)，得，，∴，∴∵，，∴△BEF是等邊三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值為6；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的找到點(diǎn)P使得有最小值．8.(2023自貢）如圖，矩形中，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)；若，則的最小值為_(kāi)___________．答案:解析：分析：如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時(shí)GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時(shí)GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點(diǎn)，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定GE+CF最小時(shí)E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．9.(2023成都）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點(diǎn)．

（1）【嘗試初探】在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）【深入探究】若，隨著點(diǎn)位置的變化，點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求的值．（3）【拓展延伸】連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的值（用含的代數(shù)式表示）．答案:（1）見(jiàn)解析（2）或（3）或解析：分析：（1）根據(jù)題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；（2）根據(jù)題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設(shè)DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根據(jù)△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根據(jù)題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當(dāng)FH=BH時(shí)，當(dāng)FH=BF=nBE時(shí)，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，設(shè)DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，解得：或，∴或，∴或；【小問(wèn)3詳解】解：∵矩形矩形，，∴EG=nBE，如圖，當(dāng)FH=BH時(shí)，

∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；如圖，當(dāng)FH=BF=nBE時(shí)，

，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10.(2023南充）如圖，在矩形中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上（不與點(diǎn)A重合），．

（1）判斷的形狀，并說(shuō)明理由．（2）當(dāng)點(diǎn)M為邊中點(diǎn)時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N．求證：．（3）點(diǎn)Q在邊上，，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．答案:（1）為直角三角形，理由見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）或12解析：分析：（1）由點(diǎn)O是的中點(diǎn)，可知，由等邊對(duì)等角可以推出；（2）延長(zhǎng)AM，BC交于點(diǎn)E，先證，結(jié)合（1）的結(jié)論得出PC是直角斜邊的中線，推出，進(jìn)而得到，再通過(guò)等量代換推出，即可證明；（3）過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，得到兩個(gè)K型，證明，，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列等式求出QF，F(xiàn)P，再通過(guò)即可求出DM．【小問(wèn)1詳解】解：為直角三角形，理由如下：∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴為直角三角形；【小問(wèn)2詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)AM，BC交于點(diǎn)E，

由矩形的性質(zhì)知：，，∴，∵點(diǎn)M為邊中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，即C點(diǎn)為BE的中點(diǎn)，由（1）知，∴，即為直角三角形，∴，∴，又∵，，∴，∴；【小問(wèn)3詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，

由已知條件，設(shè)，，則，，．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．∴，解得，∴，將代入得，整理得，解得或．∵，，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)M在DC的延長(zhǎng)線上，綜上，的長(zhǎng)為或12．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，第3問(wèn)有一定難度，解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造K字模型．11.(2023自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動(dòng)矩形框，矩形框的形狀會(huì)發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．（1）通過(guò)觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段由旋轉(zhuǎn)得到，所以．我們還可以得到＝，＝；（2）