統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性學(xué)生用書

第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性提升關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類題通法考點(diǎn)一不含參的函數(shù)的單調(diào)性[基礎(chǔ)性]1．函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1，1)2．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)3．已知函數(shù)f(x)＝xlnx，則f(x)()A．在(0，＋∞)上遞增B．在(0，＋∞)上遞減C．在0，1e上遞增D．在4．[2024·寧夏銀川模擬]若冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(22，12)，則函數(shù)g(x)＝ex5．已知定義在區(qū)間(－π，π)上的函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．反思感悟利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調(diào)區(qū)間．(2)當(dāng)方程f′(x)＝0可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間．(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不行解，依據(jù)f′(x)的結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間．考點(diǎn)二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性[綜合性][例1]已知函數(shù)f(x)＝12ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，試探討函數(shù)y＝f(x聽(tīng)課筆記：一題多變(變條件)若例1中“a>0”改為“a∈R”，其他條件不變，試探討f(x)的單調(diào)性？反思感悟探討函數(shù)f(x)單調(diào)性的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上探討f′(x)的正負(fù)，由符號(hào)確定f(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性．[提示]探討含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需留意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類探討．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】探討下列函數(shù)的單調(diào)性．(1)f(x)＝x－alnx；(2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2.考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用[基礎(chǔ)性、綜合性]角度1比較大小[例2]已知函數(shù)f(x)＝xsinx，x∈R，則fπ5，f(1)，f-A．f-π3>f(1)>B．f(1)>f-π3>C．fπ5>f(1)>fD．f-π3>fπ5聽(tīng)課筆記：反思感悟利用導(dǎo)數(shù)比較大小的策略利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造協(xié)助函數(shù)，把比較大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而依據(jù)單調(diào)性比較大?。嵌?解不等式[例3](1)已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x<0時(shí)xf′(x)－f(x)<0.若a＝fee，b＝fln2ln2，c＝f3A．b<a<cB．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<cD．c<a<b(2)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x－2x＋1，則不等式f(2x－3)>1的解集為_(kāi)_______．聽(tīng)課筆記：反思感悟與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)；題目中存在消去f(x)與f′(x)的不等式關(guān)系時(shí)，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導(dǎo)數(shù)探討新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式．角度3依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(范圍)[例4]已知函數(shù)f(x)＝13x3－12ax2＋2(1)若f(x)在(－2，－1)內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．聽(tīng)課筆記：一題多變1．(變條件)若本例中f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－2，－1)，則a的值為_(kāi)_______．2．(變條件)若本例中f(x)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．反思感悟已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍的方法(1)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞增→f′(x)≥0在該區(qū)間上恒成立；若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞減→f′(x)≤0在該區(qū)間上恒成立；(2)轉(zhuǎn)化為不等式有解問(wèn)題若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間→f′(x)>0在該區(qū)間上解集不為空；若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間→f′(x)<0在該區(qū)間上解集不為空；(3)轉(zhuǎn)化為區(qū)間的包含關(guān)系若已知y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知f(x)＝lnxA．f(2)>f(e)>f(3)B．f(3)>f(e)>f(2)C．f(3)>f(2)>f(e)D．f(e)>f(3)>f(2)2．已知y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(2)＝5，對(duì)隨意的x都有f′(x)<12，則f(x)<123．設(shè)函數(shù)f(x)＝12x2－9lnx在區(qū)間[a－1，a＋1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a微專題14構(gòu)造函數(shù)解不等式思想方法以抽象函數(shù)為背景、題設(shè)條件或所求結(jié)論中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，fxgx”等特征式、旨在考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的逆向、變形應(yīng)用類型一(1)f′(x)＋g′(x)>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝f(x)＋g(x)(2)f′(x)－g′(x)>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝f(x)－g(x)(3)f′(x)>k(或<k)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝f(x)－kx[例1][2024·河北石家莊市高三一模]已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿意f′(x)>2，f(2)＝4，則不等式xf(x－1)>2x2－2x的解集為_(kāi)_______．解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－2x，則g′(x)＝f′(x)－2>0，即函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)，且g(2)＝f(2)－2×2＝0.①當(dāng)x<0時(shí)，由xf(x－1)>2x2－2x可得f(x－1)<2(x－1)，即f(x－1)－2(x－1)<0，即g(x－1)<0＝g(2)，可得x－1<2，解得x<3，此時(shí)x<0；②當(dāng)x>0時(shí)，由xf(x－1)>2x2－2x可得f(x－1)>2(x－1)，即f(x－1)－2(x－1)>0.即g(x－1)>0＝g(2)，可得x－1>2，解得x>3，此時(shí)x>3.綜上所述，不等式xf(x－1)>2x2－2x的解集為(－∞，0)∪答案：(－∞，0)∪類型二(1)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝f(x)g(x)(2)xf′(x)＋f(x)>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝xf(x)(3)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝f[例2]設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是________．解析：設(shè)F(x)＝f(x)g(x)，則F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，由當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，則函數(shù)y＝F(x)在(－∞，0)為增函數(shù)，又f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則y＝F(x)在R上為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝F(x)在(0，＋∞)為增函數(shù)，又g(－3)＝0，所以F(－3)＝0，則F(3)＝0，則F(x)<0的解集為(－∞，－3)∪0，3，即不等式f(x)g答案：(－∞，－3)∪類型三(1)f′(x)＋f(x)>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝exf(x)(2)f′(x)－f(x)>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝f(3)xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝xnf(x)(4)xf′(x)－nf(x)>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝f[例3][2024·四川廣元市高三模擬]已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若xf′(x)－2f(x)>0，f(－3)＝1，則不等式fxx<1A．(－∞，－3)∪B．(－3，3)C．(－3，0)∪D．(－∞，－3)∪解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)＝fxg′(x)＝x·xf'x-2f當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－2f(x)>0，故g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(x)為偶函數(shù)，y＝1x所以g(x)＝fxf(－3)＝1，則f(3)＝1，g(－3)＝g(3)＝f332＝19；f當(dāng)x>0時(shí)，即fxx2<19，g(x)<19當(dāng)x<0時(shí)，即fxx2>19，g(x)>19綜上所述，x∈(－∞，－3)∪答案：A類型四(1)f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝f(x)sinx(2)f′(x)cosx－f(x)sinx>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝f(x)cosx(3)f(x)sinx＋f′(x)cosx>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝f(4)f′(x)sinx－f(x)cosx>0(或<0)構(gòu)造函數(shù),F(x)＝f[例4]已知函數(shù)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)隨意x∈0，π2，f′(x)cosx＋f(x)sinx>0，則下列結(jié)論正A．2fπ6>3fπ3B．fπ6>C．2fπ6<3fπ4D．fπ4<解析：令g(x)＝fx則g′(x)＝f'對(duì)于隨意?x∈0，π2，可得g′(x所以函數(shù)g(x)在0，π因?yàn)棣?<π4<π3，所以gπ6<gπ即fπ6cosπ6所以fπ63<fπ42<fπ3，所以2fπ6<3fπ3，fπ4<答案：C第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一1．解析：∵f′(x)＝2x－2x＝2x+1x-1x(x>0)，∴當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，答案：A2．解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.答案：D3．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝xlnx，定義域?yàn)?0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)，f′(x)>0時(shí)，解得x>1e即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為1e當(dāng)f′(x)<0時(shí)，解得0<x<1e即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為0，1答案：D4．解析：設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)(22，12)，所以12＝(22)α，即α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，則g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)，令g′(x)<0，得－2<答案：(－2，0)5．解析：f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，令f′(x)＝xcosx>0(x∈(－π，π))，解得－π<x<－π2或0<x<π故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-π，-π2和答案：-π，-π2考點(diǎn)二例1解析：函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2-①當(dāng)0<a<1時(shí)，1a∴x∈(0，1)和1a，+∞時(shí)，f′(x)>0；x∈1，1a時(shí)，∴函數(shù)f(x)在(0，1)和1a，+∞上單調(diào)遞增，在②當(dāng)a＝1時(shí)，1a∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)a>1時(shí)，0<1a∴x∈0，1a和(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；x∈1a，1時(shí)，∴函數(shù)f(x)在0，1a和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，1)和1a，+∞上單調(diào)遞增，在當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在0，1a和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在一題多變解析：當(dāng)a>0時(shí)，探討同例1；當(dāng)a≤0時(shí)，ax－1<0，∴x∈(0，1)時(shí)，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，1)和1a，+∞上單調(diào)遞增，在當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在0，1a和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－ax＝x-a令f′(x)＝0，得x＝a.①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．②當(dāng)a>0時(shí)，x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)g(x)的定義域?yàn)镽，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2.①當(dāng)a>ln2時(shí)，x∈(－∞，ln2)∪a，+∞時(shí)，x∈(ln2，a)時(shí)，f′(x)<0.②當(dāng)a＝ln2時(shí)，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在R上單調(diào)遞增．③當(dāng)a<ln2時(shí)，x∈(－∞，a)∪ln2，+∞x∈(a，ln2)時(shí)，f′(x)<0，綜上，當(dāng)a>ln2時(shí)，f(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln2，a)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝ln2時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a<ln2時(shí)，f(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(a，ln2)上單調(diào)遞減．考點(diǎn)三例2解析：因?yàn)閒(x)＝xsinx，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsinx＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f-π3＝fπ3.又當(dāng)x∈0，π2時(shí)，f′(x)＝sinx＋xcosx>0，所以函數(shù)f(x)在0，π2上是增函數(shù)，所以fπ5<f(1)<fπ3，即答案：A例3解析：(1)設(shè)g(x)＝fxx，則g′(x)＝xf'x-fxx2，又當(dāng)x<0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，所以g′(所以g(x)為(－∞，0)∪0所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減．由0<ln2<e<3，可得g(3)<g(e)<g(ln2)，即c<a<b，故選D.解析：(2)f(x)＝ex－e－x－2x＋1，定義域?yàn)镽，f′(x)＝ex＋e－x－2≥2ex當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取“＝”，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(0)＝1，∴原不等式可化為f(2x－3)>f(0)，即2x－3>0，解得x>32∴原不等式的解集為32答案：(1)D(2)3例4解析：(1)因?yàn)閒′(x)＝x2－ax＋2，且f(x)在(－2，－1)內(nèi)為減函數(shù)，所以f′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)內(nèi)恒成立